华东师大初中数学九年级上册《图形的相似》全章复习与巩固知识讲解提高.docx

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华东师大初中数学九年级上册《图形的相似》全章复习与巩固知识讲解提高

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

【学习目标】

1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；

2、通过实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；

3、掌握三角形中位线以及梯形中位线、三角形重心的定义、性质及应用；

4、相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、相似图形及比例线段

1．相似图形：

在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形（similarfigures）.

要点诠释：

（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

2.相似多边形:

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3.比例线段：

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:

b=c:

d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：

（1）若a:

b=c:

d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:

b=b:

c，则

=ac（b称为a、c的比例中项）．

要点二、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法

（一）：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

要点诠释：

　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法

（二）：

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

要点诠释：

　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（三）：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点诠释：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点三、中位线

1．三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

性质：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

要点诠释：

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的

，每个小三角形的面积为原三角形面积的

.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

2．梯形的中位线：

连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

性质：

梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.

3.三角形的重心概念：

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心．

性质：

重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

．

要点四、位似

1.位似图形定义:

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过

同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点五、图形与用坐标

根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

1.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．

要点诠释：

（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：

右加左减；

（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：

上加下减；

（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：

沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．

2.图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

要点诠释：

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

要点六、黄金分割

1.定义：

如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即

（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

2.黄金三角形：

顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：

底角平分线将其腰黄金分割．

【典型例题】

类型一、相似三角形

【高清课堂:

相似专题复习高清ID号：

394502

关联的位置名称（播放点名称）：

例1-2】

1.已知：

如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

【思路点拨】可以假设△ABC∽△CDB，则根据相似三角形对应边比值相等的性质可以求得a、b、BD的关系，即可解题．

【答案与解析】

∵AC=a，BC=b，

∴AB=

，

①当△ABC∽△BDC时，

即

.

②当△ABC∽△CDB时，

，

即

.

【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.

举一反三

【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对

折，使A、C重合，直线MN交AC于O.

（1）求证：

△COM∽△CBA；

（2）求线段OM的长度.

【答案】

（1）证明：

A与C关于直线MN对称，

∴AC

MN，∴∠COM=90°，

在矩形ABCD中，∠B=90°，

∴∠COM=∠B，

又

∠ACB=∠ACB，

∴△COM∽△CBA，

（2）

在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

∴AC=10，∴OC=5，

△COM∽△CBA，

∴

，

∴OM=

.

2.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：

DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：

BD•CE=CD•DE．

【答案与解析】

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=

BD，

∵OE=OB，

∴OE=

BD，

∴∠BED=90°，

∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵OB=OE，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠BED，

∴△BDE∽△DCE，

∴

，

∴BD•CE=CD•DE．

【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．

举一反三

【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

（1）求证：

△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

【答案与解析】

证明：

（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，

∴∠C=∠AED=90°，

∴∠DEB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC；

（2）由勾股定理得，AB=10．

由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．

∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，

DE2+BE2=BD2，

即CD2+42=（8﹣CD）2，

解得：

CD=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，

即32+62=AD2，

解得：

AD=

．

3.（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且

．

（1）求证：

△ADF∽△ACG；

（2）若

，求

的值．

【思路点拨】

（1）欲证明△ADF∽△ACG，由

可知，只要证明∠ADF=∠C即可．

（2）利用相似三角形的性质得到

=

，由此即可证明．

【答案与解析】

（1）证明：

∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，

∴∠ADF=∠C，

∵

=

，

∴△ADF∽△ACG．

（2）解：

∵△ADF∽△ACG，

∴

=

，

又∵

=

，

∴

=

，

∴

=1．

【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．

类型二、中位线

4.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：

MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：

BM=ME．

【答案与解析】

（1）

如答图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

（2）如答图2所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=

a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=

DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=2

a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=

AG．

∵CG=CF=2

a，CA=CD=

a，

∴AG=DF=

a，

∴BM=ME=

×

a=

a．

（3）如答图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=

DF．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=

AG．

在△ACG与△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．

【总结升华】考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．

举一反三

【变式】（2012•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（　）.

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】D.

类型三、黄金分割

5.如图，用纸折出黄金分割点：

裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

【答案与解析】

设正方形ABCD的边长为2，

E为BC的中点，

∴BE=1

∴AE=

，

又B′E=BE=1，

∴AB′=AE-B′E=

-1，

∵AB″=AB′=

-1

∴AB″：

AB=（

-1）:

2

∴点B″是线段AB的黄金分割点．

【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．

求证：

（1）AD=BD=BC；

（2）点D是线段AC的黄金分割点．

【答案】

（1）∵∠A=36°，∠C=72°，

∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，

∴∠ABD=36°，

∴△ADB、△BDC是等腰三角形，

∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴BC：

AC=CD：

BC，

∴BC2=AC•DC，

∵BC=AD，

∴AD2=AC•DC，

∴点D是线段AC的黄金分割点．

6.以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．

（1）试求AM、DM的长；

（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？

请说明理由．

【思路点拨】

（1）要求AM的长，即是求AF的长，只需求得PF的长，根据勾股定理进行计算PD的长就可；要求DM的长，只需AD-AM就可；

（2）根据黄金分割点的定义，只需证明AM2=AD•DM．

【答案与解析】

（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，

由勾股定理知PD=

=

，

∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=

-1，

DM=AD-AM=3-

；

（2）∵AM2=（

-1）

=6-2

，

AD•DM=2×（3-

）=6-2

，

∴AM2=AD•DM，

所以点M是线段AD的黄金分割点．

【总结升华】能够根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明．