西城区高三上期末数学理科.docx
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西城区高三上期末数学理科
2016西城区高三（上）期末数学（理科）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
2．（5分）下列函数中，值域为R的偶函数是（ ）
A．y=x2+1B．y=ex﹣e﹣xC．y=lg|x|D．
3．（5分）设命题p：
“若，则”，命题q：
“若a＞b，则”，则（ ）
A．“p∧q”为真命题B．“p∨q”为假命题
C．“￢q”为假命题D．以上都不对
4．（5分）“”是“数列{an}为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．
相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：
千米）为行驶里程，y（单位：
元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么λ的取值范围是（ ）
A．（0，7）B．（4，7）C．（0，4）D．（﹣5，16）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=B，a=3，c=2，则cosC= ．
11．（5分）双曲线C：
的渐近线方程为 ；设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且|PF1|=4，则|PF2|= ．
12．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别相交于点M，N，则AN= ；= ．
13．（5分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种．（用数字作答）
14．（5分）某食品的保鲜时间t（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设α＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，求α的最小值．
16．（13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y
（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：
EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：
ME∥平面PAB；
（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．
18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．
（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．
19．（14分）已知椭圆C：
的离心率为，点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？
若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
20．（13分）在数字1，2，…，n（n≥2）的任意一个排列A：
a1，a2，…，an中，如果对于i，j∈N*，i＜j，有ai＞aj，那么就称（ai，aj）为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．
如n=4时，在排列B：
3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S（B）=4．
（Ⅰ）设排列C：
3，5，6，4，1，2，写出S（C）的值；
（Ⅱ）对于数字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列A：
a1，a2，…，an中两个数字ai，aj（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：
b1，b2，…，bn，求证：
S（A）+S（A'）为奇数．
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【解答】∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，
∴a+2≤1，即a≤﹣1，
则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，
故选：
A．
2．【解答】y=x2+1是偶函数，值域为：
[1，+∞）．
y=ex﹣e﹣x是奇函数．
y=lg|x|是偶函数，值域为：
R．
的值域：
[0，+∞）．
故选：
C
3．【解答】命题p：
“若，则”是假命题，
命题q：
“若a＞b，则”如：
a=1，b=﹣1，
故命题q是假命题，
故p∨q是假命题，
故选：
B．
4．【解答】若数列{an}是等比数列，根据等比数列的性质得：
，
反之，若“”，当an=0，此式也成立，但数列{an}不是等比数列，
∴“”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件，
故选B．
5．【解答】由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，
其底面面积为：
×（1+2）×2=3，
底面周长为：
2+2+1+=5+，
高为：
2，
故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，
故选：
B
6．【解答】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
联立，解得B（m﹣1，m），
化z=x+3y，得．
由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，
当直线过B时，z有最小值为4m﹣1，
由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：
m=．
故选：
C．
7．【解答】由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；
当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．
可得：
当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，
故选：
D
8．【解答】以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E（0，4），F（6，4）．
（1）若P在CD上，设P（x，0），0≤x≤6．∴=（﹣x，4），=（6﹣x，4）．
∴=x2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤≤16．
∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．
（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤6．∴=（0，4﹣y），=（6，4﹣y）．
∴=（4﹣y）2=y2﹣8y+16，∵0＜y≤6，∴0≤＜16．
∴当λ=0或4＜λ＜16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．
（3）若P在AB上，设P（x，6），0＜x≤6.=（﹣x，﹣2），=（6﹣x，﹣2）．
∴=x2﹣6x+4，∵0＜x≤6．∴﹣5≤≤4．
∴当λ=﹣5或λ=4时有一解，当﹣5＜λ＜4时有两解．
（4）若P在BC上，设P（6，y），0＜y＜6，∴=（﹣6，4﹣y），=（0，4﹣y）．
∴=（4﹣y）2=y2﹣8y+16，∵0＜y＜6，∴0≤＜16．
∴当λ=0或4≤λ＜16时有一解，当0＜λ＜4时有两解．
综上，∴0＜λ＜4．
故选：
C．
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．【解答】由z（1+i）=2﹣4i，得
．
故答案为：
﹣1﹣3i．
10．【解答】∵A=B，a=3，c=2，可得：
b=3，
∴cosC===．
故答案为：
．
11．【解答】双曲线C：
中a=4，b=2，则渐近线方程为，
由题意P在双曲线的左支上，则|PF2|﹣|PF1|=2a=8，
∴|PF2|=12
故答案为：
，12．
12．【解答】由题意，AO==，
由切割线定理可得9=AN•（+2），
∴AN=．
AC==5，
由切割线定理可得9=AM•5，∴AM=，
∴MC=，
∴=．
故答案为：
，．
13．【解答】第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C42A33=36种，
第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A33C32=18种，
根据分类计数原理可得，共有36+18=54种，
故答案为：
54．
14．【解答】∵食品的保鲜时间t（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：
k=﹣，
∴，
当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；
②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；
③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，
故正确的结论的序号为：
①④，
故答案为：
①④．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解答】（Ⅰ）解：
===，
所以函数f（x）的最小正周期．
由，k∈Z，
得，
所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（Ⅱ）解：
由题意，得，
因为函数g（x）为奇函数，且x∈R，所以g（0）=0，即，
所以，k∈Z，解得，k∈Z，验证知其符合题意．
又因为α＞0，所以α的最小值为．
16．【解答】（Ⅰ）解：
记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A，…（1分）
由题意，得，
所以从甲的4局比赛
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