第四章习题与复习题详解线性空间高等代数.docx

1、第四章习题与复习题详解线性空间高等代数习题5. 11.判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性 由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵， 数乘n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭 ，构成实数域上的线性空间2 .全体正实数 R+,其加法与数乘定义为a 三 b =abk a =ak其中a,b三R ,k =R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间答是.设，R .因为；. a ,b_R =，a = b=

2、ab - R ,.三 R, a 三 R = a = a 三 R ,所以R 对定义的加法与数乘运算封闭下面 验证八条线性运算规律(1) ab=ab=ba =ba;(2) a ： J b ： J c = ab ：Fc = ab c =abc =a bc =a：J b：Jc ；(3) R 中存在零元素 1, - a R 有a二1二a 1 =a ；对R冲任- 元素a ,存在负元素a Rn,使aa=aa=1 ;(5) 1 a a1 =a ;(7) - .- f a 二aH =a a，=a 二 a -， a 二a ;(8) 工一，(a 二 b) i (ab )=ab =a b =a 二 b a - b.所

3、以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间3.全体实n阶矩阵，其加法定义为A ：.门 B = AB -BA按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间 答否.：A 二 B =AB -BA , B 二 A = BA - AB = -(AB -BA)A二B与B二A不一定相等，全体实n阶矩阵按定义的加法与故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1）数乘不构成实数域上的线性空间 4 .在P2 中，W =A/| A =0, A乏P2? ,判断W是否是P2涙的子空间.答否.例如2和1，1 1的行列式都为零,U 2丿13 3丿圭封闭.3的行列式不为零,也就是说集合对加法不51 1-a 1 -A

4、的线性相关性解设 x1 A x2 A2 - x3A3 - x4A4 =0 ,fax1 亠 x2 亠 x3 亠 x4 =0 即 Xi - ax2 X3 X4 =0|x1 - x2 - ax3 - x4 =0Jx1 x2 x3 ax 4 = 0由系数行列式a 1 1 11 a 1 11 1 a 1111a=(a - 3)( a -1)3知, a = -3且a = 1时，方程组只有零解 ,这组向量线性无关;a = 或a =1时，方程组有非零解 ，这组向量线性相关2 在R中，求向量：在基：-1, ：-2, ：3, 4下的坐标其中解设=片-x2 x3二匚3 x/s4由：1 ：2爲爲210: 010001

5、1111-0初等行变换0100-0)=9 Q9030-1-00010-110-1丿001-0丿得：.=- R.故向量：在基?1 , ?2 , ：3, : 4下的坐标为(1,0，- 1，0 )3.在P2 2中求+x2C(2 +x3Ct3 +x4O(4解设则有( Xi -.-0X2 -.-X3 -.-X4 = 2Xt x2 x3 -.-0x4 =3| Xt-.-X2-.-OX3 -.-0x4 =4xt -.-0x2 -.-0x3 -0x4 - _7L1111=2、(1000:-7 -10a:3初等行变换0100:113 00:40010:-2100-7 i,0001:301 0得：- _7 二 1

6、12 -21： 3 30 ：-4 .故向量:在 基 1, ：-2, ：-3, ：-4下的坐标为(-7 , 11, -21 , 30)4 已知R3的两组基2，A3，P3 =4(1) 求由基(I)到基(n)的过渡矩阵；1、(2) 已知向量a在基,(,0(3下的坐标为 0 ,求a在基 P12,P 3下的坐标；C1丿_10_1JJ于是：在基：1, ：2, ：3下的坐标为C -(3) !玄在基_：,-，2,二3下的坐标为C5 设Y在基Bl, 02, 03下的坐标为 Y 2*2 34 ,z-y1 据题意有0 -10y 2=T 2I-1 0一1丿5严3 J解此方程组可得0y 2 = k4k为任意常数.二丫=

7、4沙2 3k月=k 0 k为任意常数5 .已知Px4的两组基(I) ： f(x) =1 x X2 - X3, f2(x) = -x - X2, f3(x) =1 x, f4(x) =12 3 2 3 3 2(n): gxjuxx 亠 x, g2(x)=1 亠 x 亠 x, g3(x)=l4x、x,(1) 求由基(i)到基(n)的过渡矩阵；(2) 求在两组基下有相同坐标的多项式 f(x).解(1 )设C是由基(I)到基(n )的过渡矩阵 ,由g1,g2,g3,g = f1, f2, f3, f4 C(1011:0111、(1000-:1110、1-1-10-:1011初等行变换0100:00-1

8、11100-:11010010:011-2000-1110丿0019:-1-1-13丿有(1, x, x0111 q011、1011231-1-10= (1,X, x ,X )1101110011a00C .,x3)-2-1(2)设多项式f(x)在基(I)下的坐标为(x, x2 ,x3, x4)T .X2据题意有x301100-1-11因为|c -E二010-2-1-1-12110110=-1-11=001 =110-210-2所以方程组(* )只有零解，则f(x)在基(I下的坐标为(0, 0, 0, 0)T，所以 f(x) = 0习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间| 3x!

9、，x2 6X3 4x4 ，2x5 =02x1 2 x2 3x3 5x4 .3x5 =0x 1 _5x2 -6X3 8 X4 -6 x5 0Rx3同构.证明设线性方程组为 AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换31-6-42初等行变换q-5-68-6A =22-3-53 04375d-5-68-6 J0000实系数多项式空间 rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间R x3同构.习题5.41.求向量=1, -1,2,3的长度.解制=Ji2 +(_1)2 +22 +32 =曲.2 .求向量：.=1, -1,0,1与向量一：=2, 0,1, 3之间的距离.解 d( =. (1

10、一2)2 (_1 _0)2 (0 -1)2 - (1 _3)2 = . 7 .3 .求下列向量之间的夹角(1 ) ： = 1,0,4,3 ，亠-1,2,1, -1(2) ? = 1,2,2,3 , 1 二 3,1,5,1(3) ： = 1,1,1, 2 , 1 = 3,1, _1,0解(1) ； :一： =1 (-1) 0 2 4 1 - 3 ( _1) =0, . a, .2Jl(2) g, - -1 3 2 1 H-2 5 3 1 =18 ,186 18=1 3 T 1 亠1(一1)+2 汉0 =35| a| = J +1 +1 +4 =J7 , H P| = J9 +1 +1 +0 ,1

11、 U. =arccos3.设:,-,为n维欧氏空间中的向量，证明：d(:，J乞d(:，)d(,)证明因为 |cc - P|2 =|a 一了 十了 - P|2 =(a_Y + Y_p,a_Y+Y_0)= （： 一，一）（ 一， 一 J （一一）W - -）= （： 一，一） 2（ - J （；：小2 2一 - 22所以、卩 v (卜|勺 -|)2，从而 d C- , J - dC- , ) d(,).习题5.51.在R4中，求一个单位向量使它与向量组、乂1 二 1,11, -1 | 、2 2 二，-，-1,1 | 、乂3=1,_1,1,_1 正交.解设向量：.=（x1 , x2 ,x3, x4）

12、与向量、右，用2，乂3正交,(:, 1)=0 则有(.，:2)=0（二，：3）=0lx1即X1X1x2 - x3 - x4 = 0-x2 - x3 x4 = 0 (* ).-x2 x3 - x4 = 0齐次线性方程组（*）的一个解为/ = X2 = X3=x4 =1 .取=（1,1,1,1）,将向量单位化所得向量：1111=(-,-,-,-)即为所求.2 2 2 2将R3的一组基1 广0、12，口3 =化为标准正父基I1丿V丿J丿（1 ）正交化,取彳、V1E (卩1,8) R _5 L2 52 门 门 L1 21 X1 十1 X 2 +1 X11（冃,貝）1 X1 +1 汉1 +1 X1丫丿I

13、1丿I1 .丿1；“1 = .1=3(it):-0- 0 - (_1) (-1) 13 3（C）2、2 丿(2 )将, 2, -3单位化1163276i则：2，鳥为R3的一组基标准正交基.3 求齐次线性方程组f x1 -.-x2 x3 -X4 3x5 = 0捲亠x2 - x3亠 X5 = 0的解空间的一组标准正交基所以只需求出一个基础解系分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基,再将其标准正交化即可解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11-11-311-10 111-10 1* 0 0 0 1 4可得齐次线性方程组的一个基础解系cp-1、s10002 =

14、1，000451由施密特正交化方法，取s1/2一1/311/21/30|爲2 +1冃=1,03 =q -丄 01 + 丄 02 =1 /322 3004I00 1i将I，、单位化得单位正交向量组1/2、J/311/2厂7 /30R* - 2貨丁31 /313 2曲3004丿0丿2 一2亠）333也是V的一组标准止父基证明由题知*22 1 1（R，A，P3 ） = （%企，。3 2-1 -2匕12幻21、1因为a1/2 a,是一组标准正交基，且-2-1-2的行向量组是单位正交向量组3-12-2 ,1-2都是正交矩阵.一2从而-1 , , 3也是正交矩阵.所以E , A , A是单位正交向量组，构

15、成V的一组标准正交基习题五(A)一、填空题1 当k满足时，宀二1,2,1 ,2 = 2,3, k ,宀二3,k,3为R3的一组基.解三个三维向量为R3的一组基的充要条件是 ,，：.2,门=0，即k=2且k=6.2 由向量.，=1,2,3所生成的子空间的维数为解向量:.1,2,3所生成的子空间的维数为向量组 :-的秩，故答案为1.3 R3中的 向量 O = (3,7,1 庄基 0(丄=(1,3,5 ) 0(2 =(6,3,2 )氓=(3,1,0 下的坐标为.解根据定义，求解方程组就可得答案设所求坐标为(xx2, x3),据题意有 :-=X/ X2 ： 2为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算361

16、:3 (100:154 9初等行变换9133:7 010:-82.025*:1.001:33JJ)=所以(xmM = (33,-82,154).4. R3中 的基 “，；2，；3到基冷二-2,1,3，:2 = -1,0,1-2, -5, 1的过渡矩阵为2-1-2 2-1-2 10-5,所以过渡矩阵为10-531-1.；35.正交矩阵A的行列式为ATA = E 二 A已知5元线性方程组 AX= 0的系数矩阵的秩为 3,则该方程组的解空间的维数为解5元线性方程组AX= 0的解集合的极大无关组(基础解系)含 5 -3 =2个向量故解空间的维数为 2.7.已知 1 二 2,1,1,1，:上二 2,1,

17、 a,a、二 3,2,1, a，為二 4, 3,2,1 不是 R4的基且 a -1,则 a 满足解四个四维向量不是 R4的一组基的充要条件是 ：g亠，亠，為=0,则a1或1.2故答案为a =1.2二、单项选择题( ).1 下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是（A） y ,O,Xn XjXn R：（B） VCiX1,X2- ,Xn X1 X2 亠 亠 Xn =0, XR；（C） V3 ：Xi, X2, ,Xn Xi X2 亠 亠 Xn =1, XR（D） V4 =$Xi,0,0,0 Xi R/解（C ）选项的集合对向量的加法不封闭 ，故选（C）1 :2.在P3：3中，由 A

18、= 2 生成的子空间的维数为（）A的秩，故选（A）3. 已知禺，0（2，0（3是R 3的基，则下列向量组（）是R3的基.（A） ：1 亠：2，芯亠：3，息-：1 （ B）：i 2怎，2、2 亠3、3,3、L 亠-：1（C ）冷壯二2，2 =3，冷 2亠川二3 （D）冷：匕2 *3, 2二 一3 2 22 亠，3： J 5 為 一5亠M 0 1 t解因(B )选项中(耳 +2口2,2口2 +3O(3,3Ot3 +,) =(8,(X2 ,0(3) 2 2 0q 0 又因（，耳，隅线性无关且 2 2亡3(0 3 3 y10可逆，所以 亠 2 2,2 2 33,3 3亠笑线性无关.3故选（B）4. 已

19、知：“亠亠是R3的基，则下列向量组（ ）不是R3的基.（A） 1 匕,2 3, 1 匸3 （ B） ：1 - 22, 2 233 - 2：1（C） 1 一2,2 -爲，1 一3 （ D） 1 一22，2 -2爲，1 一2亠解因（：._：,）（2 一:V）一一门）=0,所以（C ）选项中向量组线性相关，故选（C）5. n元齐次线性方程组 AX = 0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为 s,则 （ ）.（A） s=r （B） s=n-r （C） sr （D） s3, ?4（2） ： ：1 = 1 亠：2 亠：3 亠：4 , IM = ： 2 亠：3 亠：4, !： 3 = ：，3 亠：4

20、, = ?4（1 ）求由基（n）到（I）的过渡矩阵;（2 ）求在两组基下有相同坐标的向量解（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵 ，已知q o o ox（貝,B2, B3, ft,） =（1，。2，。3,0（4）1 1 0 011101 1 1 J所以由基（n）到基（I）的过渡矩阵为1-100 0 01 0 0T 1 00 T 1（2）设在两组基下有相同坐标的向量为二,又设_：匚在基（I）和基（n）下的坐标均为（X1 , X2 ,X3, X4）,由坐标变换公式可得X1、X1、X1、X2X2X2=c,即（EC）X3X3X31X4丿1宀丿1=0 （ *）通解为 X = （0, 0, 0, k）齐次线性方程(*)的一个基础解系为 二(0,0,0,1),故在基(I)和基(n)下有相同坐标的全体向量为:-=0、冷-* 0-5 k、f4 = k、f4 （ k -R）.2.已知；2(1)证明，、花,：-3是R3的基,向量组鳥,!：2 , 13满足 -3=2 亠：3 , ：2 亠，：3 二、亠展3 -1, 2, 3 是 R3的基；求由基 ；,：2, 3到基求向量：.=- 2 ：-2.：一2、.：心的过渡矩阵；-：-3在基-1, , 下的坐标.解(1 )由题有