奇妙的形使用说明.docx

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奇妙的形使用说明

奇妙的形

（配合《奇妙的形》使用说明）

总设计：

北京宣武区康乐里小学杜雷

几何图形的产生

几何原本》

割圆术思想的应用

密铺

七巧板

几何图形的产生

（配合ppt3〜6）

相传在5000多年前，古埃及尼罗河每年都要洪水，淹没大片的土地。

洪水带来的泥土覆盖在田地上，使原有田地的界限无法辨认。

所以每次洪水退去以后，人们就要重新丈量土地和计算土地的面积，于是就产生了最早的几何学。

几何学的原意就是“丈量土地”。

既然要丈量土地，就一定要掌握土地面积的计算。

人们在实践中发现：

一块

地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖（3X3）;另一块地面，三砖长、五

砖宽，就需要铺十五块砖（3X5）。

计算正方形和长方形的面积，只用长乘宽就行

了。

问题在于，不是所有的土地都是正方形或者长方形。

有些土地，好像那儿都

是边，那儿也有角，形状很不规则，把它们分成若干个三角形倒是方便的。

怎样才能求出三角形的面积呢？

其实，一旦掌握了长方形和正方形面积的求法，三角形面积也就不难求了。

一块正方形的麻布，可以折叠成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积，恰好是正方形面积的一半。

估计古埃及人正是从这

类简单的线索中，学会了求三角形面积的方法：

长乘宽再除以2。

平行四边形和

梯形的土地面积的求法也逐渐被发现了。

几何原本》

配合ppt7〜25）

数学巨著，并且自该书问世之日起，至今已有1000多种不同的版本广泛应用于世界各国，这本著作就是《几何原本》。

《几何原本》共有十三卷。

卷几何基础篇

第二卷几何代数

第三及第四卷圆形及正多边形

第五卷比例论

第六卷相似图形

第七、八、九卷数论

第十

卷不可公度量

第十一至第十三卷立体几何

第一卷给出了23个定义，5个公设，5个公理。

这些定义、公理、公设就是

几何原本》全书的基础。

什么是定义、公理、公设呢？

以下对三种基本概念进行解释。

三种根本性的概念：

1．定义——几何学中所用的字的意义。

如：

点、线、面、体、直角、垂直、

锐角、钝角、平行线等。

2．公理——适用于一切科学的不证自明的真理。

如：

若a=c,b=c,则a=b。

3．公设——适用于几何学的不证自明的真理。

如：

所有直角彼此相等。

由于公理和公设都是不证自明的真理，只是适用范围有所区分。

如今，人们已经把它们统称为公理而不加区别了。

几何原本》的第一卷中有23个定义，我们从中节选出跟小学数学点、线、

面的知识有关的几条定义：

1.点没有大小。

2.线有长度没有宽度。

3.线的界是点。

4.直线上的点是同样放置的。

5.面只有长度和宽度。

6.面的界是线。

20.在三边形中，三条边相等的叫做等边三角形；仅两条边相等的叫做等腰三角形；各边不相等的叫做不等边三角形。

23.平行直线是在同平面內的直线，向两个方向无限延长，不论哪个方向它

们都不相交。

介绍5个公设：

1．从任意点到另一点可以引直线。

2．有限直线可以无限延长。

3．以任意点为圆心，可用任意半径作圆

4．所有直角都相等。

5．如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧內角的和小于两直角，那

么这两条直线在这一侧必相交。

目前小学数学空间与图形中涉及的几何知识都属于欧几里得几何范畴。

这5

个公设在现行教材中都有体现。

例如，小学四年级数学上册，要求：

经过任意两

点画直线,并说一说你发现了什么?

经过探究得到了一个基本事实：

经过两点有一条直线并且只有一条直线。

即：

两点确定一条直线。

这个基本的事实就是几何原本中的公设一“从任意点到另一

点可以引直线”。

在日常生活或生产中经常用到这个公设。

例如，建筑工人砌墙

时，经常要在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线。

植树时

只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上。

介绍5个公理：

1．等于同量的量彼此相等。

2．等量加等量，其和仍相等。

3．等量減等量，其差仍相等。

4．彼此能重合的物体是全等的。

5．全体大于部分。

这几个公理为解决小学数学中的一些问题，提供了理论基础或推理依据如三

年级下册数学广角（等量代换）、五年级上册数学（简易方程）。

过去，小学数学习惯于用四则计算各部分的关系解方程，

现在用等式的性质

解方程，即：

等式的两边加上（或减去）相同的数仍是等式，

等式的性质即是公

理1、2的体现。

其实我们用直尺测量线段长度的理论依据就是这条公理。

在直尺上藏着很多

不同长度的线段，要测量的线段和直尺上多长的线段重合，

被测量的线段就有多

长。

五年级上册，在平行四边形面积公式推导过程中，通过画、剪、平移、旋转、

并把平行四边形转化为长方形的理论依据就是公设

4。

第五公理：

全体大于部分。

人们常常认为全体大于部分，但是“全体大于部分”的公理只在有限集合中才能成立。

在小学，我们比较全体和部分的大小时，都是在有限集合中进行比较的。

比如，｛0〜10以内的整数｝、｛0〜100以内的

整数｝、｛0〜1000以内的整数｝。

无论在哪个数集内比较，这些数集都是有限数集。

而对于无限的数集来说，这一命题却发生了质的变化。

例如，偶数集合明明是自然数集合的一部分，自然

数与偶数之间可以建立起一一对应关系：

0-0,1-2,2-4,3-&…n-2n。

由

此可见，对于每一个自然数，都有一个偶数与之相对应，偶数集合与自然数集合中的元素个数同样多，这时我们就不能说全体大于部分了。

为什么在《几何原本》中，把全体大于部分看作一个公理呢？

我们已经知道

几何原本》产生于两千多年前，由于当时历史条件的局限性，人们对数的认识局限在有限数集内。

当时人们都认为这是一个公理。

但是千百年中，随着人类社会的生产、生活与科学技术的发展，根据数学运算的实际需要，经过一代代数学家的努力研究，数学在不断的发展。

在数学发展的过程中，数学家经过对数的不断地重新认识、质疑、研究，产生了无限集合。

这是经过多年来一代代数学家的努力，数学发展到今天的规模，我们才有了对整体和部分比大小在有限集合中才能成立的认识。

欧几里得的《几何原本》在几何学发展的历史中，起了重大的历史作用。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。

由于历史条件的限制，他的理论体系并不是完美无缺的。

人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。

割圆术思想的应用

（配合ppt26〜34）

图形的产生是一个从特殊到一般的过程，在教学《图形的周长》时，可以从正三角形开始，逐步从三边形、四边形过渡到多边形。

在这一过程中，一方面可以使学生从感性上认识周长的概念——即围成图形所有边长度的总和；另一方面也可以使学生逐步认识到，在图形为正多边形时，可以根据图形边的特征，用

“边长X边数”来求出图形的周长；当图形的边的特征发生变化时，则可以运用

“等长的边X边数+等长的边X边数”的方法来求图形的周长。

圆的周长是一条封闭的曲线，一般情况下，学生很难想到运用化曲为直的

方法将曲线边图形转化成直线边图形。

而我国古代数学家刘徽则早在几千年前将圆周进行分割，并连接分割点使其成为圆的内接正多边形。

随着不断的分割，所得到的正多边形越来越逼近圆，其周长与面积也与圆的周长和面积越来越接近。

这正是刘徽在“半轴半径相乘得积步”中所提到的“割之又割，以至不可割，则与圆周合体无所失矣”。

运用这种思想，刘徽已经成功的将圆的内接正192边形分割出来，为解决圆的周长和面积问题铺好了路，并首次运用分割思想，求出了最初的圆周率，为后来对此类知识的研究奠定了基础。

密铺

配合ppt35〜62）

我们经常见到建筑物的地板或墙面，它们通常是用各种正多边形的砖铺成美

丽的图案，用形状相同或不同的材料做装饰建筑材料，不仅是从视觉上考虑,用

浅色正方形的材料铺地面可以给人以宽敞明亮的感觉,用长方形材料装饰墙面,

可以给人以墙体高深的感觉…….其实这也是根据图形的特征来决定的.

例如，正四边形的每个内角都是90度，四个拼在一起之和是360度；正六

边形的每个内角都是120度，3个角拼在一起公共顶点上的内角和为360度。

正三角形的每个内角都是60度，6个拼在一起，在公共顶点上的6个角之和正好是360度,用这几种正多边形既能铺满一个平面，中间又没有空隙。

是不是所有的正多边形都可以这样拼呢？

例如正五边形，他的内角和是540度，每个内角都

是108度，几个这样的图形拼起来中间总会有缝隙，如果我们有兴趣可以算算其

他的正多边形内角和，正n边形的每一个内角等于（n-2）180/n。

其实只有正三角

形、正四边形和正六边形这三种图形可以密铺，而其他正多边形不能达到这一要

求。

而6个三角形相拼又不及另两种好看，因此在艺术设计上一般用正四边形和正六边形的美术砖较多。

把一个平面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何中叫平面镶嵌或密铺问题。

另外，形状、大小完全相同的三角形、四边形、六边形因为他们公共定点上的内角和为360度，只要他们符合这一特征就能填满整个平面，也可以与其他图形搭配起来拼成美丽的画面。

根据这些原理，我们在设计建筑物的平面图形时，就可以更加科学，更加美观。

通过这样的欣赏课不仅教学生数学知识，还教学生观察生活。

七巧板

（配合PPt63〜97）

、七巧板的历史

七巧板也称“七巧图”，是中国著名的拼图玩具。

因设计科学，构思巧妙，变化无穷，能活跃形象思维，特别是启发儿童智力，所以深受欢迎。

传到国外后，风行世界，号称“唐图”，意即“中国的图板”。

说起“唐图”，自然与唐代有关，它的发明是受了唐代“燕几”的启发。

燕”通“宴”，“燕几”就是唐朝人创制的专用于宴请宾客的几案，其特点是可以随宾客人数多少而任意分合。

到了北宋，任官秘书郎的黄伯思对这种“燕几”作进一步改进，设计成六件一套的长方形案几系列，既可视宾客多少拼合，

又可分开陈设古玩书籍。

案几有大有小，但都以六为度，因取名“骰子桌”。

他的朋友宣谷卿看见这套“骰子桌”后，十分欣赏，再为他增设一件小几，以便增加变化，所以又改名“七星桌”。

七巧板的雏型，就在这兼备实用价值和艺术审美的图形拼合中产生了。

元明两代，中国的组合式家具顺应都市生活的需要，有了长足发展。

许多能工巧匠都借鉴黄伯思的《燕几图》，运用平面木块进行“纸上谈兵”式的设计。

有个叫严澄的明朝官员根据《燕几图》的原理，大胆引进三角形，设计成一套十三件的几案系列，合起来呈蝶翅形，分开组合的图形可达百余种，并据此编成《蝶几谱》。

在此基础上，从工师设计图板中脱颖而出的拼图玩具产生了，其时间大致在明末清初，因为是用薄木片或厚纸板做成七件套组合，俗成“七巧牌”，溯其渊源，同黄伯思的“七星”不无联系。

最初的“七巧牌”，形制各异。

到清代嘉庆年间有“养拙居士”在综理拼玩实践的基础上写成《七巧图》一书刊行后，其形制乃成定式，即大三角形两块、小三角形两块、中三角形和正方形、菱各一块，合成一个正方形或一个长宽二比一的长方形。

由于这种玩具简单到可以由小孩子自己用厚纸板制作，而玩起来的无穷趣味足以使成人为之着迷，所以流传极广，北京故宫博物院现存的清朝宫廷玩具中，就有一副盛放在铜盒中的七巧板。

在此同时，不少七巧板的玩家还编写专书，公布自己的拼图成果，今英国剑桥大学图书馆里，就有清规戒律“桑下客”

编的《七巧新谱》藏本。

有趣的是，近百年来，西方各国亦都有专门研究七巧板的书籍问世。

相传拿破仑在流放生活中，也曾以拼合七巧板作为消遣。

魅力无尽的七巧板游戏直到现在仍是儿童喜爱的智力性娱乐项目，不仅得到了社会的公认，在小学数学课程中也出现使用七巧板游戏。

数学家们则从组合原理和数学原理的角度，潜心研究它与人工智能、拓扑学，以至同电脑程序设计技术之间的联系，这方面所取得的成果，当然是燕几图、七巧板类的发明者所预想不到的。

二、拼图欣赏

从公元1803年起，用七巧板拼搭成的图案可以说是成千上万。

大致上,

七巧板的平图可归纳为三类:

1.模拟人、动物或其他实物。

这些图案风趣，有一定的艺术意境。

2.几何图形。

这些是要把七巧板的一部分或全部，或用几副七巧板来拼搭

几何图形，如拼搭不成功，则需要给予证明。

3.用七巧板来研究组合分析中的数学问题，因此它与电子计算机、程序设

计技术以及人工智能有着密切的关系。

三、七巧板的制作

1.拿一块硬纸板，画一个正方形ABCD。

2.找到AB的中点E，BC的中点F，连接EF,作出正方形的对角线,对角线的交点为H。

3.延长DH到EF上，交点为G。

4.过E点作EK平行GD,K%EK和AC的交点。

5.过G点作GL平行BC。

L为GL和AC的交点。

这样，就把原来的正

方形划分成了七块。

6.最后不同的部分涂上不同的颜色，七巧板中包含两块大的等腰直角三角

形、一块中号的等腰直角三角形、两块小的等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形。

四、七巧板的结构

七巧板中包含两块大的等腰直角三角形、一块中号的等腰直角三角形、两块小的等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形。

大的等腰直角三角形的面积是中号的等腰直角三角形面积的2倍。

中号的等腰直角三角形的面积是小的等腰直角三角形面积的2倍。

大的等腰直角三角形的面积是小的等腰直角三角形面积的4倍。

在教学分数的初步认识时也可引入七巧板里这些三角形之间的数量关系。

五、七巧板里包含的特殊角

90"角13个、135"角5个、45"角11个。

六、七巧板里互相垂直的线段

AF丄ABAB丄BDAF丄FD,BDIFD,AHLCE

GELBF,GELEC,AHLBF,LH丄AB,LH丄FD.

七、七巧板里互相平行的线段

AB//FDCE//BF、GE//AHAF//BD//HL

八、拼图举例（略）

九、互动：

动手拼一拼

每组同学，利用你们做的七巧板最少拼两个不同的图案，（一个图案最多只能用一副七巧板），并且讨论完成以下几个问题.

一）你们的拼图用了什么形状的板？

想表现什么？

二）在你拼出的图案中，指出三组互相平行或垂直的线段，并将它们之间

的关系表示出来.

三）在你们拼出的图案中，找出一个锐角，一个直角，一个钝角，并将它

们表示出来，它们分别是几度？