难题突破专题二 K字型相似研究.docx

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难题突破专题二K字型相似研究

难题突破专题二　“K”字型相似研究

相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，

有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．

类型1　“K”字型相似基本图形1

图Z2－1

1条件：

如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.

证明：

例题分层分析

（1）证明两个三角形相似有哪些方法？

（2）除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？

【应用】

如图Z2－2，已知点A（0，4），B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为________．

图Z2－2

例题分层分析

（1）根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？

根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？

（2）设P（x，0），则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．

解题方法点析

“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．

类型2　“K”字型相似基本图形2

2条件：

如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.

图Z2－3

结论：

△BDE∽△CFD.

证明：

例题分层分析

（1）“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？

（2）如何证明∠E＝∠CDF?

【应用】

1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.

图Z2－4

（1）直接写出点B的坐标：

________；

（2）当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．

例题分层分析

（1）过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．

（2）根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？

根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？

2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－

x2＋

交于点A（3，6）．

图Z2－5

（1）求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．

（2）若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O，A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：

m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？

例题分层分析

（1）利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．

（2）①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；

②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．

解题方法点析

“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．

专题训练

1．[2017·常州]如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是（　　）

A．（2，7）B．（3，7）C．（3，8）D．（4，8）

图Z2－6

2．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB＝8，则EF＝________．

图Z2－7

3．[2017·攀枝花]如图Z2－8，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则

＝________．

图Z2－8

4．如图Z2－9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE＝________．

图Z2－9

5．如图Z2－10，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝

，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°.

（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；

（2）若射线EF经过点C，则AE的长是________．

图Z2－10

6．[2017·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点．若CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，则MD＋

的最小值为________．

图Z2－11

7．如图Z2－12，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.

（1）若点F与B重合，求CE的长；

（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．

图Z2－12

8．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.

（1）求证：

AC·CD＝CP·BP；

（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

图Z2－13

9．[2017·天水]△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：

△BPE≌△CQE.

（2）如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：

△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．

图Z2－14

10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．

（1）如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.

（2）操作：

将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.

①探究1：

△BPE与△CFP相似吗？

请说明理由；

②探究2：

△BPE与△PFE相似吗？

请说明理由．

图Z2－15

参考答案

类型1　“K”字型相似基本图形1

例1　【例题分层分析】

（1）证明两个三角形相似常用的判定方法有：

两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．

（2）根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.

证明：

证明过程略．

应用

【例题分层分析】

（1）根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以

＝

.

（2）设P（x，0），因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以

＝

，解得x＝2，从而得到点P的坐标为（2，0）．

[答案]（2，0）　[解析]∵PA⊥PB，

∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，

∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.

又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，

∴∠BCP＝∠POA＝90°，

∴△BCP∽△POA，∴

＝

.

∵点A（0，4），B（4，1），∴AO＝4，BC＝1，OC＝4.

设P（x，0），则OP＝x，PC＝4－x，

∴

＝

，解得x＝2，∴点P的坐标为（2，0）．

类型2　“K”字型相似基本图形2

例2　【例题分层分析】

（1）两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．

（2）∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，

由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.

又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，

∴∠E＝∠CDF.

证明：

∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，

由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.

又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，

∴∠E＝∠FDC.

又∵∠B＝∠C，

∴△BDE∽△CFD.

应用1

【例题分层分析】

（1）过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为（4，4）．

（2）由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，

所以

＝

，

设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝

AB＝2，AP＝7－x，

所以

＝

，解得x＝2或x＝5，

所以点P的坐标为（2，0）或（5，0）．

解：

（1）过点B作BQ⊥x轴于点Q.

∵AB＝OC，

∴AQ＝（7－1）÷2＝3，

在Rt△BQA中，BA＝5，

由勾股定理，得BQ＝

＝4，

∴点B的坐标为（4，4）．

（2）∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，

即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，

而∠CPD＝∠OAB＝∠COP，

∴∠OCP＝∠APD，

∴△OCP∽△APD，

∴

＝

.

∵

＝

，∴AD＝2.

设OP＝x，OC＝AB＝5，AP＝7－x，

∴

＝

，

解得x＝2或x＝5，

∴点P的坐标为（2，0）或（5，0）．

应用2

【例题分层分析】

（1）直线y＝kx的函数表达式为y＝2x，OA＝

＝3

.

（2）①点F的坐标为（

，0），点B的坐标为（6，2），

AB＝5.

②根据“K”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED，设OE＝a，则AE＝3

－a（0＜a＜3

），

由△ABE∽△OED得

＝

，

∴

＝

，∴a2－3

a＋5m＝0，

依题意知m>0，

∴当Δ＝0，即（－3

）2－20m＝0，m＝

时，符合条件的点E有1个；

当Δ＞0，即（－3

）2－20m＞0，0＜m＜

时，符合条件的点E有2个．

解：

（1）把点A（3，6）的坐标代入y＝kx，得6＝3k，

∴k＝2，∴y＝2x，OA＝

＝3

.

（2）如图，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R.

∵∠AOD＝∠BAE，

∴AF＝OF，

∴OC＝AC＝

OA＝

.

∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴

＝

＝

＝

，∴OF＝

×

＝

，

∴点F的坐标为

.

设直线AF的函数表达式为y＝ax＋b（a≠0），把点A（3，6），F

的坐标代入，解得a＝－

，b＝10，∴y＝－

x＋10，

由

解得

（舍去），

∴B（6，2），∴AB＝5.

∵∠BAE＝∠BED，

∠ABE＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED，

∴∠ABE＝∠DEO.

∵∠BAE＝∠EOD