值域经典题型.docx
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值域经典题型
值域简单练习题
1.求
在
上的值域
2.求函数
的值域
3.求函数
的值域
4.求函数
的值域
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.求函数
的值域。
值域的求法加强练习题
解答题（共10小题）
1．已知函数
的定义域为集合A，函数
的值域为集合B，求A∩B和（CRA）∩（CRB）．
2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．
3．求函数的值域：
．
4．求下列函数的值域：
（1）y=3x2﹣x+2；
（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
（6）
；
5．求下列函数的值域
（1）
；
（2）
；
（3）
x∈[0，3]且x≠1；
（4）
．
6．求函数的值域：
y=|x﹣1|+|x+4|．
7．求下列函数的值域．
（1）y=﹣x2+x+2；
（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=
．
8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．
9．已知f（x）的值域为
，求y=
的值域．
10．设
的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．已知函数
的定义域为集合A，函数
的值域为集合B，求A∩B和（CRA）∩（CRB）．
考点：
函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。
1457182
专题：
计算题。
分析：
由
可求A，由
可求B可求
解答：
解：
由题意可得
∴A=[2，+∞），∵
∴B=（1，+∞），CRA=（﹣∞，2），CRB=（﹣∞，1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2，+∞）
∴（CRA）∩（CRB）=（﹣∞，1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
点评：
本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题
2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．
考点：
函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。
1457182
专题：
计算题。
分析：
（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（2）在
（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3]上的最值，从而可得函数在（0，3]上的值域．
解答：
解：
（1）因为f（0）=f（4），所以图象的对称轴为x=
=2，
∴b=﹣4，函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3，
解f（x）=0，得x1=1，x2=3，因此函数的零点为：
1和3
满足条件f（x）＜0的x的集合为（1，3）
（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数
所以函数在x=2时，有最小值为﹣1，最大值小于f（0）=3
因而函数在区间（0，3]上的值域的为[﹣1，3）．
点评：
本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题．只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案．
3．求函数的值域：
．
考点：
函数的值域。
1457182
专题：
计算题；转化思想；判别式法。
分析：
由于对任意一个实数y，它在函数f（x）的值域内的充要条件是关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解，因此“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解，求y的取值范围”．
解答：
解：
判别式法：
∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．
由
得：
（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①
①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，∴x=0∈R
②当y﹣2≠0即y≠2时，
∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根，
∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函数的值域为[1，5]．
点评：
判别式法：
把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：
（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求．
（2）当二次项系数不为0时，利用“∵x∈R，∴△≥0”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形．
4．求下列函数的值域：
（1）y=3x2﹣x+2；
（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
（6）
考点：
函数的值域。
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专题：
常规题型。
分析：
（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣
）2+
（2）看作是复合函数先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=
，再配方法求得μ的范围，可得
的范围．
（3）可用分离变量法：
将函数变形，y=
=
=3+
，再利用反比例函数求解．
（4）用换元法设t=
≥0，则x=1﹣t2，原函数可化为y=1﹣t2+4t，再用配方法求解
（5）由1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1，可用三角换元法：
设x=cosα，α∈[0，π]，将函数转化为y=cosα+sinα=
sin（α+
）用三角函数求解
（6）由x2+x+1＞0恒成立，
即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有根求解．
解答：
解：
（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣
）2+
≥
，∴y=3x2﹣x+2的值域为[
，+∞）
（2）求复合函数的值域：
设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=
又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，
∴0≤μ≤4，故
∈[0，2]，
∴y=
的值域为[0，2]
（3）分离变量法：
y=
=
=3+
，∵
≠0，∴3+
≠3，
∴函数y=
的值域为{y∈R|y≠3}
（4）换元法（代数换元法）：
设t=
≥0，则x=1﹣t2，
∴原函数可化为y=1﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，
∴原函数值域为（﹣∞，5]
注：
总结y=ax+b+
型值域，
变形：
y=ax2+b+
或y=ax2+b+
（5）三角换元法：
∵1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1，
∴设x=cosα，α∈[0，π]，
则y=cosα+sinα=
sin（α+
）
∵α∈[0，π]，∴α+
∈[
，
]，∴sin（α+
）∈[﹣
，1]，∴
sin（α+
）∈[﹣1，
]，
∴原函数的值域为[﹣1，
]
（6）判别式法：
∵x2+x+1＞0恒成立，
∴函数的定义域为R
由y=
得：
（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①
①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，
∴x=0∈R
②当y﹣2≠0即y≠2时，
∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根，
∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，
∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函数的值域为[1，5]
点评：
本题主要考查求函数值域的一些常用的方法．配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法…
5．求下列函数的值域
（1）
；
（2）
；
（3）
x∈[0，3]且x≠1；
（4）
．
考点：
函数的值域。
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分析：
（1）把函数转化成关于tanx的函数，进而求值域．
（2）令因为1﹣x2≥0，即﹣1≤x≤1，故可x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值．
（3）把原式变成2+
，设t=
，通过幂函数t的图象即可求出t的值域，进而求出函数y=
的值域．
（4）令t=x﹣4，即x=t+4代入原函数．得出y关于t的函数，进而求出答案．
解答：
解：
（1）∵
=
=1+
+4tanx+4
=5+
+4tan2x≥2
+5≥9
∴函数
的值域为[9，+∞）
（2）令x=sinα，α∈[﹣
，
]
∴
=sinα﹣cosα=
sin（α﹣
）
∵α∈[﹣
，
]∴α﹣
∈[﹣
，
]∴sin（α﹣
）∈[﹣1，
]
∴
的值域为[﹣
，1]
（3）y=
=2+
令t=
，则其函数图象如下
如图可知函数在区间[0，1）单调减，在区间（1，3]单调增
∴t∈（﹣∝，﹣6]∪[3，+∝）
∴y∈（﹣∝，﹣4]∪[5，+∝）
即函数y=
的值域为（﹣∝，﹣4]∪[5，+∝）
（4）设t=x﹣4，x=4+t
则
=
=
﹣
=|
+2|﹣|
﹣2|
∵t=x﹣4≥0
∴
≥0
∴y=
∴y∈[0，4]
即函数
的值域为[0，4]
点评：
本题主要考查求函数的值域问题．此类题常用换元、配方、数形结合等方法．
6．求函数的值域：
y=|x﹣1|+|x+4|．
考点：
函数的值域。
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专题：
计算题；分类讨论。
分析：
由函数表达式知，y＞0，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．
解答：
解：
数形结合法：
y=|x﹣1|+|x+4|=
∴y≥5，
∴函数值域为[5，+∞）．
点评：
本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法．
7．求下列函数的值域．
（1）y=﹣x2+x+2；
（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；
（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；
（4）y=
．
考点：
函数的值域。
1457182
专题：
计算题。
分析：
（1）求二次函数y=﹣x2+x+2的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域．
（2）求一次函数y=3﹣2x在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域．
（3）求二次函数y=x2﹣2x﹣3在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域．
（4）求分段函数y的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域．
解答：
解：
（1）二次函数y=﹣x2+x+2；
其图象开口向下，对称轴x=
，当x=
时y有最大值
；
故函数y的值域为：
（﹣∞，
）；
（2）一次函数y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；单调递减，
在x=﹣2时，y有最大值7；在x=9时，
y有最小值﹣15；
故函数y的值域为：
[﹣15，7]；
（3）二次函数y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；
图象开口向上，对称轴x=1，当x=1时，函数y有最小值﹣4；
当x=﹣1时，y有最大值0；
所以函数y的值域为：
[﹣4，0）；
（4）分段函数y=
；
当x≥6时，y=x﹣10≥﹣4；
当﹣2≤x＜6时，y=8﹣2x，
∴﹣4＜y≤12；
所以函数y的值域为：
[﹣4，+∞）∪（﹣4，12]=[﹣4，+∞）．
点评：
本组4个题目求函数的值域，都是在其定义域上先求其最值，根据最值，直接写出其值域；它们都是基础题．
8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．
考点：
函数
升级会员 