最速下降法和牛顿法求最小值点的算法及结果.docx
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最速下降法和牛顿法求最小值点的算法及结果
最速下降法和牛顿法求最小值点的算法及结果（总11页）
1.最速下降法计算：
f=（x
-1）
+5（x
-5）
（1）程序代码如下：
#include<>
#include<>
doublef1（doublex,doubley）
{
doubler;
r=（pow（x-1,2）+5*pow（（y-5）,2））;
returnr;
}
//最速下降法求最优解
voidmain（）
{
doubleh=3,x0=3,x1,y0=6,y1,s,r0,r1;
doublee0=,e1=;
intk=0;
s=sqrt（pow（2*x0-2,2）+pow（10*y0-50,2））;
printf（"%dx1=%fx2=%fs=%f\n",k,x0,y0,s）;
while（s>e1）
{
x1=x0;
y1=y0;
r0=f1（x0,y0）;
h=3;
//一维搜索，成功失败法
while（fabs（h）>e0）
{
r1=f1（（x1-h*2*（x1-1））,（y1-h*10*（y1-5）））;
if（r1{
x0=x1-h*2*（x1-1）;
y0=y1-h*10*（y1-5）;
r0=r1;
h=h+h;
}
elseif（fabs（h）>e0）
h=（-1）*h/4;
}
s=sqrt（pow（2*x0-2,2）+pow（10*y0-50,2））;
k++;
printf（"%dx1=%fx2=%fs=%f\n",k,x0,y0,s）;
}
printf（"x1=%fx2=%f",x0,y0）;
}
（2）初始值设为x1=3,x2=6时，运行结果如下图1-1：
图1-1
（3）初始值设为x1=30000,x2=60000时，运行结果如下图1-2：
图1-2
2.牛顿法计算：
f=（x
-1）
+5（x
-5）
（1）程序代码如下：
#include<>
#include<>
doublef1（doublex,doubley）
{
return（pow（x-1,2）+5*pow（y-5,2））;
}
//牛顿法求最优解
voidmain（）
{
doubleh=3,x0=3,x1,y0=6,y1,s,r0,r1;
doublee0=,e1=;
intk=0;
s=sqrt（pow（2*x0-2,2）+pow（10*y0-50,2））;
printf（"%dx=%fy=%fs=%f\n",k,x0,y0,s）;
while（s>e1）
{
x1=x0;
y1=y0;
r0=f1（x0,y0）;
h=3;
//一维搜索
while（fabs（h）>e0）
{
r1=f1（（x1-h*（x1-1））,（y1-h*（y1-5）））;
if（r1{
x0=x1-h*（x1-1）;
y0=y1-h*（y1-5）;
r0=r1;
h=h+h;
}
elseif（fabs（h）>e0）
h=（-1）*h/4;
}
s=sqrt（pow（2*x0-2,2）+pow（10*y0-50,2））;
k++;
printf（"%dx=%fy=%fs=%f\n",k,x0,y0,s）;
}
printf（"x=%fy=%f",x0,y0）;
}
（2）初始值设为x1=3,x2=6时，运行结果如下图2-1：
图2-1
（3）初始值设为x1=30000,x2=60000时，运行结果如下图2-2：
图2-2
3.最速下降法求：
f=（x
-1）
+（x
-1）
+5（x
-5）
+5（x
-5）
（1）程序代码如下：
#include<>
#include<>
doublef1（doublex,doublex1,doubley,doubley1）
{
doubler;
r=（pow（x-1,2）+pow（x1-1,2）+5*pow（y-5,2）+5*pow（y1-5,2））;
returnr;
}
//最速下降法求最优解
voidmain（）
{
//x1,x2,x3,x4分别为多项式函数中四个分量的初始值
//x5,x6,x7,x8分别为对应的下一个值
doubled=3,x1=3,x5,x2=4,x6,x3=8,x7,x4=6,x8,s,r0,r1;
doublee0=,e1=;
intk=0;
s=sqrt（pow（2*x1-2,2）+pow（2*x2-2,2）+pow（10*x3-50,2）+pow（10*x4-50,2））;
printf（"%dx1=%fx2=%fx3=%fx4=%fs=%f\n",k,x1,x2,x3,x4,s）;
while（s>e1）
{
x5=x1;
x6=x2;
x7=x3;
x8=x4;
r0=f1（x1,x2,x3,x4）;
d=3;
//一维搜索
while（fabs（d）>e0）
{
r1=f1（（x5-d*2*（x5-1））,（x6-d*2*（x6-1））,（x7-d*10*（x7-5））,（x8-d*10*（x8-5）））;
if（r1{
x1=x5-d*2*（x5-1）;
x2=x6-d*2*（x6-1）;
x3=x7-d*10*（x7-5）;
x4=x8-d*10*（x8-5）;
r0=r1;
d=d+d;
}
elseif（fabs（d）>e0）
d=（-1）*d/4;
}
s=sqrt（pow（2*x1-2,2）+pow（2*x2-2,2）+pow（10*x3-50,2）+pow（10*x4-50,2））;
k++;
printf（"%dx1=%fx2=%fx3=%fx4=%fs=%f\n",k,x1,x2,x3,x4,s）;
}
printf（"\nx1=%fx2=%fx3=%fx4=%fs=%f\n",x1,x2,x3,x4,s）;
}
（2）初始值设为x1=3,x2=4,x3=8,x4=6时，运行结果如下图3-1：
图3-1
（3）初始值设为x1=30000,x2=40000,x3=80000,x4=60000时，运行结果如下图3-2：
图3-2
4.牛顿法计算：
f=（x
-1）
+（x
-1）
+5（x
-5）
+5（x
-5）
（1）程序代码如下：
#include<>
#include<>
doublef1（doublex,doublex1,doubley,doubley1）
{
doubler;
r=（pow（x-1,2）+pow（x1-1,2）+5*pow（y-5,2）+5*pow（y1-5,2））;
returnr;
}
//最速下降法求最优解
voidmain（）
{
//x1,x2,x3,x4分别为多项式函数中四个分量的当前值
//x5,x6,x7,x8分别为多项式函数中四个分量对应的下一个值
doubled=3,x1=3,x5,x2=4,x6,x3=8,x7,x4=6,x8,s,r0,r1;
doublee0=,e1=;
intk=0;
s=sqrt（pow（2*x1-2,2）+pow（2*x2-2,2）+pow（10*x3-50,2）+pow（10*x4-50,2））;
printf（"%dx1=%fx2=%fx3=%fx4=%fs=%f\n",k,x1,x2,x3,x4,s）;
while（s>e1）
{
x5=x1;
x6=x2;
x7=x3;
x8=x4;
r0=f1（x1,x2,x3,x4）;
d=3;
//一维搜索
while（fabs（d）>e0）
{
r1=f1（（x5-d*（x5-1））,（x6-d*（x6-1））,（x7-d*（x7-5））,（x8-d*（x8-5）））;
if（r1{
x1=x5-d*（x5-1）;
x2=x6-d*（x6-1）;
x3=x7-d*（x7-5）;
x4=x8-d*（x8-5）;
r0=r1;
d=d+d;
}
elseif（fabs（d）>e0）
d=（-1）*d/4;
}
s=sqrt（pow（2*x1-2,2）+pow（2*x2-2,2）+pow（10*x3-50,2）+pow（10*x4-50,2））;
k++;
printf（"%dx1=%fx2=%fx3=%fx4=%fs=%f\n",k,x1,x2,x3,x4,s）;
}
printf（"\nx1=%fx2=%fx3=%fx4=%fs=%f\n",x1,x2,x3,x4,s）;
}
（2）初始值设为x1=3,x2=4,x3=8,x4=6时，运行结果如下图4-1：
图4-1
（3）初始值设为x1=30000,x2=40000,x3=80000,x4=60000时，运行结果如下图4-2：
图4-2
5.总结
（1）每一种计算最优解的方法中，如果初始值不一样，那么得到最终结果所需的步骤数不一样；比较图1-1与图1-2，在图1-1中初始值为x1=3,x2=6,得到最终结果所需步骤数为23，而在图1-2中初始值为x1=30000,x2=60000,得到最终结果所需步骤数为39；同一算法中取值越偏离最优解，所需的计算步骤越多。
标题2、3、4下的每前两个图都说明了这一点。
（2）分别用最速下降法和牛顿法求同一多项式值，初始值都一样的情况下，牛顿法收敛速度较快；图1-2中用最速下降法计算，得到结果共计算了39步，经过一步迭代运算，x1从30000收敛到，再经过一步收敛到，图2-2中用牛顿法计算才用了20步，经过一步x1从30000收敛到了，再经过一步收敛到了。
（3）从图3-2和图4-2中可以看出最速下降法和牛顿法计算最小值，前面步骤收敛较快，每经过一步，x值的变化都比较大，后面步骤收敛慢，每经过一步，x值的变化比较小。
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