0710年高考试题分类汇编考点5函数与方程函数模型及其应用1.docx

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0710年高考试题分类汇编考点5函数与方程函数模型及其应用1

【考点5】函数与方程、函数模型及其应用

2010年考题

课改区

1.（2010·天津高考文科·Ｔ4）函数f（x）=（）

（A）（-2,-1）（B）（-1,0）（C）（0,1）（D）（1,2）

【命题立意】考查函数零点的概念及运算。

【思路点拨】逐一代入验证。

【规范解答】选C，故选C。

2.（2010·天津高考理科·Ｔ2）函数f（x）=的零点所在的一个区间是（）

（A）（-2，-1）（B）（-1,0）（C）（0,1）（D）（1,2）

【命题立意】考查函数零点的概念及运算

【思路点拨】逐一代入验证。

【规范解答】选B，故选B。

3.（2010·福建高考文科·Ｔ7）函数的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

【规范解答】选C，，绘制出图像大致如右图，所以零点个数为2。

【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

令，则

（1）当时，，或（舍去）；

（2）当时，，

综上述：

函数有两个零点。

4.（2010·福建高考理科·Ｔ4）函数的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

【规范解答】选C，，

绘制出图像大致如右图，所以零点个数为2。

【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

令，则

（1）当时，，或（舍去）；

（2）当时，，

综上述：

函数有两个零点。

5.（2010·浙江高考文科·Ｔ9）已知x是函数f（x）=2x+的一个零点.若∈（1，），

∈（，+），则（）

（A）f（）＜0，f（）＜0（B）f（）＜0，f（）＞0

（C）f（）＞0，f（）＜0（D）f（）＞0，f（）＞0

【命题立意】考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题

【思路点拨】本题可先判断函数的单调性，从而得到零点两侧函数值的符号。

【规范解答】选B。

与在上都为增函数，所以在上单调递增，因为，，所以。

6.（2010·浙江高考理科·Ｔ9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（）

（A）（B）（C）（D）

【命题立意】本题考查函数的性质，考查函数的零点存在定理。

【思路点拨】本题可验证函数在区间的端点处的函数值是否异号；如果异号，则存在零点；如果同号，一般不存在零点。

【规范解答】选A。

，，

，在上单调减，，，所以在区间内不存在零点。

同理可验证在B、C、D的区间内存在零点。

7.（2010·陕西高考理科·Ｔ１0）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。

那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）

（A）y=（B）y=（C）y=（D）y=

【命题立意】本题考查灵活运用已有的知识解决新问题的能力，属难题。

【思路点拨】理解y=[x]的含义及选法规定是解题的关键，可用特例法进行解答。

【规范解答】选B若，则由推选方法可得，而（A）；

（B）y＝；同理可得（C）y（D）y=，否定A；再令可否定C、D；故选B

【方法技巧】特例法的解选择题的方法技巧

用特殊值（特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等等）代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等等,注意:

特例法只能否定选择支，不能肯定选择支。

当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右.

8.（2010·福建高考理科·Ｔ10）对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有则称直线l:

y=k+b为曲线与的“分渐近线”。

给出定义域均为的四组函数如下：

①；②

③④

其中，曲线与存在“分渐近线”的是（）

A.①④B.②③C.②④D.③④

【命题立意】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质进行做答，是一道好题，思维灵活。

【思路点拨】读懂新定义、利用新定义，在新背景下进行即时性学习，即可解决问题。

【规范解答】选C，对于①，存在分渐近线的充要条件是x→∞时，-→0，当x>1时便不符合，所以①不存在；

对于②，存在分渐近线，此时，，且对于任意的m>0,取，当时，必有；

对于③，假设存在，则，

若则当时，，不满足题意，

若，

（1）当则当时，时必有或成立，不满足题意，

（2）当即，而事实上，不满足题意，

综上述：

③不存在；

对于④，存在分渐近线，此时，

，且对于任意的m>0,取，

当时，必有。

9.（2010·北京高考文科·Ｔ１4）如图放置的边长为1的正方形PABC

沿x轴滚动。

设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是

，则的最小正周期为；在其两个相

邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。

说明：

“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。

沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，

再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。

【命题立意】本题考查函数的相关知识，考查了函数的周期、零点。

要求考生具有探索意识和动手能力，属创新题。

【思路点拨】让正方形向右滚动，作出点P的图象。

从图象可求出周期与面积。

【规范解答】点P在一个周期内的运行轨迹如图所示。

的最小正周期为4。

在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为三个扇形扇形，扇形，扇形与两个直角三角形的面积之和，即

【答案】4

10.（2010·北京高考理科·Ｔ１4）如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。

设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为。

说明：

“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。

沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。

类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。

【命题立意】本题考查函数的相关知识，考查了函数的周期、零点。

要求考生具有探索意识和动手能力，属创新题。

【思路点拨】先让AP与轴重合，再向右滚动，作出的图象。

利用图象求最小正周期及面积。

【规范解答】4，。

点P在一个周期内的运行轨迹如图所示。

的最小正周期为4。

在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为三个扇形：

扇形，扇形，扇形与两个直角三角形的面积之和，即

【答案】4

非课改区:

函数图像变换和函数的应用

1.（2010·重庆高考理科·Ｔ5）函数的图象（）

A．关于原点对称B．关于直线y=x对称

C．关于x轴对称D．关于y轴对称

【命题立意】本小题考查函数的对称性，考查奇函数、偶函数的概念，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想方法.

【思路点拨】根据选项，可以判断函数是否为奇函数、偶函数，即判断与的关系；如果不是，再判断选项B，C是否正确.

【规范解答】选D

【解法1】

，是偶函数，图象关于y轴对称；

【解法2】

，有，所以函数的图象关于轴对称.

【方法技巧】

（1）指数运算在变形整理中起其重要作用；

（2）分式加法的逆向运算是本题的变形技巧.

2.（2010·上海高考理科·Ｔ１7）若是方程的解，则属于区间（）

（A）（,1）（B）（,）（C）（,）（D）（0,）

【答】（C）【命题立意】本题主要考查函数的性质、零点存在定理及不等式比较大小等有关知识．

【思路点拨】构造相应函数，确定函数零点所在的区间．

【规范解答】选C，构造函数，则，即，同理可得，所以的解在区间（,）内．

3.（2010·江西高考文科·Ｔ８）若函数的图像关于直线对称，则为

A．B．C．D．任意实数

【命题立意】本题主要考查反函数的概念，考查反函数的图像性质，考查灵活变化能力．

【思路点拨】先求反函数，反函数与原函数为同一函数.

【规范解答】选B.由可得，故反函数为由于图像本身关于直线对称，故选B.

4.（2010·江西高考理科·Ｔ９）给出下列三个命题：

①函数与是同一函数；

②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；

③若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数．

其中真命题是

A．①②B．①③C．②③D．②

【命题立意】本题主要考查同一函数的判断，函数的图像性质，反函数的图像性质，函数的奇偶性，周期函数，同时考查命题真假的判断．

【思路点拨】①看定义域和对应关系是否相同；②利用反函数图像的性质判断；③利用条件可求

周期为4.

【规范解答】选Ｃ．①函数与函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数②由题意知，与互为反函数，从而与也互为反函数，正确；③=，故周期为4，正确.

5.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是.

【命题立意】本小题主要考查分段函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.

【思路点拨】将函数中的绝对值符号去掉变成两个函数，

然后根据自变量的范围画出相应的图像，根据图像特征确定的取值范围.

【规范解答】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.先画二次图像，再看直线与顶点、轴交点的位置关系.

6.（2010·湖北高考理科·Ｔ17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度（单位：

cm）满足关系：

，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求的值及的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值，考查考生的阅读理解及运算求解能力．

【思路点拨】

的表达式的最小值

【规范解答】（Ⅰ）设隔热层厚度cm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为，再由得，故；又厘米厚的隔热层建造费用为，所以由题意=+=+。

（Ⅱ），令0

得（舍去），当时，，当时，，故时取得最小值，且最小值==70

.因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元。

【方法技巧】解函数应用题的第一关是：

正确理解题意，将实际问题的要求转化为数学语言，找出函数关系式，注明函数定义域；第二关是：

针对列出的函数解析式按题目要求，选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。

2009年考题

1.（2009福建高考）函数的图象关于直线对称。

据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x.0的方程的解集不可能是（）

A.BCD

【解析】选D.本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出检验即得.

2.（2009福建高考）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）

A.B.C.D.

【