分布列与数学期望.docx
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分布列与数学期望
分布列与数学期望
Documentnumber
NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
离散型随机变量的分布列与数学期望
班级姓名
0
1
2
P
X2
X
£4
1.已知随机变量g的分布列
如右表：
贝ljx=。
2.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱，则
A邮箱的信件数g的数学期望砧=—.
3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的
干部竞选.
（1）设所选3人中女生人数为g,求g的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球
和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设4为取出的4个球中红球的个数，求f数学期望.
5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革,
教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（D求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X,求X的分布列和数学期望.
6.（本题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:
2:
3,其中第
2小组的频数为12.
⑴求该校报考飞行员的总人数；
⑵以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据.若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
7.某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通
过量化检测。
假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
221
辛二（，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合J0
格，则该项指标记。
分，各项指标检测结果互不影响。
（I）求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（II）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量鼠求力的分布列与数学期望。
8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即
没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回.
（1）设第一次训练时取到的新球个数为包求j的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.
9、假定某人每次射击命中目标的概率均为现在连续射击3次。
2
（1）求此人至少命中目标2次的概率；
（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。
射击
结束。
记此人射击结束时命中目标的次数为X,求X的数学期望。
答案：
3.解：
3的所有可能取值为o,1,2.
C31
依题意，得尸信=O）=*=g
clc21
蜂=2）=支行
•••4的分布列为
0
1
2
7）
1
3
£
r
5
5
5
131
E4=0x-+lx-+2x-=lo
555
（2）设“男生甲被选中”为事件4"女生乙被选中”为事件乩则尸⑷咯4P（硝哈=（,
.、P（AB）2
••pib\a\=--~~—=—
V17P（A）5
2
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为三
4.解：
（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2
个球均为黑球'为事件区由于事件4、8相互独立，
且P（A）W玖8吟W
所以取出的4个球均为黑球的概率为尸（a.8）=P（A"（8）-x3=L
255
（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1
个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球11为事件。
.由于事件C、D互斥,且唱.警/9=
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
417
P（C+D）=P（C）+P（D）=-+r-.
（3）设4可能的取值为0/23.
由
（1）、
（2）得p4=o）=\p（j=i）=1,p（M=3）=q，=-!
-.
51530
所以尸（4=2）=1-0&=0）一0（4=1）一尸（4=3）=上・
y的数学期望为造小+M+2*+3$q.
⑵
X
0
1
2
3
P
2
5
3
10
15
1To
231
EX=0x二+1x—+2x-+3x—=1510510
6、解：
（1）设报考飞行员的人数为〃，前三小组的频率分别为P1,P2，〃3,则由条件可得：
Pi=2Pl
<〃3=3〃i解得〃]=0.125,p?
=0.25,〃3=0.3754分
Pi+生+P3+（0.037+0.013）x5=1
17
又因为〃2=。
.25==，故〃=486分
（2）由⑴可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为
P=“3+（0.037+0.013）乂5=二8分
8
sa
所以x服从—项分布,P（X=女）=（：
）"（石）3koO
，随机变量X的分布列为：
.V
0
1
2
3
27
135
225
125
P
512
512
512
512
ni.^2713522512515…八
5125125125128
中厂q515、
（或：
Ex=3x-=一）88
7.
（⑼解,⑴记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件4&C,则事件“得分不低于8分”表示为片SUM於.因为N8C和力豆。
为互斥事件，且“、仄。
彼
此独立，
04
产（48cM二〃（/14仁）+片,Me）
=P（月）P（8）尸（C）-P（.d）产巧）P（C）
2212111
=-X—X—卜—X-X-:
一.
3323323
'H）该坊新技术的三个拉标中被检测C格的指标个数4的取值为0,1,2,3.
尸（餐0）斗（就卜鹤）P®昨）fS
JJZ15
；分
尸&=1）l尸（月方^）+P（,83}+P（7§C）
12111
L-X-X—+-X-X,
33233218
P居-2）=PQ叫-P眄＞P08C）
2212111218
=X—X—+—X-X—十—X—X—=—,33233233218/尹3）叼谢）小沁=：
。
、L1o
10分
一
1
2
P
1
5
18
8
18
所以,随机变.Mt分仇货为
3分
】2分
2分
••3分
1分
.因为
8分
・・・・・・・9
10分
.……11分
仃上―5上16123311
所以£言-十——,■==*♦»•»•»«••••
1818I8186
（20）解：
（［）证明：
设/C与氏D相交于点O,连结FO.
因为四边形月68为菱形,所以AC18Q,且。
为4c中点.
又FA=FC.所以彳CjLEO.
因为FOCBD=O,FOu平面8DEF,BDu平面8DE尸，
所以月C1平面
8.解：
（1）J的所有可能取值为0,1,2.
设“第一次训练时取到i个新球（即1=i）”为事件4（i=0,1,2）集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
「21
p（4）=p（*o）=另一
3
3
尸（4）=尸0=1）=/晨晨，••••
P（4）=尸0=2）=|1=（.,一
所以g的分布列为（注：
不列表，不扣分）
0
1
2
p
5
3
5
5
，八131
g的数学期望为Eg=0x二+lx二+2x==].
5
.
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件8
贝IJ“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A.B+A.B+A.B.
而事件A°B、A/、互斥，
所以，P（A°8+AB+&8）=P（AM）+P（A8）+P（A/）.
由条件概率公式，得
、1c\c\133
尸（4）8）=尸（A）尸（81A,=_x'J=二x二=—,
5°5525
3C\C\388
P（A1B）=P（A1）P（BIA）=-x-±rL=-x—=—,
JJ1，4J
P（A2B）=P（A2）P（Z?
IA2）=|x-^-=|x|=-^.
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
38138
P（A0B+AXB+AyB）=—+1=--.12分
-25251575
9.
（1）设此人至少命中目标2次的事件为4则P（A）=C;-（I）2-
（1）+C；
（1）3=1,
即此人至少命中目标2次的概率为;4分
■■
⑵由题设知X的可能取值为0,1t2t3f且P（X=O）=。
1（与♦（；）=），_2J210
■.
P（X=1）=^.
（1）'.
（1）2+
（1）=1,P（X=2）=^-（l）2.（i）=|,
尸（X=3）=C；.（!
『='，8分
Zo
[73125
从而E（X）=—xOh—x1+—x2+—x3=二.10分
16168816
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