六年级下册数学试题思维能力提升第6讲燕尾模型解析版全国通用.docx

1、六年级下册数学试题思维能力提升第6讲燕尾模型解析版全国通用第六讲燕尾模型一、讲次定位二、教学目标与整体分布三、例题与作业设置1课前热身1. 【J1A1B1】已知甲:乙=3:4，乙:丙=5:6，求甲:丙【答案】5：82. 【J2A2B2】如图，三角形ABC边BC上有一点D，满足BD：DC=2：3，且 SABC = 10 ，求 SABD .AB D C【答案】43. 【J3A3B3】如图四边形ABCD对角线交于点O，已知OB=6，OD=8， SABC = 21 ，求 SACD .一级分类模块对应例题难度教学目标基提尖前铺讲次【比例模型】【 鸟头模型】【 风筝模型】【 蝴蝶模型】后续讲次【复合图形分

2、拆】杯赛真题2模块一：基本燕尾模型1. 【J1A1B1】(1)如图所示，三角形ABD的面积是 15，三角形ACD的面积是 20，三角形CDE的面积是 8，求三角形BDE的面积.A15 20B ? D 8 C EAB O DC【答案】284. 【J4A4B4】如图四边形ABCD中，AC、BD为对角线， SABC = 39 ， SACD = 48 ，则 BO : DO =: .AB O DC【答案】13:165. 【J5A5B5】如图，三角形ABC中，BD：DC=3:5，E为AD中点，且 SABC = 32 ，求 SCDE .AEB D C【答案】103(2)如图所示，三角形 ABE 的面积是 3

3、5，三角形 ACE 的面积是 28，三角形 CDE 的面积是 16，求三角形 BDE的面积.AEB D C【答案】(1)6; (2)20.【解析】(1)根据风筝模型对角面积乘积相等可得： SBDE = 15 8 20=6 ,(2)法一：根据等高模型， SBDE : SABE = DE : AE = SCDE : SACE = 16 : 28 = 4 : 7 ,所以 SBDE = 35 7 4=20 .SBDE DE SCDE法二：因为 = = ， 所以可以得到类似风筝模型的结论，对角面积乘积相等， 即SABE AE SACESBDE SACE = SABE SCDE ，所以 SBDE = 35

4、 16 28=20 .2. 【J2A2B2】如图（1-4）， S1 ， S2 ， S3 分别代表AOB，BOC，COA的面积，其他数代表所对应线段的长度，则 S1 : S2 = ， S2 : S3 = ， S3 : S1 = ， CD : BD = .C C C C3 3E O D E S S3 S S D2 2 3 O4 4 OS1 O S1A 5 F 3 B A B A 5 F 3 B A B图（1） 图（2） 图（3） 图（4）【答案】4:3 3:5 5:4 5:4【解析】根据翅膀面积比等于尾巴上的底边之比，可得： S1 : S2 =AE : CE = 4 :3 ; S2 : S3 =B

5、F : AF = 3: 5 ;所以S1 : S2 : S3 =4 :3 :5 ，所以 S3 : S1 =5:4 ； CD : BD = S3 : S1 =5:4 .3. 【J2LA2LB2L】如图，已知 ABD 的面积是 15， ACD 的面积是 20， BCD 的面积是 14.（1） 求 BE：EC；（2） CDE 的面积是多少？（3） 求 AD：DE.4模块二：构造燕尾模型5. 【J4A4B4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了 4 个部分， AE : EC = 1: 2 ， CD : DB = 1: 2 ； 已知三角形AOE的面积是 1.（1）三角形 ABC 的面积是多少？（2）四

6、边形 CDOE 的面积是多少？构造燕尾A15 20D14B CE【答案】 (1)3:4; (2)8; (3)5:2;【解析】（1）根据燕尾模型的翅膀面积比等于尾巴上的底边之比，可得 BE : EC = 15 : 20 = 3 : 4 ；（2）根据等高模型， S =14 4 = 8 ；CDE 3 + 4（3）法一：根据等高模型， AD : DE = SACD : SCDE = 20 : 8 = 5 : 2法二：在燕尾模型中，有：翅膀面积和比尾巴面积等于前杆：后杆，所以可以得到AD : DE = (SABD + SACD ) : SBCD = (15 + 20) :14 = 5 : 2 .4. 【

7、J3A3B3】如图， ABC 中， BD : DC = 5: 4 , AE : EC = 3: 2 ,求AF：BF.CE O DA F B【答案】6 :5 【解析】法一：根据燕尾模型有 SABO : SACO = BD : DC = 5 : 4 = 15 :12 ,SABO : SBCO = AE : EC = 3 : 2 = 15 :10 ,（ ABO 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 AF : BF = SACO : SBCO = 12 :10 = 6 : 5 .法二：标份数， SABO : SACO = BD : DC = 5: 4 ，所以假设 SABO 为 5 份，则 SACO 为

8、 4 份，又因为S : S = AE : EC = 3: 2 ， 所 以 S 为 5 3 2= 10 份 ， 所 以ABO BCO BCO 3AF : BF = S : S = 10 = 12 : 10 = 12:10 = 6: 5ACO BCO 4: 3 3 3AF BD CE AF 5 2 AF 6法三：根据塞瓦定理，可知 = 1 ，即 = 1，解得 = ，所以 AF : BF = 6 :5 .BF CD AE BF 4 3 BF 55A1 EOB D C【答案】(1)21; (2)6【解析】（1） 如图，连接 OC，则图中将会出现燕尾模型.A6 1 EO 212B D C根据等高模型可知

9、三角形 COE 的面积是 2，故三角形 AOC 的面积为 3；在燕尾 ABOC 中，SAOB = BD = 2 ，故三角形 AOB 的面积为32 = 6 ；在燕尾 ABCO 中， SBOC = EC = 2 ，故SAOC DC 1 SAOB EA 1三角形 BOC 的面积为62 =12 ；故三角形 ABC 的面积为3 + 6 +12 = 21 .（2）因为 S : S = BD : CD = 2 :1 ，所以 S = 12 1 = 4 ，所以四边形 CDOE 面积是 4+2=6.BOD COD COD 1 + 26. 【A4LB4L】如图，三角形ABC的面积是 1， CD = 2DB ， CE

10、 = 3EA ，AD与BE相交于点O，请问四边形CDOE 的面积是多少？构造燕尾AEOB D C7【答案】12【解析】如图，连接 OC，则图中将会出现燕尾模型.A1 E2 3O2 4B D C观察可以发现三角形 AOE 应当是面积最小的三角形，设其面积为 1 份，则根据等高模型可知SAOB BD 1三角形 COE 的面积是 3 份，故三角形 AOC 的面积为 4 份；在燕尾 ABOC 中， S = DC = 2 ，AOC6SBOC EC 3故三角形 AOB 的面积为 4 2 = 2 份；在燕尾 ABCO 中， S = EA = 1 ，故三角形 BOC 的面AOB积为23 = 6 份；在三角形

11、BOC 中，由等高模型可知三角形 BOD 和三角形 COD 的面积比为1: 2 ，故 S = 6 1 = 2 份， S = 6 2 = 4 份.BOD 1+ 2 COD 1+ 2所以三角形 ABC 的面积为1+ 3 + 2 + 2 + 4 =12 份. 故 S =1(3+4) = 7 .CDOE 12 12教学提示：可以先提示学生设AOE 面积为 1 份.7. 【J4L】如图，三角形ABC的面积是 24， CD = 2DB ， CE = 3EA ，AD与BE相交于点O，请问四边形CDOE 的面积是多少？构造燕尾AEOB D C【答案】14【解析】如图，连接 OC，则图中将会出现燕尾模型.A1

12、E2 3O2 4B D C观察可以发现三角形 AOE 应当是面积最小的三角形，设其面积为 1 份，则根据等高模型可知SAOB BD 1三角形 COE 的面积是 3 份，故三角形 AOC 的面积为 4 份；在燕尾 ABOC 中， S = DC = 2 ，AOCSBOC EC 3故三角形 AOB 的面积为 4 2 = 2 份；在燕尾 ABCO 中， S = EA = 1 ，故三角形 BOC 的面AOB积为23 = 6 份；在三角形 BOC 中，由等高模型可知三角形 BOD 和三角形 COD 的面积比为1: 2 ，故 S = 6 1 = 2 份， S = 6 2 = 4 份.BOD 1+ 2 COD

13、 1+ 2所以三角形 ABC 的面积为1+ 3 + 2 + 2 + 4 =12 份.每一份是 24 12=2 ， 故SCDOE = 24 12(3+4)=14 .教学提示：可以先提示学生设AOE 面积为 1 份.8. 【J5A5】如图，在长方形ABCD中连接DF和BE，已知DE:EC=1:3,BF:FC=2:1,三角形DEG面积为 1， 求四边形CEGF的面积.构造燕尾7模块三：复合燕尾模型9. 【B 】如图，正三角形ABC面积为 7，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的三等分点，即 BD = 1 BC ，5 3CE = 1 CA ， AF = 1 AB ，求阴影三角形GHI的面积.3 3A

14、F IEG HB D C【答案】1A DEB F C【答案】11【解析】连接 BD，构造燕尾模型.A DEB F C根据比例模型可知 SEGC = 3 ，根据燕尾模型 DBGC， SDBG : SDGC = BF : FC = 2 :1 ，可知SDBG = 8 ，再由燕尾模型 DBCG， SDBG : SBCG = DE : EC = 1: 3 ，可知 SBCG = 24 ，在三角形BCG 中，根据比例模型，三角形 CFG 的面积为 1 24=8 ，所以四边形 CEGF 的面积是 8+3=113【教学提示】尖子班例题没有出现长方形中的燕尾模型，作业中有，老师可以自行补充一下怎么构造辅 助线.G

15、G8【解析】连接 CG，构造三燕尾模型 ABC-G，设BCG 面积为 1 份，AF IEG HB D C根据燕尾模型 ABCG， SABG : SBCG = AE : EC = 2 :1，所以ABG 面积为 2 份， 根据燕尾模型 BACG， SABG : SACG = BD : DC = 1: 2 ，可得ACG 面积为 4 份， 整个ABC 的面积为 1+2+4=7 份，所以ABG 面积为 2.同理可知BCH，CAI 面积也都是 2，所以阴影三角形 GHI 的面积为7 - 2 3 = 1.10. 【B6】如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，AD、BE、CF相交于一

16、点O， 这样三角形ABC被分成 6 个三角形，其中 4 个三角形的面积已经给出，请问：（1）图中有多少对面积的比值等于 AE : CE 以及 BD : CD 的三角形，请找出至少两对；（2）三角形 ABC 的面积是多少？AF 84O E3540 30B D C【答案】（1） AE : CE = SAOE : SCOE = SABO : SCBO = SABE : SCBE BD : CD = SABO : SACO = SABD : SACD = SBOD : SCOD(2)315【解析】(1) 略(2)法一：设 SAOE = x ， SBOF = y ，根据燕尾模型有方程组(x + 35)

17、: (84 + y) = 30 : 40 (燕尾ABOC) 化简为整式方程组： 4x - 3y =112 ，解得( y + 84) : (40 + 30) = x : 35 (燕尾ABCO) 2x - y = 84 x = 70 ，故总面积为84 + 56 + 40 + 30 + 35 + 70 = 315 . y = 56议用）教学提示：题中AOF 面积为 84 的条件是多给的，如果没有此条件，也可设AOE 面积为 x ，由于SABO = BO = SBCO = 40 + 30 = 2 :1，所以ABO 面积为 2x ，根据燕尾模型 CABO，可列方程SAEO EO SCEO 352x :

18、(x + 35) = 40 : 30 ，所以 x = 70 ，ABC 面积为 40+30+35+70+140=315.再用一次燕尾模型 BCAO 也可求出AOF，BOF 的面积.（备注：这个方法太麻烦，不建9本讲巩固1. 【J1A1B1】如图所示，三角形ABE的面积是 15，三角形ACE的面积是 12，三角形BDE的面积是 10，求三角形CDE的面积.笔记整理燕尾模型：ab S1S2结论： S : S = a : b 或 S1 = a1 2 S b2三燕尾模型：CE O D S3 S2S1A F BSAOF AF S3其中的关键是先求出 S1 : S2 : S3 ，这样就有 S = BF =

19、S ，其余类似，这样就可以分别求出六个小三角BOF 2形的面积.法 二 ： SAOB : SAOE = BO : OE = SBCO : SEOC = (40 + 30) : 35 = 2 :1=4 : 2 ， 又 因 为SAOB : SAOC = BD : CD = 40 : 30 = 4 : 3 ，所以可以设 SAOB 为 4 份，则 SAOE 为 2 份， SAOC 为 3 份， 也 就 是 SEOC 为 1 份 ， 是 35. 所 以 SAOB =35 4=140 ， SAOC =3 35=105 ， 所 以SABC = 140 + 105 + 40 + 30 = 315 .10AEB

20、 D C【答案】8.【解 析】法一：根据等 高模型， SCDE : SACE = DE : AE = SBDE : SABE = 10 :15 = 2 : 3 , 所以 SCDE = 12 3 2=8 .SBDE DE SCDE法二：因为 = = ， 所以可以得到类似风筝模型的结论，对角面积乘积相等， 即SABE AE SACESBDE SACE = SABE SCDE ，所以 SCDE = 12 10 15=8 .2. 【 J2A2B2 】 如图，三 角形 ABC 中， BD=2 ， DC=3 ， CE=5 ， EA=3. SABG : SACG = : ，SABG : SBCG = : ，

21、 SACG : SBCG = : ， AF：BF = : ；燕尾模型的直接应用A3EF G5B 2 D 3 C【答案】2:3; 3:5; 9:10; 9:10;【解析】 SABG : SACG = BD : CD = 2 :3 ， SABG : SBCG = AE : EC = 3: 5 ，将它们化为 SABG : SACG = 6 :9 ，SABG : SBCG = 6 :10 ， SACG : SBCG = 9 :10 ，AF：BF= SACG : SBCG =9:10.3. 【J3A3B3】如图， ABC 中， CD : BD = 3: 4 ,点 F 为 AB 边上的中点,求AE：EC.

22、CE O DA F B【答案】 4 :3 【解析】根据燕尾模型有 SACO : SABO = CD : BD = 3: 4 ,因为 F 是中点，所以 AF : FB = 1:1， SACO : SBCO = AF : BF = 1:1 = 3 : 3 （ ACO 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以AE : EC = SABO : SBCO = 4 :3 .114. 【J4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了 4 个部分， AE : EC = 2 :5 ， DB : CD = 3: 2 ；已知三角形AOE的面积是 8, 三角形ABC的面积是多少？构造燕尾AEOB D C【答案】175【

23、解析】如图，连接 OC，则图中将会出现燕尾模型.A8 E42 20O105B D C根据等高模型可知三角形 COE 的面积是8 2 5=20 ，故三角形 AOC 的面积为 28；在燕尾 ABOC 中，SAOB = BD = 3 ，故三角形 AOB 的面积为 28 23 = 42 ；在燕尾 ABCO 中， SAOB = AE = 2 ，SAOC DC 2 SBOC EC 5故三角形 BOC 的面积为 42 25 =105 ；故三角形 ABC 的面积为 42 + 8 + 20 +105 =175 .5. 【J5】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了 4 个部分， AE : EC = 1: 2

24、， DB : CD = 3: 2 ；已知三角形AOE的面积是 10, 四边形CDOE的面积是多少？构造燕尾12AEOB D C【答案】56【解析】如图，连接 OC，则图中将会出现燕尾模型.A10 E45 20O54 36B D C根据等高模型可知三角形 COE 的面积是10 1 2=20 ，故三角形 AOC 的面积为 30；在燕尾 ABOC 中，SAOB = BD = 3 ，故三角形 AOB 的面积为30 23 = 45 ；在燕尾 ABCO 中， SAOB = AE = 1 ，SAOC DC 2 SBOC EC 2故三角形 BOC 的面积为 45 12 = 90 ；根据等高模型， SBOD :

25、 SCOD = BD : CD = 3: 2 ，所以SCOD = 90 (3+2) 2=36 ,所以四边形 CDOE 的面积是 20+36=56.6. 【A4B4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了 4 个部分， AE : EC = 2 :5 ， DB : CD = 3: 2 ；已知三角形AOE的面积是 8,(1) 三角形 ABC 的面积是多少？(2)四边形 CDOE 的面积是多少？AEOB D C【答案】(1)175; (2)62【解析】如图，连接 OC，则图中将会出现燕尾模型.13A A8 E 8 E42 20 42 20O O105 42B D C B D C根据等高模型可知三角形

26、 COE 的面积是8 2 5=20 ，故三角形 AOC 的面积为 28；在燕尾 ABOC 中，SAOB = BD = 3 ，故三角形 AOB 的面积为 28 23 = 42 ；在燕尾 ABCO 中， SAOB = AE = 2 ，SAOC DC 2 SBOC EC 5故三角形 BOC 的面积为 42 25 =105 ；(1) 故三角形 ABC 的面积为 42 + 8 + 20 +105 =175 .(2)根据等高模型，SBOD : SCOD = BD : CD = 3: 2 ，所以 SCOD = 105 (3+2) 2=42 ,所以四边形 CDOE的面积是 42+20=62.构造燕尾7. 【A

27、5B5】如图，在长方形ABCD中连接DF和BE，已知DE:EC=1:4,BF:FC=2:1,三角形DGE面积为 1，求长方形 ABCD 的面积.构造燕尾A DEB F C【答案】110【解析】连接 BD 与GC ,构造燕尾模型.A DEB F C55 G 110 440G14复习巩固1. 【J1A1】甲乙两人原有的钱数之比为 2 :3 ，后来甲又得到 60 元，乙也得到 60 元，这时甲、乙钱数之比为5: 7 ，求原来两人的钱数之和为多少?【答案】600 元【解析】前后甲、乙的钱数差不变，开始甲:乙= 2: 3=4: 6 ，之后甲:乙= 5: 7 ，也就是说增加的 60 元，占根据比例模型可知

28、 SDGE = 1， 根据等高模型， SDGE : SCGE = DE : CE = 1: 4 ,可知三角形 CGE 的面积SDGB BF 2是 4，故三角形 DGC 的面积为 5；在燕尾 DBGC 中， S = FC = 1 ，故三角 DGB 的面积为DGCSDGB DE 15 12 =10 ；在燕尾 DBGC 中， S = EC = 4 ，故三角形 CGB 的面积为10 14 = 40 ；所以CGB三角形 BCD 的面积为1+4+10+40=55 ，所以长方形的面积为55 2=110 .8. 【B 】如图，正三角形ABC面积为 13，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的三等分点，即 BD = 1 BC ，6 4CE = 1 CA ， AF = 1 AB ，求阴影三角形GHI的面积.4 4AF IEG HB D C【答案】4【解析】连接 CG，构造三燕尾模型 ABC-G，设BCG 面积为 1 份，AF IEG HB D C根据燕尾模型 ABCG， SABG : SBCG = AE : EC = 3 :1 ，所以ABG 面积为 3 份， 根据燕尾模型 BACG， SABG : SACG = BD : DC = 1: 3 ，可得ACG 面积