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高一质量检测数学试题

2019-2020年高一3月质量检测数学试题

 

一.选择题:

(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的)

1.(5分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下列关系正确的是(  )

 

A.

cosC=a2+b2﹣c2

B.

cosC=a2﹣b2+c2

 

C.

D.

考点:

余弦定理.

专题:

规律型;解三角形.

分析:

根据余弦定理,可得结论.

解答:

解:

根据余弦定理,可得

故选C.

点评:

本题考查余弦定理,考查学生对结论的掌握,属于基础题.

 

2.(5分)已知α是第二象限的角,且,则tanα的值是(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

同角三角函数间的基本关系.

专题:

三角函数的求值.

分析:

根据角a的范围,利用同角三角函数的基本关系求出cosα,从而求得tanα=的值.

解答:

解:

∵a是第二象限的角,且sinα=,则cosα=﹣,故tanα==﹣,

故选D.

点评:

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.

 

3.(5分)(xx•重庆)若等差数列{an}的前三项和S3=9且a1=1,则a2等于(  )

 

A.

3

B.

4

C.

5

D.

6

考点:

等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.

专题:

计算题;方程思想.

分析:

根据等差数列的前n项和公式,结合已知条件,先求出d,再代入通项公式即可求解.

解答:

解:

∵S3=9且a1=1,

∴S3=3a1+3d=3+3d=9,

解得d=2.

∴a2=a1+d=3.

故选A.

点评:

本题主要考查了等差数列的通项公式与前n项和公式,注意方程思想的应用.

 

4.(5分)在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是(  )

 

A.

直角三角形

B.

等腰三角形

C.

等腰直角三角形

D.

正三角形

考点:

两角和与差的正弦函数.

分析:

根据三角形三个内角和为180°,把角C变化为A+B,用两角和的正弦公式展开移项合并,公式逆用,得sin(B﹣A)=0,因为角是三角形的内角,所以两角相等,得到三角形是等腰三角形.

解答:

解:

由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin(A+B),

∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.

∴cosAsinB﹣sinAcosB=0.

∴sin(B﹣A)=0,

∵A和B是三角形的内角,

∴B=A.

故选B

点评:

在三角形内会有一大部分题目出现,应用时要抓住三角形内角和是180°,就有一部分题目用诱导公式变形,对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式,必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式.

 

5.(5分)已知sin()=,则=(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

运用诱导公式化简求值.

专题:

计算题.

分析:

直接利用与互余,求出的值即可.

解答:

解:

因为与互余,所以=sin()=.

故选B.

点评:

本题考查诱导公式的应用,注意到与互余是解题的关键,考查计算能力.

 

6.(5分)已知α为第二象限角,则的值是(  )

 

A.

3

B.

﹣3

C.

1

D.

﹣1

考点:

三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系.

专题:

计算题;三角函数的求值.

分析:

根据α为第二象限角,结合同角三角函数的平方关系,得出=sinα,=﹣cosα.由此代入题中式子进行化简,即可算出所求式子的值.

解答:

解:

∵α为第二象限角,

∴sinα>0且cosα<0

由此可得=|sinα|=sinα,=|cosα|=﹣cosα

∴==2﹣1=1

故选:

C

点评:

本题给出α为第二象限角,要我们化简一个三角函数式子并求值,着重考查了三角函数的定义和同角三角函数的关系等知识,属于基础题.

 

7.(5分)函数的单调减区间为(  )

 

A.

(k∈Z)

B.

(k∈Z)

 

C.

(k∈Z)

D.

(k∈Z)

考点:

复合三角函数的单调性.

专题:

计算题.

分析:

观察可知函数是由,t=sin(2x+)构成的复合函数,由复合函数的单调性,只要求得t=sin(2x+)增区间中的大于部分即可.

解答:

解:

令:

,t=sin(2x+)

∴2kπ<2x+≤2kπ+

kπ<x≤kπ+

由复合函数的单调性可知:

函数的单调减区间为(k∈Z)

故选B

点评:

本题主要查复合函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,如本题在真数位置要大于零.

 

8.(5分)为了得到函数y=sinx的图象,需要把函数图象上的所有点(  )

 

A.

横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度

 

B.

横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度

 

C.

横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度

 

D.

横坐标伸长到原来的倍,再向左平移个单位长度

考点:

函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题:

三角函数的图像与性质.

分析:

根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,得出结论.

解答:

解:

把函数图象上的所有点横坐标变为原来的倍,

可得函数y=sin[(x)×+]=sin(x+)的图象,

再把所得图象向右平移个单位长度,可得函数y=sinx的图象,

故选A.

点评:

本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,属于中档题.

 

9.(5分)(xx•济宁一模)△ABC中,的面积等于(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

解三角形.

专题:

计算题.

分析:

由AB,AC及cosB的值,利用余弦定理即可列出关于BC的方程,求出方程的解即可得到BC的长,然后利用三角形的面积公式,由AB,BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积.

解答:

解:

由AB=,AC=1,cosB=cos30°=,

根据余弦定理得:

AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB,即1=3+BC2﹣3BC,

即(BC﹣1)(BC﹣2)=0,解得:

BC=1或BC=2,

当BC=1时,△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=;

当BC=2时,,△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=,

所以△ABC的面积等于或.

故选D

点评:

此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值,是一道中档题.

 

10.(5分)(xx•咸安区模拟)等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是(  )

 

A.

S7

B.

S8

C.

S13

D.

S15

考点:

等差数列的性质.

专题:

计算题.

分析:

利用等差数列的通项公式化简已知的式子,得到关于a7的关系式,由已知式子为定值得到a7为定值,再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S13,也得到关于a7的关系式,进而得到S13为定值.

解答:

解:

∵a2+a8+a11=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+10d)=3(a1+6d)=3a7,

且a2+a8+a11是一个定值,

∴a7为定值,

又S13==13a7,

∴S13为定值.

故选C

点评:

此题考查了等差数列的通项公式,求和公式,以及等差数列的性质,a7的值是已知与未知桥梁与纽带,灵活运用等差数列的通项公式求出a7的值是解本题的关键.

 

11.(5分)等差数列{an}中,若a4+a6+a10+a12=90,则a10﹣=(  )

 

A.

15

B.

30

C.

45

D.

60

考点:

等差数列的性质.

专题:

等差数列与等比数列.

分析:

由等差数列的性质可知,项数之和相等的两项之和相等,且等于项数之和一半的项,把已知条件化简后,即可求出a8的值,然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值关系,

即可求出所求式子的值.

解答:

解:

由a4+a6+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)=90,所以,2a8=a6+a10=45,

解得a8=.

∴a10﹣a14=a1+9d﹣(a1+13d)=(a1+7d)=×=15,

故选A.

点评:

此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道中档题.

 

12.(5分)等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,Sn为数列{an}的前n项和,则使Sn>0的n的最小值为(  )

 

A.

21

B.

20

C.

10

D.

11

考点:

等差数列的前n项和;等差数列的性质.

专题:

证明题.

分析:

由题意可得:

由等差数列的性质可得:

S20=>0,S19=19•a10<0,

所以使Sn>0的n的最小值为20.

解答:

解:

由题意可得:

因为a10<0,a11>0,且a11>|a10|,

所以由等差数列的性质可得:

S20=>0,S19=19•a10<0,

所以使Sn>0的n的最小值为20.

故选B.

点评:

解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质与等差数列的前n项和的公式.

 

二.填空题:

(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡上)

13.(5分)(xx•松江区一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,则△ABC的面积等于 2 .

考点:

余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理.

专题:

计算题;转化思想.

分析:

利用已知表达式,通过余弦定理求出cosA,求出sinA,通过向量的数量积求出bc的值,然后求出三角形的面积.

解答:

解:

因为b2+c2=a2+bc,

所以cosA==,

∴sinA=.

因为,

所以,bccosA=4,

∴bc=8,

△ABC的面积:

S===2.

故答案为:

2.

点评:

本题考查余弦定理的应用,向量的数量积的应用,三角形面积的求法,考查计算能力,注意整体思想的应用.

 

14.(5分)若,则函数的值域为 [﹣,] .

考点:

二倍角的余弦;诱导公式的作用;正弦函数的定义域和值域.

专题:

三角函数的求值.

分析:

利用二倍角公式把要求的式子化为cos2x,再根据x的范围求得﹣≤cos2x≤1,由此求得函数y的值域.

解答:

解:

函数=()()=cos2x.

由于,∴,∴﹣≤cos2x≤1,

故cos2x∈[﹣,],

故答案为[﹣,].

点评:

本题主要考查二倍角公式的应用,余弦函数的定义域和值域,属于中档题.

 

15.(5分)一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 30 km.

考点:

解三角形的实际应用.

专题:

计算题.

分析:

先根据船的速度和时间求得AB的长,进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°,∠AMB=45°,和AB的长度,求得BM.

解答:

解:

如图,依题意有

AB=15×4=60,

∠MAB=30°,∠AMB=45°,

在△AMB中,

由正弦定理得=,

解得BM=30(km),

故答案为30.

点评:

本题主要考查了解三角形的实际应用.常需利用正弦定理或余弦定理,根据已知的边或角求得问题的答案.

 

16.(5分)(xx•江苏模拟)某学生对函数f(x)=2x•cosx的性质进行研究,得出如下的结论:

①函数f(x)在[﹣π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减;

②点是函数y=f(x)图象的一个对称中心;

③函数y=f(x)图象关于直线x=π对称;

④存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立.其中正确的结论是 ④ .

考点:

三角函数的最值.

专题:

阅读型.

分析:

由函数是奇函数可得函数f(x)在[﹣π,0],[0,π]上单调性相同,所以①错;通过给变量取特殊值,举反例可得②③不正确;

令M=2,则|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,所以④对.

解答:

解:

f(x)=2x•cosx为奇函数,则函数f(x)在[﹣π,0],[0,π]上单调性相同,所以①错.

由于f(0)=0,f(π)=﹣2π,所以②错.再由f(0)=0,f(2π)=4π,所以③错.

|f(x)|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|,令M=2,则|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,所以④对.

故答案为:

④.

点评:

本题主要考查三角函数的对称性、单调性、以及函数的最值,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法.

 

三.解答题:

(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)

17.(10分)已知α为第三象限角,

(1)化简f(α);

(2)若,求f(α)的值.

考点:

三角函数的恒等变换及化简求值.

专题:

计算题.

分析:

(1)直接利用诱导公式化简求解即可.

(2)通过,求出sinα,然后求出cosα,即可得到f(α)的值.

解答:

解:

(1)

(2)∵

∴从而

又α为第三象限角

即f(α)的值为.

点评:

本题是基础题,考查三角函数的诱导公式的应用,函数值的求法,注意角的范围的应用.

 

18.(12分)设A是三角形的内角,且sinA和cosA是关于x方程25x2﹣5ax﹣12a=0的两个根.

(1)求a的值;

(2)求tanA的值.

考点:

同角三角函数间的基本关系;函数的零点.

专题:

解三角形.

分析:

(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得,把

(1)式两边平方,花简求得a的值.

(2)由,且sinA>0,cosA<0,求得cosA、sinA的值,即可求得tanA的值.

解答:

解:

(1)因为sinA和cosA是关于x方程25x2﹣5ax﹣12a=0的两个根,所以由韦达定理得:

(1)式两边平方,得,即,解得a=﹣25,或a=1.

当∴a=﹣25时,不合题意,所以a=1.

(2)由,且sinA>0,cosA<0,可得,

∴.

点评:

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

 

19.(12分)设数列{an}是等差数列,a5=6,a3=2时,若自然数k1,k2,…,kn…(n∈N*)满足5<k1<k2<…<kn<…,使得a3,a5,,…,…成等比数列,

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{kn}的通项公式及其前n项的和.

考点:

数列的求和;等差数列;等差数列的通项公式.

专题:

计算题;等差数列与等比数列.

分析:

(1)根据等差数列{an}的第3项和第5项求出公差d=2,再求出a1=﹣2,结合等差数列的通项公式即可求出an的表达式;

(2)由等比数列的通项公式,算出题中等比数列的公比q=3,从而得到第n项,根据同时是{an}的第kn项建立相等关系,即可得到,最后结合等比数列的求和公式即可得到数列{kn}的其前n项的和.

解答:

解:

(1)∵等差数列{an}中,a5=6,a3=2

∴{an}的公差,可得a1=a3﹣2d=﹣2

因此,{an}的通项公式为an=a1+(n﹣3)×2=2n﹣4

(2)∵2,6,成等比数列,

∴该数列的公比q==3,可得,

又∵是等差数列{an}中的第kn项,∴,

因此,2•3n+1=2kn﹣4,解之得,

∴k1+k2+…kn=(32+2)+(33+2)+(34+2)+…+(3n+1+2)

=(32+33+…3n+1)+2n=.

即数列{kn}的通项公式为:

,其前n项的和为.

点评:

本题给出等差数列的第3项、第5项是等比数列的前2项,求等比数列与等差数列的公共项按原来的顺序构成数列的通项公式.着重着重考查了等差、等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式等知识,属于中档题.

 

20.(12分)正项数列{an}中,前n项和为Sn,且a1=2,且.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设,Tn=b1+b2+…+bn,证明.

考点:

数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和.

专题:

综合题;等差数列与等比数列.

分析:

(1)根据an=Sn﹣Sn﹣1消掉所给等式中的an,变为Sn与Sn﹣1的递推式,通过变形可判断是首项为公差为的等差数列,从而可求Sn,再代入可求得an,注意验证n=1是否成立.

(2)由

(1)表示出bn,利用错位相减法可求得Tn,根据其表达式易证Tn<7,再判断{Tn}单调性,由单调性可证得Tn.

解答:

(1)解:

由,得,

∴,

∴是首项为公差为的等差数列,∴,∴,

,对n=1也成立,

∴an=4n﹣2;

(2)证明:

两式相减,得=,

所以,

∵,

下面证明,

∵,∴Tn+1>Tn,∴{Tn}单调递增,

∴,

点评:

本题考查数列递推式、等差数列通项公式及数列求和,若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{anbn}的前n项和宜用错位相减法求解.

 

21.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<)在一个周期内的图象如图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)设0<x<π,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围和这两个根的和.

考点:

由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域.

专题:

计算题.

分析:

(1)通过函数的图象求出A,图象过(0,1)点,

求出ϕ,利用图象求出函数的周期,得到ω,即可求出函数的解析式;

(2)设0<x<π,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,通过函数的图象结合函数的对称轴,直接求实数m的取值范围和这两个根的和.

解答:

解:

(1)显然A=2,

又图象过(0,1)点,

∴f(0)=1,

∴,

∵,∴;

由图象结合“五点法”可知,对应函数y=sinx图象的点(2π,0),

∴,得ω=2.

所以所求的函数的解析式为:

(2)如图所示,在同一坐标系中画出和y=m(m∈R)的图象,

由图可知,当﹣2<m<1或1<m<2时,直线y=m与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根.

∴m的取值范围为:

﹣2<m<1或1<m<2;

当﹣2<m<1时,两根和为;

当1<m<2时,两根和为.

点评:

本题是中档题,考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,考查计算能力,常考题型.

 

22.(12分)已知定义在R上的函数f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的周期为π,且对一切x∈R,都有f(x);

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)若g(x)=f(),求函数g(x)的单调增区间.

考点:

三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦.

专题:

计算题.

分析:

(1)利用辅助角公式化简,通过周期求出ω,通过函数的最值,列出方程,求出函数的解析式即可.

(2)利用g(x)=f()求出函数的解析式,利用正弦函数的单调性,求出函数的单调区间即可.

解答:

解:

(1)∵

,又周期

∴ω=2

∵对一切x∈R,都有f(x)

得:

∴f(x)的解析式为

(2)∵

∴g(x)的增区间是函数y=sin的减区间

∴由得g(x)的增区间为(k∈Z)

(等价于).

点评:

本题考查三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,考查计算能力.

 

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