六年级下册数学试题思维能力提升第6讲燕尾模型解析版全国通用.docx
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六年级下册数学试题思维能力提升第6讲燕尾模型解析版全国通用
第六讲
燕尾模型
一、讲次定位
二、教学目标与整体分布
三、例题与作业设置
1
课前热身
1.【J1A1B1】已知甲:
乙=3:
4，乙:
丙=5:
6，求甲:
丙
【答案】5：
8
2.【J2A2B2】如图，三角形ABC边BC上有一点D，满足BD：
DC=2：
3，且S∆ABC=10，求S∆ABD.
A
BDC
【答案】4
3.【J3A3B3】如图四边形ABCD对角线交于点O，已知OB=6，OD=8，S∆ABC=21，求S∆ACD.
一级分类模块
对应例题
难度
教学目标
基
提
尖
★★☆
★★★
★★★
前铺讲次
【比例模型】【鸟头模型】【风筝模型】【蝴蝶模型】
后续讲次
【复合图形分拆】
杯赛真题
2
模块一：
基本燕尾模型
1.【J1A1B1】
（1）如图所示，三角形ABD的面积是15，三角形ACD的面积是20，三角形CDE的面积是8，
求三角形BDE的面积.
A
1520
B?
D8CE
A
BOD
C
【答案】28
4.【J4A4B4】如图四边形ABCD中，AC、BD为对角线，S∆ABC=39，S∆ACD=48，则BO:
DO=:
.
A
BOD
C
【答案】13:
16
5.【J5A5B5】如图，三角形ABC中，BD：
DC=3:
5，E为AD中点，且S∆ABC=32，求S∆CDE.
A
E
BDC
【答案】10
3
（2）如图所示，三角形ABE的面积是35，三角形ACE的面积是28，三角形CDE的面积是16，求三角形BDE
的面积.
A
E
BDC
【答案】
（1）6;
（2）20.
【解析】
（1）根据风筝模型对角面积乘积相等可得：
S∆BDE=15⨯8÷20=6,
（2）法一：
根据等高模型，S∆BDE:
S∆ABE=DE:
AE=S∆CDE:
S∆ACE=16:
28=4:
7,所以S∆BDE=35÷7⨯4=20.
S∆BDEDES∆CDE
法二：
因为==，所以可以得到类似风筝模型的结论，对角面积乘积相等，即
S∆ABEAES∆ACE
S∆BDE⨯S∆ACE=S∆ABE⨯S∆CDE，所以S∆BDE=35⨯16÷28=20.
.
2.【J2A2B2】如图（1-4），S1，S2，S3分别代表△AOB，△BOC，△COA的面积，其他数代表所对应线段的长度，则S1:
S2=，S2:
S3=，S3:
S1=，CD:
BD=.
CCCC
33
EODESS3SSD
223O
44O
S1OS1
A5F3BABA5F3BAB
图
（1）图
（2）图（3）图（4）
【答案】4:
33:
55:
45:
4
【解析】根据翅膀面积比等于尾巴上的底边之比，可得：
S1:
S2=AE:
CE=4:
3;S2:
S3=BF:
AF=3:
5;所以
S1:
S2:
S3=4:
3:
5，所以S3:
S1=5:
4；CD:
BD=S3:
S1=5:
4.
3.【J2LA2LB2L】如图，已知∆ABD的面积是15，∆ACD的面积是20，∆BCD的面积是14.
（1）求BE：
EC；
（2）∆CDE的面积是多少？
（3）求AD：
DE.
4
模块二：
构造燕尾模型
5.【J4A4B4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:
EC=1:
2，CD:
DB=1:
2；已知三角形AOE的面积是1.
（1）三角形ABC的面积是多少？
（2）四边形CDOE的面积是多少？
[构造燕尾]★★
A
1520
D
14
BC
E
【答案】
（1）3:
4;
（2）8;（3）5:
2;
【解析】
（1）根据燕尾模型的翅膀面积比等于尾巴上的底边之比，可得BE:
EC==15:
20=3:
4；
（2）根据等高模型，S=14⨯4=8；
∆CDE3+4
（3）法一：
根据等高模型，AD:
DE=S∆ACD:
S∆CDE=20:
8=5:
2
法二：
在燕尾模型中，有：
翅膀面积和比尾巴面积等于前杆：
后杆，所以可以得到
AD:
DE=（S∆ABD+S∆ACD）:
S∆BCD=（15+20）:
14=5:
2.
4.【J3A3B3】如图，∆ABC中，BD:
DC=5:
4,AE:
EC=3:
2,求AF：
BF.
C
EOD
AFB
【答案】6:
5
【解析】法一：
根据燕尾模型有S∆ABO:
S∆ACO=BD:
DC=5:
4=15:
12,
S∆ABO:
S∆BCO=AE:
EC=3:
2=15:
10,
（△ABO的面积要统一，所以找最小公倍数）所以AF:
BF=S∆ACO:
S∆BCO=12:
10=6:
5.
法二：
标份数，S∆ABO:
S∆ACO=BD:
DC=5:
4，所以假设S∆ABO为5份，则S∆ACO为4份，又因为
S:
S=AE:
EC=3:
2，所以S为5÷3⨯2=10份，所以
∆ABO∆BCO∆BCO3
AF:
BF=S:
S=10=12:
10=12:
10=6:
5
∆ACO∆BCO4:
333
AFBDCEAF52AF6
法三：
根据塞瓦定理，可知⨯⨯=1，即⨯⨯=1，解得=，所以AF:
BF=6:
5.
BFCDAEBF43BF5
5
A
1E
O
BDC
【答案】
（1）21;
（2）6
【解析】
（1）如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.
A
61E
O2
12
BDC
根据等高模型可知三角形COE的面积是2，故三角形AOC的面积为3；在燕尾ABOC中，
S△AOB=BD=2，故三角形AOB的面积为3⨯2=6；在燕尾ABCO中，S△BOC=EC=2，故
S△AOCDC1S△AOBEA1
三角形BOC的面积为6⨯2=12；故三角形ABC的面积为3+6+12=21.
（2）因为S:
S=BD:
CD=2:
1，所以S=12⨯1=4，所以四边形CDOE面积是4+2=6.
∆BOD∆COD∆COD1+2
6.【A4LB4L】如图，三角形ABC的面积是1，CD=2DB，CE=3EA，AD与BE相交于点O，请问四边形CDOE的面积是多少？
[构造燕尾]★★
A
E
O
BDC
7
【答案】
12
【解析】如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.
A
1E
23
O
24
BDC
观察可以发现三角形AOE应当是面积最小的三角形，设其面积为1份，则根据等高模型可知
S△AOBBD1
三角形COE的面积是3份，故三角形AOC的面积为4份；在燕尾ABOC中，S=DC=2，
△AOC
6
S△BOCEC3
故三角形AOB的面积为4÷2=2份；在燕尾ABCO中，S=EA=1，故三角形BOC的面
△AOB
积为2⨯3=6份；在三角形BOC中，由等高模型可知三角形BOD和三角形COD的面积比为1:
2，
故S=6⨯1=2份，S=6⨯2=4份.
△BOD1+2△COD1+2
所以三角形ABC的面积为1+3+2+2+4=12份.故S=1⨯（3+4）=7.
CDOE1212
教学提示：
可以先提示学生设△AOE面积为1份.
7.【J4L】如图，三角形ABC的面积是24，CD=2DB，CE=3EA，AD与BE相交于点O，请问四边形CDOE的面积是多少？
[构造燕尾]★★
A
E
O
BDC
【答案】14
【解析】如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.
A
1E
23
O
24
BDC
观察可以发现三角形AOE应当是面积最小的三角形，设其面积为1份，则根据等高模型可知
S△AOBBD1
三角形COE的面积是3份，故三角形AOC的面积为4份；在燕尾ABOC中，S=DC=2，
△AOC
S△BOCEC3
故三角形AOB的面积为4÷2=2份；在燕尾ABCO中，S=EA=1，故三角形BOC的面
△AOB
积为2⨯3=6份；在三角形BOC中，由等高模型可知三角形BOD和三角形COD的面积比为1:
2，
故S=6⨯1=2份，S=6⨯2=4份.
△BOD1+2△COD1+2
所以三角形ABC的面积为1+3+2+2+4=12份.每一份是24÷12=2，故
SCDOE=24÷12⨯（3+4）=14.
教学提示：
可以先提示学生设△AOE面积为1份.
8.【J5A5】如图，在长方形ABCD中连接DF和BE，已知DE:
EC=1:
3,BF:
FC=2:
1,三角形DEG面积为1，求四边形CEGF的面积.
[构造燕尾]★★★
7
模块三：
复合燕尾模型
9.【B】如图，正三角形ABC面积为7，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的三等分点，即BD=1BC，
53
CE=1CA，AF=1AB，求阴影三角形GHI的面积.
33
A
FI
E
GH
BDC
【答案】1
AD
E
BFC
【答案】11
【解析】连接BD，构造燕尾模型.
AD
E
BFC
根据比例模型可知S∆EGC=3，根据燕尾模型DBGC，S∆DBG:
S∆DGC=BF:
FC=2:
1，可知
S∆DBG=8，再由燕尾模型DBCG，S∆DBG:
S∆BCG=DE:
EC=1:
3，可知S∆BCG=24，在三角形
BCG中，根据比例模型，三角形CFG的面积为124=8，所以四边形CEGF的面积是8+3=11
3
【教学提示】尖子班例题没有出现长方形中的燕尾模型，作业中有，老师可以自行补充一下怎么构造辅助线.
G
G
8
【解析】连接CG，构造三燕尾模型ABC-G，设△BCG面积为1份，
A
FI
E
GH
BDC
根据燕尾模型ABCG，S∆ABG:
S∆BCG=AE:
EC=2:
1，所以△ABG面积为2份，根据燕尾模型BACG，S∆ABG:
S∆ACG=BD:
DC=1:
2，可得△ACG面积为4份，整个△ABC的面积为1+2+4=7份，所以△ABG面积为2.
同理可知△BCH，△CAI面积也都是2，所以阴影三角形GHI的面积为7-2⨯3=1.
10.【B6】如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，AD、BE、CF相交于一点O，这样三角形ABC被分成6个三角形，其中4个三角形的面积已经给出，请问：
（1）图中有多少对面积的比值等于AE:
CE以及BD:
CD的三角形，请找出至少两对；
（2）三角形ABC的面积是多少？
A
F84
OE
35
4030
BDC
【答案】
（1）AE:
CE=S∆AOE:
S∆COE=S∆ABO:
S∆CBO=S∆ABE:
S∆CBEBD:
CD=S∆ABO:
S∆ACO=S∆ABD:
S∆ACD=S∆BOD:
S∆COD
（2）315
【解析】
（1）略
（2）法一：
设S△AOE=x，S△BOF=y，根据燕尾模型有方程组
⎧⎪⎨（x+35）:
（84+y）=30:
40（燕尾ABOC）化简为整式方程组：
⎧⎨4x-3y=112，解得
⎪⎩（y+84）:
（40+30）=x:
35（燕尾ABCO）⎪⎩2x-y=84
⎧⎨x=70，故总面积为84+56+40+30+35+70=315.
⎪⎩y=56
议用）
教学提示：
题中△AOF面积为84的条件是多给的，如果没有此条件，也可设△AOE面积为x，由于
S∆ABO=BO=S∆BCO=40+30=2:
1，所以△ABO面积为2x，根据燕尾模型CABO，可列方程
S∆AEOEOS∆CEO35
2x:
（x+35）=40:
30，所以x=70，△ABC面积为40+30+35+70+140=315.再用一次燕尾模型BCAO也可求出△AOF，△BOF的面积.
（备注：
这个方法太麻烦，不建
9
本讲巩固
1.【J1A1B1】如图所示，三角形ABE的面积是15，三角形ACE的面积是12，三角形BDE的面积是10，求三角形CDE的面积.
笔记整理
燕尾模型：
a
bS1
S2
结论：
S:
S=a:
b或S1=a
12Sb
2
三燕尾模型：
C
EODS3S2
S1
AFB
S∆AOFAFS3
其中的关键是先求出S1:
S2:
S3，这样就有S=BF=S，其余类似，这样就可以分别求出六个小三角
∆BOF2
形的面积.
法二：
S∆AOB:
S∆AOE=BO:
OE=S∆BCO:
S∆EOC=（40+30）:
35=2:
1=4:
2，又因为
S∆AOB:
S∆AOC=BD:
CD=40:
30=4:
3，所以可以设S∆AOB为4份，则S∆AOE为2份，S∆AOC为3份，也就是S∆EOC为1份，是35.所以S∆AOB=35⨯4=140，S∆AOC=3⨯35=105，所以S∆ABC=140+105+40+30=315.
10
A
E
BDC
【答案】8.
【解析】法一：
根据等高模型，S∆CDE:
S∆ACE=DE:
AE=S∆BDE:
S∆ABE=10:
15=2:
3,所以
S∆CDE=12÷3⨯2=8.
S∆BDEDES∆CDE
法二：
因为==，所以可以得到类似风筝模型的结论，对角面积乘积相等，即
S∆ABEAES∆ACE
S∆BDE⨯S∆ACE=S∆ABE⨯S∆CDE，所以S∆CDE=12⨯10÷15=8.
2.【J2A2B2】如图，三角形ABC中，BD=2，DC=3，CE=5，EA=3.S∆ABG:
S∆ACG=:
，
S∆ABG:
S∆BCG=:
，S∆ACG:
S∆BCG=:
，AF：
BF=:
；
[燕尾模型的直接应用]★★
A
3
E
FG
5
B2D3C
【答案】2:
3;3:
5;9:
10;9:
10;
【解析】S∆ABG:
S∆ACG=BD:
CD=2:
3，S∆ABG:
S∆BCG=AE:
EC=3:
5，将它们化为S∆ABG:
S∆ACG=6:
9，
S∆ABG:
S∆BCG=6:
10，S∆ACG:
S∆BCG=9:
10，AF：
BF=S∆ACG:
S∆BCG=9:
10.
3.【J3A3B3】如图，∆ABC中，CD:
BD=3:
4,点F为AB边上的中点,求AE：
EC.
C
EOD
AFB
【答案】4:
3
【解析】根据燕尾模型有S∆ACO:
S∆ABO=CD:
BD=3:
4,因为F是中点，所以AF:
FB=1:
1，S∆ACO:
S∆BCO=AF:
BF=1:
1=3:
3（△ACO的面积要统一，所以找最小公倍数），所以AE:
EC=S∆ABO:
S∆BCO=4:
3.
.
11
4.【J4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:
EC=2:
5，DB:
CD=3:
2；已知三角形AOE的面积是8,三角形ABC的面积是多少？
[构造燕尾]★★
A
E
O
BDC
【答案】175
【解析】如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.
A
8E
4220
O
105
BDC
根据等高模型可知三角形COE的面积是8÷2⨯5=20，故三角形AOC的面积为28；在燕尾ABOC中，
S△AOB=BD=3，故三角形AOB的面积为28÷2⨯3=42；在燕尾ABCO中，S△AOB=AE=2，
S△AOCDC2S△BOCEC5
故三角形BOC的面积为42÷2⨯5=105；故三角形ABC的面积为42+8+20+105=175.
5.【J5】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:
EC=1:
2，DB:
CD=3:
2；已知三角形AOE的面积是10,四边形CDOE的面积是多少？
[构造燕尾]★★
12
A
E
O
BDC
【答案】56
【解析】如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.
A
10E
4520
O
5436
BDC
根据等高模型可知三角形COE的面积是10÷1⨯2=20，故三角形AOC的面积为30；在燕尾ABOC中，
S△AOB=BD=3，故三角形AOB的面积为30÷2⨯3=45；在燕尾ABCO中，S△AOB=AE=1，
S△AOCDC2S△BOCEC2
故三角形BOC的面积为45÷1⨯2=90；根据等高模型，S∆BOD:
S∆COD=BD:
CD=3:
2，所以
S∆COD=90÷（3+2）⨯2=36,所以四边形CDOE的面积是20+36=56.
6.【A4B4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:
EC=2:
5，DB:
CD=3:
2；已知三角形AOE的面积是8,
（1）三角形ABC的面积是多少？
（2）四边形CDOE的面积是多少？
A
E
O
BDC
【答案】
（1）175;
（2）62
【解析】如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.
13
AA
8E8E
42204220
OO
10542
BDCBDC
根据等高模型可知三角形COE的面积是8÷2⨯5=20，故三角形AOC的面积为28；在燕尾ABOC中，
S△AOB=BD=3，故三角形AOB的面积为28÷2⨯3=42；在燕尾ABCO中，S△AOB=AE=2，
S△AOCDC2S△BOCEC5
故三角形BOC的面积为42÷2⨯5=105；
（1）故三角形ABC的面积为42+8+20+105=175.
（2）根据等高模型，S∆BOD:
S∆COD=BD:
CD=3:
2，所以S∆COD=105÷（3+2）⨯2=42,所以四边形CDOE
的面积是42+20=62.
[构造燕尾]★★
7.【A5B5】如图，在长方形ABCD中连接DF和BE，已知DE:
EC=1:
4,BF:
FC=2:
1,三角形DGE面积为1，求长方形ABCD的面积.
[构造燕尾]★★★
AD
E
BFC
【答案】110
【解析】连接BD与GC,构造燕尾模型.
AD
E
BFC
55G1
104
40
G
14
复习巩固
1.【J1A1】甲乙两人原有的钱数之比为2:
3，后来甲又得到60元，乙也得到60元，这时甲、乙钱数之比为5:
7，求原来两人的钱数之和为多少?
【答案】600元
【解析】前后甲、乙的钱数差不变，开始甲:
乙=2:
3=4:
6，之后甲:
乙=5:
7，也就是说增加的60元，占
根据比例模型可知S∆DGE=1，根据等高模型，S∆DGE:
S∆CGE=DE:
CE=1:
4,可知三角形CGE的面积
S△DGBBF2
是4，故三角形DGC的面积为5；在燕尾DBGC中，S=FC=1，故三角DGB的面积为
△DGC
S△DGBDE1
5÷1⨯2=10；在燕尾DBGC中，S=EC=4，故三角形CGB的面积为10÷1⨯4=40；所以
△CGB
三角形BCD的面积为1+4+10+40=55，所以长方形的面积为55⨯2=110.
8.【B】如图，正三角形ABC面积为13，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的三等分点，即BD=1BC，
64
CE=1CA，AF=1AB，求阴影三角形GHI的面积.
44
A
FI
E
GH
BDC
【答案】4
【解析】连接CG，构造三燕尾模型ABC-G，设△BCG面积为1份，
A
FI
E
GH
BDC
根据燕尾模型ABCG，S∆ABG:
S∆BCG=AE:
EC=3:
1，所以△ABG面积为3份，根据燕尾模型BACG，S∆ABG:
S∆ACG=BD:
DC=1:
3，可得△ACG面积
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