第四章习题与复习题详解线性空间高等代数.docx

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第四章习题与复习题详解线性空间高等代数

习题5.1

1.判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.

因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性•

由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实

数域上的线性空间•

2.全体正实数R+,其加法与数乘定义为

a三b=ab

ka=ak

其中a,b三R,k=R

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间

答是.设，，」…R.

因为；.■a,b・_R=，a=b=ab■-R,

.三R,a三R=■a=a'三R,

所以R•对定义的加法与数乘运算封闭

下面验证八条线性运算规律

（1）a^b=ab=ba=b^a;

（2）a：

Jb：

Jc=ab：

Fc=abc=abc=abc=a：

Jb：

Jc；

（3）R•中存在零元素1,-a•R［有a二1二a1=a；

⑷对R冲任-「元素a,存在负元素a—Rn,使a㊉a」=aa」=1;

（5）1a^a1=a;

（7）-.■-fa二aH'=a'a，=a'二a"-，a二「a;

（8）工一，（a二b）i（ab）=ab=ab=a二ba-•b.

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间

3.全体实n阶矩阵，其加法定义为

A：

.门B=AB-BA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.

：

A二B=AB-BA,B二A=BA-AB=-（AB-BA）

A二B与B二A不一定相等

，全体实n阶矩阵按定义的加法与

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则

（1）

数乘不构成实数域上的线性空间•4.在P2中，W={A/|A]=0,A乏P2>?

},判断W是否是P2涙的子空间.

答否.

例如"2和1，11的行列式都为零,

U2丿133丿

圭封闭.

3的行列式不为零,也就是说集合对加法不

1—1

a—1-

的线性相关性

解设x1A'~x2A2-x3A3-x4A4=0,

fax1亠x2亠x3亠x4=0即Xi-ax2X3X4=0

|x1-x2-ax3-x4=0

Jx1x2x3ax4=0

由系数行列式

a111

1a11

11a1

111a

=（a-3）（a-1）3

知,a=-3且a=1时，方程组只有零解,这组向量线性无关;

a=£或a=1时，方程组有非零解，这组向量线性相关

2•在R中，求向量：

在基：

-1,：

-2,：

'3,>4下的坐标•其中

解设〉=片-x2■x3二匚3■x/s4

由：

'1：

2爲爲

・0

『1

-0

初等行变换

-0

«）=

-1

-0

--1

-1

「丿

-0丿

得：

.=-R.故向量：

•在基?

1,?

2,：

'3,:

•4下的坐标为（1,0，-1，0）•

3.在P22中求

+x2C（2+x3Ct3+x4O（4

解设

则有

（Xi-.-0X2-.-X3-.-X4=2

Xt—x2—x3-.-0x4=3

|Xt-.-X2-.-OX3-.-0x4=4

xt-.-0x2-.-0x3-「0x4-_7

=2、

（1

-7'

-1

初等行变换

-21

--7i

■10

得：

•-_7二•11〉2-21：

3•30：

-4.故向量:

■在基1,：

-2,：

-3,：

-4下的坐标为（-7,11,-21,30）

4•已知R3的两组基

，A

，P3=

（1）求由基（I）到基（n）的过渡矩阵；

<1、

（2）已知向量a在基<^,（^,0（3下的坐标为0,求a在基P1^2,P3下的坐标；

C1丿

<1:

（3）已知向量p在基冃，月，良下的坐标为-1求p在基码,0（2,03下的坐标；

（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量

解

（1）

C是由基（

）到基（n）的过渡矩阵

由：

1,：

2,：

3-「，〉2=3C

2厂3

-2

（2）首先计算得C=

-1

（2

）

知基（i）到基（n）的过渡矩阵为c

1、

（1

3、

广2

4、

—

于是：

•在基：

1,：

2,：

3下的坐标为C-

（3）!

玄在基_：

»,-，2,二3下的坐标为C

⑷设Y在基Bl,02,03下的坐标为Y2

*23

z-y1'

据题意有

0-1

I-10

一1丿

严3J

解此方程组可得

y2=k

k为任意常数.

二丫=4沙2—3k月=k0k为任意常数•

」

5.已知P[x]4的两组基

（I）：

f’（x）=1xX2-X3,f2（x）=-x-X2,f3（x）=1—x,f4（x）=1

232332

（n）:

g’xjux'x亠x,g2（x）=1亠x亠x,g3（x）=l4x、x,

（1）求由基（i）到基（n）的过渡矩阵；

（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f（x）.

解

（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵,由g1,g2,g3,g^=f1,f2,f3,f4C

（1

1、

（1

0、

-1

初等行变换

-1

-2

-1

0丿

-1

3丿

有（1,x,x

1、

-1

=（1,X,x,

X）

°」

x3）

-2

-1

（2）设多项式f（x）在基（I）下的坐标为（x,,x2,x3,x4）T.

据题意有

-1

因为|c-E二

-2

-1

1=1

-2

所以方程组（*）只有零解，则f（x）在基（I

下的坐标为

（0,0,0,0）T，所以f（x）=0

习题5.3

证明线性方程组

的解空间与实系数多项式空间

|3x!

，x2—6X3—4x4，2x5=0

2x1■2x2—3x3—5x4".3x5=0

x1_5x2-6X3'8X4-6x5—0

R[x]3同构.

证明设线性方程组为AX=0,对系数矩阵施以初等行变换

-6

-4

初等行变换

-5

-6

-3

-5

-6

-6J

实系数多项式空间r[x]3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空

间R[x]3同构.

习题5.4

1.求向量〉=1,-1,2,3的长度.

解制=Ji2+（_1）2+22+32=曲.

2.求向量：

.=1,-1,0,1与向量一：

=2,0,1,3之间的距离.

解d（=.（1一2）2•（_1_0）2•（0-1）2-（1_3）2=..7.

3.求下列向量之间的夹角

（1）：

•=1,0,4,3，亠-1,2,1,-1

（2）?

=1,2,2,3,1二3,1,5,1

（3）：

•=1,1,1,2,1=3,1,_1,0

解

（1）；:

一：

=1（-1）0241-3（_1）=0,.a,.

（2）g,--1321H-2531=18,

618

=13T1亠1

（一1）

+2汉0=3

|a|=J+1+1+4=J7,HP|=J9+1+1+0,

1U.=arccos

3.设:

'-,为n维欧氏空间中的向量，证明：

d（:

・，J乞d（:

・，）d（,'）

证明因为|cc-P||2=||a一了十了-P||2=（a_Y+Y_p,a_Y+Y_0）

=（：

•一，〉一）（•一，一J•（一一）W-■-）

=（：

•一，「一）•2（-J•（；：

—「小

—22「•一-2

所以、「卩v（卜「|勺「-|）2，从而dC-,J-dC-,）■d（,'）.

习题

5.5

1.在R4中，求一个单位向量使它与向量组

、乂1二1,1^1,-1|、22二〔，-〔，-1,1|、乂3

=1,_1,1,_1正交.

解设向量：

.=（x1,x2,x3,x4）与向量、右，用2，'乂3正交,

（:

■,>1）=0则有（'.■，:

・2）=0

（二，：

'3）=0

lx1

即X1

x2-x3-x4=0

-x2-x3•x4=0（*）.

-x2•x3-x4=0

齐次线性方程组（*）的一个解为

/=X2=X3

=x4=1.

取〉=（1,1,1,1）,将向量「单位化所得向量：

■

1111

=（-,-,-,-）即为所求.

2222

将R3的一组基

‘1]

广0、

—

，口3=

化为标准正父基

I1丿

V丿

J丿

（1）正交化,取

彳、

■V

E（卩1,8）R_

5L2—52—门门L1—

1X1十1X2+1X1

（冃,貝）

1X1+1汉1+1X1

丫丿

I1丿

I1.丿

1；“1=.'1

=「3

（it）:

-0

—-0-（_1）•（-1）1

（『『C）2

'、、2丿

（2）将■,'2,'-3单位化

■3

则「'：

2，鳥为R3的一组基标准正交基.

3•求齐次线性方程组

fx1-.-x2—x3-「X4—3x5=0

捲亠x2-x3

亠X5=0

的解空间的一组标准正交基

所以只需求出一个基础解系

分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基,

再将其标准正交化即可•

解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵

11-11-3

11-101

*0001^4

可得齐次线性方程组的一个基础解系

-1、

，―

」

由施密特正交化方法，取

1/2

一1/3

1/2

—1/3

|爲』2+1冃=

03=q-丄01+丄02=

1/3

I0」

<0」

<1」

将I，'，、单位化得单位正交向量组

'1/2、

J/3]

1/2

厂

7/3

R*-2

貨丁3

1/3

'32曲3

丿

<0丿

<1丿

*_1

1-2

'I，'：

2,'3

因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以

是解空间的一组标准正交基

3.设a「色，…，5是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基,A是n阶正交矩阵证明：

A〉2，…，Ar也是Rn中的一组标准正交基.

证明因为SS，…，an是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基，所以

a、,aJ=«iTaj=丿

”0、式j

1、=j

■-

（、，匕1V2,n

又因为A是n阶正交矩阵,所以ata=e.

则

（Aot、，Actj）=（Aot、）T（Aotj）=a、T（ATA）o（j=

二Ot、0（j=■«

（i,j=1,2，…，n）

1、=j

故Al、，Al2；,A-n也是Rn中的一组标准正交基.

5•设a、,g2,a3是3维欧氏空间V的一组标准正交基,证明

：

1=］（2：

1-2\-2-'-3），-2=-（2\^~：

-2-2\-3）,-3=~C--1~2>2一2亠）

也是V的一组标准止父基

证明由题知

21'

（R，A，P3）=（%企，。

3£

-1-2

匕1

2幻

1、

因为a1//2a,是一组标准正交基，且-

-1

-2

的行向量组是单位正交向量组

-1

-2,

-2都是正交矩阵.

一2」

从而'-1,,^3也是正交矩阵.

所以E,A,A是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基

习题五

（A）

一、填空题

1•当k满足时，宀二1,2,1,〉2=2,3,k,宀二3,k,3为R3的一组基.

解三个三维向量为R3的一组基的充要条件是,，：

.2,门=0，即k=2且k=6.

2•由向量.•，=1,2,3所生成的子空间的维数为•

解向量:

..1,2,3所生成的子空间的维数为向量组:

-的秩，故答案为1.

3•R3中的向量O=（3,7,1庄基0（丄=（1,3,5）0（2=（6,3,2）氓=（3,1,0下的坐标为.

解根据定义，求解方程组就可得答案•

设所求坐标为（x「x2,x3）,据题意有:

-=X/^X2：

为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算

（1

154'

初等行变换

-82

）=

所以（xmM=（33,-82,154）.

4.R3中的基“，；2，；3到基冷二-2,1,3，:

・2=-1,0,1

-2,-5,—1

的过渡矩阵为

■'—2

-1

-2'

■'—2

-1

-2'

-5

所以过渡矩阵为

-5

-1.；

一1」

解因为（：

］,4,亠）=（；1,2,；3）

正交矩阵A的行列式为•

ATA=E二A

已知5元线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为

解5元线性方程组AX=0的解集合的极大无关组（基础解系）含5-3=2个向量

故解空间的维数为2.

7.已知>1二2,1,1,1，:

上二2,1,a,a、二3,2,1,a，為二4,3,2,1不是R4的基且a-1,则a满足

解四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是：

g亠，亠，為=0,则a^1或1.

故答案为a=1.

二、单项选择题

（）.

1•下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是

（A）y,O,XnXjXnR：

（B）V^CiX1,X2^-,XnX1X2亠亠Xn=0,X「R；

（C）V3：

［Xi,X2,,XnXiX2亠亠Xn=1,X「R」

（D）V4=$Xi,0,…,0,0Xi•R/

解（C）选项的集合对向量的加法不封闭，

故选（C）

■‘1:

2.在P3：

3中，由A=2生成的子空间的维数为（）

<3」

（A）1（B）2

（C）3

（D）4

解向量组A=

2生成的子空间的维数是向量组

A的秩，故选（A）

3.已知禺，0（2，0（3是R3的基，则下列向量组（）是R3的基.

（A）：

1亠'：

：

2，芯亠'：

：

3，息-：

1（B）：

・i•2怎，2、£2亠3、£3,3、L亠-：

：

（C）冷壯二2，>2=3，冷2亠川‘二3（D）冷：

匕2*3,2二一3>2•22亠，3：

J5為一5亠

M01"

解因（B）选项中（耳+2口2,2口2+3O（3,3Ot3+«,）=（8,（X2,0（3）220

q0又因（^，耳，隅线性无关且22

亡3

（033y

0可逆，所以亠•2>2,2>2■3〉3,3>3亠笑线性无关.

故选（B）

4.已知：

“亠‘亠是R3的基，则下列向量组（）不是R3的基.

（A）>1匕,〉2>3,>1匸3（B）：

'1-2〉2,>2•2'3^'3-2：

（C）>1一〉2,〉2-爲，〉1一>3（D）〉1一2〉2，〉2-2爲，〉1一2亠

解因（：

._：

）・（〉2一:

V）一⑺一门）=0,所以（C）选项中向量组线性相关，故选（C）

5.n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为s,则（）.

（A）s=r（B）s=n-r（C）s>r（D）s

选（B）

6.已知A,B为同阶正交矩阵，则下列（）是正交矩阵.

（A）A+B（B）A-B（C）AB（D）kA（k为数）解A,B为同阶正交矩阵—AB（AB）T=ABBTAT=AAJ=E故选（C）

7.线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.

（A）一定不可逆（B）—定可逆（C）不一定可逆（D）是正交矩阵

选（B）

（B）

1•已知R4的两组基

（1）：

：

'1,?

2,>3,?

（2）：

：

1=>1亠"：

：

2亠"：

：

3亠'：

：

4,IM=：

2亠'：

：

3亠"：

：

4,!

：

3=：

，3亠"：

：

4,=?

（1）求由基（n）到（I）的过渡矩阵;

（2）求在两组基下有相同坐标的向量

解

（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵，已知

qooox

（貝,B2,B3,ft,）=（«1，。

2，。

3,0（4）1100

1110

111J

所以由基（n）到基（I）的过渡矩阵为

-1

000

100

T10

0T1』

（2）设在两组基下有相同坐标的向量为

二,又设_：

匚在基（I）和基（n）下的坐标均为

（X1,X2,X3,X4）,由坐标变换公式可得

■X1、

即（E—C）

1X4丿

宀丿

=0（*）

通解为X"=（0,0,0,k）

齐次线性方程（*）的一个基础解系为二（0,0,0,1）,

故在基

（I）和基（n）下有相同坐标的全体向量为

-=0、冷-*0-5'k、f4=k、f4（k-

R）.

2.已知

；「2

（1）证明

\，、花,：

-3是R3的基,向量组鳥,!

：

'2,1「'3满足■-3

=>2亠'：

：

3,：

2亠，：

3二、亠展3-1,'2,'3是R3的基；

⑵求由基；,'：

2,3到基

⑶求向量：

.=-2：

-2

.：

—一2、.：

心的过渡矩阵；

-：

-3在基'-1,^,下的坐标.

解

（1）由题有

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