模糊数学模型.docx
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模糊数学模型
第六部分模糊数学
第十五章模糊数学模型
/模糊数学的起源
15.1.1数学是精确的
数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。
在二十世纪三十年代，数学的发展被划分成三个阶段：
第一阶段：
数学是数，量，几何图形的科学；
第二阶段：
数学是研究量的变化和几何图形变换的科学；
第三阶段：
数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学。
近代科学技术的发展同精确数学方法的发展和应用是密切相关的，牛顿力学为其经典。
到了19世纪，天文，力学，屋里，化学等理论自然科学先后在不同程度上走向定量化，数学化，形成一个被称为“精密科学”的学科群。
大量使用数学方法，反过来又推动了数学的巨大进步。
19世纪是精确科学方法飞速发展的时期。
20世纪以来，精确数学及其应用以更大的规模和速度发展着。
相对论，量子力学，分子生物学，原子能，电子计算机和空间技术等邻域的创建和开发为精确方法奏响了一曲又一曲的凯歌，但也进一步助长了对精确方法的盲目崇拜。
人们愈加相信，一切都应当精确化，只有现在还没有实现精确化的问题，没有不需要或不可能精确化的问题。
客观而言，精益求精是科学工作者的美德，是评价研究工作科学性的一条准则，但是，这种对精确方法的崇拜，似乎被当作一种不言而喻的真理，在很长的历史时期中未受到人们
的怀疑。
科学方法论中的这种绝对化的观点，也反映到哲学中。
例如，一些分析哲学家提倡
把一切概念，包括日常用语都加以精确化，这种现象的发生是值得深思的。
但是，实践是检
验真理的唯一标准，任何理论上的片面性和绝对化，迟早会在实践中暴露其错误而得到纠正。
15.1.2精确数学的局限性
人脑的思维活动一般说来具有两方面的特征：
（1）直觉性跟严格性的有机结合，可以进行整体性和平行性的思考，例如联想过程，
这些是具有模糊性的；
（2）逻辑推理过程，它具有逻辑和顺序的特点，因而又是形式化的。
关于形式化思维，可以用数理逻辑的方法把它数学化，这样就能把它变成一系列的数学符号，可以用计算机去解。
最突出的成果就是1976年美国人阿贝尔和哈肯利用电子计算机
解决有名的数学难题——四色问题，这一难题的解决使不少人惊叹：
这简直是电脑对人脑的
嘲弄！
真是这样吗？
从另一个角度来看，譬如，看电视的时候，要把图像调得“更清楚一些”，或者，说一
个人比另一个人更好看一些或更丑一些，这对于人来说是件容易的事，但是对于电脑来说，却是个大难题。
从这个角度来说，电脑的“智力”还不如一个小孩子。
为什么会出现这样的情况呢？
因为用传统数学的方法处理模糊食物，首先要求将对象简化，舍弃对象固有的模糊性，在本来没有明确界限的对象之间认为地挂定界限，变模糊数量关系为清晰数量关系。
例：
西
瓜因大小不同而价格不登，但大瓜与小瓜并无天然的界限，认为地规定6斤以上者为大瓜，
6斤以下者为小瓜，就有了区分大小瓜的精确判据。
对于模糊性较弱的事物，或者日常生活的简单话题，这样处理是许可的，方便的。
但人为地划定界限毕竟是对本来相互联系的食物的性质的一种歪曲，特别是在分界线附近，这种描述的失真性更明显。
当研究的对象相当复
杂时，这种处理方法便不适用了。
1965年，美国自动控制论专家，加利福尼亚大学教授查德根据动作中的体会写出了《模
糊集合》一文，开始用数学的观点来刻画模糊事物，这标志着模糊数学这门新学科的诞生。
模糊数学决不是把已经很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去
无法用数学描述的模糊事物。
/模糊集合论的基础知识\
15.2.1模糊子集和它的运算
模糊概念不能用普通集合来描述，是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”，而只
能问属于的程度，就是论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1,而是介于0和1之
间的一个实数。
查德1965年给出的定义：
定义从论域U到闭区间0,1的任意一个映射：
A：
U0,1，对任意UU，
All—
u
0,1
，那么
A叫做U的一个模糊子集,
Au叫做u的隶属函数,
根据定义，我们知道所谓模糊集合，实质上是论域U到0,1上的一个映射，而对于模
糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函数的运算:
-A
A）
Ai,
A）
max
min
假设给定有限论域
A）
A.
ai,a2,|||，an
它的模糊子集
可以用查德给出的表示法:
Aai
Aa2
ai
a2
其中a：
U（i1,2j||,n）
为论域里的元素，
ai是ai对
的隶属函数，
Aai1。
上式表示一个有n个元素的模糊子集。
+”叫做查德记号，不是求和。
0.5
0.30.4
X1
X2X3
0.2
00.6
意思是
X1
X2X3
1
X4，
X1,X2,X3,X4对模糊子集
的隶属度分别是,
,;对模糊子集
的隶属度分别是,
0,,1。
［例题］
设以人的岁数作为论域
0,120，单位是“岁”
，那么“年轻”，
“年老”,
都是U上的模糊子集。
u=“年老”
（u）=
1
2
u25
5
50
120
（）
（）表示：
不大于25岁的人,
对子集“年轻”
的隶属函数值是
1,
即一定属于这一子集;
1
而大于25岁的人，对子集“年轻”
的隶属函数值按
u25
5
来计算，例如，40岁
的人，隶属函数值
u40
4025
5
0.1。
同理，由（）可得:
55
0.5，
60
0.8。
模糊子集的隶属函数值的确定通常是根据经验或统计,易接受。
常常带有主观性,
但大家也较容
15.2.2截集和支集
［例题］某医生今天给五个发烧病人看病，设为
X1,X2,X3,X4,X5，其体温分别为:
1
0u
25
u=“年轻”（u）=
21
u25
（）
1
25u
120
5
隶属函数如下:
All—
50
38.9：
C,
37'C
以上的五人,
38'C
以上的三人,
X,X4,X；
X1,X2,X3,X4,X5；
39.C
以上的一人,
37.2C，37.8：
C，39.2C，38.1C。
医生在统计表上就可以这样写:
如果规定37.5C
要用隶属函数来描述。
如果根据医师的经验规定，对
“发烧”来说:
体温39.C以上的隶属函数x1；
体温38.5C以上不到39C的隶属函数
0.9；
体温38.C以上不到38.5.C的隶属函数
0.7；
体温37.5C以上不到38：
C的隶属函数
0.4；
体温37.5C以下的隶属函数x0；
我们用模糊集合来处理这个问题。
0.900.41
0.7
X-Ix2x3x4
X5
现在如果问：
隶属函数
Ax0.9的有哪些人，
用Aq.9来表示这一集合，则
A）.9Xi,X4
，同理，A0.8
Xi,X4，Aq.6Xi,X4,X5
，Aq.4Xi,X3,X4,X5。
般地，用
A表示
的集合，这个集合就叫
截集或水平集
支集
0
所有发烧病人。
0,xX，即所有
0的截集的并集，本例中即为
以下的不算发烧，问有多少发烧病人？
医生就可以回答：
Xi,X3,X4,X5，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是说
15.2.3确定隶属函数的原则
隶属函数的确定过程，本质上应该说是客观的，但是事实上现在还没有一个完全客观的评定标准。
在许多情况下，常是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和时间检验逐步修改和完善化，而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。
模糊统计是确定隶属函数的一种主要方法，它需要做大量的试验，因此工作量是比较大
的。
15.2.4怎样度量模糊性
隶属函数的值的确定，虽然有各种方法，本质上应该是客观的，但实际上常常带有主观性，对同一论域上的模糊集合，不同的人或用不同的判断标准，所得出的各元素的隶属度也
不尽相同，那么，有没有办法来比较哪一个更正确些呢，这就涉及到怎样来度量模糊性的问
题。
下面我们通过一个实例来说明这个问题。
［例题］假定有甲乙两个顾客商场买衣服，他们主要考虑三个因素：
⑴花色式样（xj;
（2）耐穿程度（X2）；
（3）价格（X3）；\
甲乙两人就会根据自己的观点，分别给x,x2x3打分，这种打分实际上是模糊的，也就
是要确定对这个因素“满意”的隶属度，但是由于两个人的经验，性格和经济情况等都不相
同，所以他们对x,x2x3所确定的隶属度也不会相同。
化色式样（x1）
耐穿程度（X2）
价格（X3）
顾客甲确定的隶属度
Ax10.8
A1
Ax20.4
f2
AX30.7
A
顾客乙确定的隶属度
BX10.6
B
BX20.6
B
BX30.5
B
这就得到两个模糊集:
A0.80.40.7B0.60.60.5
XiX2X3XiX2X3
究竟谁的观点正确呢？
看来没法确定。
因为各人有各人的经验，各人有各人的道理，这
就是怎样度量模糊性的问题。
解决这个问题的研究途径很多，目前用得较多的大致有“距离”，
“贴近度”两个。
15.2.4.1用“距离”来度量模糊性
定义在有限论域X上有两个模糊子集A和
和B的汉明距离定义如下:
绝对汉明距离:
dA，B
相对汉明距离:
例如在例中:
A,B
A，B
Xi
0.80.60.40.60.70.50.6
定义在有限论域X上有两个模糊子集
0.2
3
A和
和B的欧几里得距离定义如下:
相对欧几里得距离:
例中：
eA,B
A，
绝对欧几里得距离：
eA，B
A）
1
A，B甯行
0.2；3，
0.2
怎样用距离来描迷一个模糊集合的模糊程度呢?
要定义一个跟A最贴近的集合,
这个集合用
A来表示，如果a里某元素的隶属度
0.5，
A的相应元素的隶属度为i，如果
0.5，则相应的隶属度为0，即
X
Alt-
XX
A，A，A
大，即模糊度大。
2A，A，用
来表示模糊集合的模糊度。
因此，例中,
Xi
X2
可见
A，a0.3，
A，A0.311，
的模糊度比A的模糊度大。
Xi
X2
X3
0.433，所以
0.436，所以
15.2.4.2用“贴近度”来度量模糊性先定义内积，外积：
0.6
0.622
定义设A和B为论域U上的两个模糊子集，记:
内积：
AB
最大下界，’为最小上界。
uU
Bu，外积:
0.866；
0.872；
uBu，其中为
贴近度:
例中：
AB
0.8
Xi
1
2
0.4
X2
AB
0.7
X3'
0.5
X3
Ab
0.80.60.40.6
0.80.60.40.6
0.70.50.60.40.50.6
0.70.50.80.60.70.6
因此,
0.5，
表示贴近度不大不小。
度量模糊性十全
美的公式是不存在的，，只能根据实际需要和经验选取。
模糊数学应用
15.3.1模糊相似选择
在实际工作中常会遇到对一组确定的对象按照某种性质排出优劣次序的问题，但是，在许多情况下，由于用来比较的性质具有边界不分明的模糊性，使得比较优劣产生困难。
［例题］由10名专家组成评比小组对某一行业中的三家企业甲、乙、丙的综合效益进行评比，企业的综合效益是一个复杂系统，包括经济效益，社会效益，环境效益等，而每个专家考虑问题的角度不同，观点不同，使得难以排出一个整体的优劣次序。
如发生以下情况：
3人认为乙比甲好;
4人认为丙比乙好;
2人认为甲比丙好;
7人认为甲比乙好,
6人认为乙比丙好,
8人认为丙比甲好,则如何确定一个整体上的优劣呢？
给出一个模糊选择矩阵：
对
Xu，Rx，Xi
0.5，即优越程度一样；对XiU，
XjU，R冷XjRxj,xi
0.5
0.7
0.2
1,
则，R
0.3
0.5
0.6
0.8
0.4
0.5
0
0.7
0.2
0.3
0
0.6
0.8
0.4
0
第一步：
令Ri0，得R
第二步：
取（0
1），写出
—截矩阵R
如本例中可取
0.5,得
第三步：
令减小，当下降到某一值时,
第一次出现R中某一行除对角线外全为1,认
010为该行对应的元素Xk是U中相对最优的元素。
本例中当取0.4时，Ro.4001
/\110
则丙的综合效益最好。
第四步：
划去Xk所在第k行第k列元素，得n-1阶矩阵。
本例中划去第3行第3列元素,
得2阶矩阵为R
00.7
0.30
/_101第五步：
继续上述过程，逐个选出相对最优元素，即得优劣次序。
R0；，因
\00
此，甲第二好，整体优劣为丙，甲，乙。
1532模糊聚类
［例题］用生产工人的劳动生产率，每万元固定资产容纳职工人数和技术管理人员在职工中的比重三项指标作为衡量一个企业技术密集程度的指标体系。
现有6家企业构成论域：
Ux,,x2,x3,x4,x5,x6，
这6家企业关于上述三项指标的数值依次是：
X11,X12,X13
1.8,0.95,0.15
X2
X21,X22,X23
3.2,1.010.18
X3
X31,X32,X33
2.5,0.98,0.16
X4
X41,X42,X43
1.9,1.2,0.09
X5
X51,X52,X53
2.1,0.99,0.21
X
X61,X62,X63
2.2,1.03,0.17
评价这6个企业的技术密集程度。
6
\minXik,Xjk
建立模糊相似矩阵R5\66，其中rij专
maxXik,Xjkk1
经计算得：
1
0.66
0.8
0.87
0.88
0.85
0.66
1
0.83
0.66
0.74
0.77
0.8
0.83
1
0.77
0.88
0.9
R
0.87
0.66
0.77
1
0.85
0.85
0.85
0.74
0.88
0.85
1
0.95
0.85
0.77
0.9
0.85
0.95
1
用直接聚类法进行分类。
取水平1时，将U分成6个等价类
X1
X2,X3,\X4,X5,
X。
取水平0.9时，则x1
Xj
r1j
0.9
X1,\
X2
Xj
r2j
0.9
X2,\
X3
Xj
r3j
0.9
X3,X6,
X4
Xj
r4j
0.9
X4,
X5
Xj
r5j
0.9
X5,X6,
X6
Xj
r6j
0.9
X3,X5,X6
将有公共元素的类进行合并，
得水平
0.9下U的分类为X-!
x2,
X3,X5,X6
X4，说明在这一水平下可以认为弟二,
五，
六豕企业的技术密集程度是相冋的。
最后取水平0.8，则
X1
Xj
r1j
0.8
X1,X3,X4,X5,X,
\X2
Xj
r2j
0.8
X2,X3,
\X3
Xj
r3j
0.8
^,X2，X3，X5,X6,
X4
Xj
r4j
0.8
X1,X4,X5,X6,
'\X5
Xj
r5j
0.8
X1,X3,X4,X5,X6，/
X6
\Xj
r6j
0.8
X!
X3,X4,X5,X6,
将所有具有公共元素的类合并，
得到水平
0.8下的U分类为x1,x2,x3,X4,x5,x6。
由于在水平0.8下所有企业的技术密集程度属于同一类，说明在这一水平下可以认
为6家企业的技术密集程度是相同的。
1533模糊综合评价
模糊综合评价的一般步骤如下:
（1）
确疋评价对象的因素集
UX1,X2,,Xn；
（2）
确定评语集；
（3）
作出单因素评价R
rj;\
Jnm
（4）
综合评价。
［例题］
评价某种牌号的手表，
UX1,X2,X3,X4，其中X1表示外观式样，X2表示走时
准确，/X3表示价格，x4表示质量。
评语集为vy-i,y2,y3，其中y1表示很满意，y2表示满意，y3表示不满意。
例如，对外观式样有70%的顾客很满意，20%的顾客满意，10%的顾客不满意，那么
f
X1
0.7
y1
0.2
y2
0.1
y3
同理可得：
0.6
0.3
0.1
f
X2
y1
y2
y3
0.5
0.3
0.2
f
X3
y1
y2
y3
0.5
0.4
0.1
f
X4
y1
y2
y3
0.7
0.2
0.1
则这个问题的单因素评价矩阵为
R
0.6
0.3
0.1
0.5
0.3
0.2
0.5
0.4
0.1
由于各个因素在综合评价中的作用不同，为此给出一个u的模糊集合Aa1,a2^||,an，满足条件ai1,在综合评价中，将A称为综合评价的权重向量，
对于给定的权重，综合评价就是UV的一个模糊变换。
假设如果某类顾客评价手表的权
重为A0.4,0.2,0.3,0.1，即对四个方面的重视程度为40%,20%,30%,10%。
0.7
0.2
0.1
0.6
0.3
0.1
BA'lR0.4,0.2,0.3,0.1'1
0.4,0.3,0.2
0.5
0.3
0.2
0.5
0.4
0.1
说明很满意，满意，不满意的隶属度依次是，，，根据最大隶属原则，可以认为这类顾客对这种手表“很满意”
模糊数学模型举例【1】
在英语教学过程中，利用计算机辅助手段，改变传统的课堂教学方式，根据课文内容制作课件，对学生进行更多的听、说训练，为学生创造一个良好的学习环境，让他们面对计算
机进行情景对话，从而克服面对教师或同学的紧张情绪，培养学生的语言学习的自信心。
为评价计算机辅助英语教学的效果，我们采用了模糊综合评判法。
模糊综合评判的数学模型可以分为以下几个步骤：
1•建立评判对象的因素集U={U1,U2…，Un}。
因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们综合地反映出对象的质量，人们就是根据这些因
素给对象评价。
2.建立评判集V={vi,V2，…，vm}。
3.建立单因素评判，即建立一个从U到F（V）的模相映射
f:
UFV,UiU
UifUi
ri2
Vi
£im
Vm
0rj1,1i
n,1jm
r11r12
rn1rn2
r1m
R称为单因素评判矩阵。
于是（U,V,R）构成了一个综合评判模型。
4.综合评判
由于对U中各因素有不同的侧重，需要对每个因素赋予不同的权重，它可表示为
n
的一个模糊子集A印忌卄同，并且规定ai1。
在R和A求出之后，则综合评判为BAR，B^,b2J||,bm它是V上得的一个模糊子集。
其中
n
/bi=V（a；A乌）012m）
i-l、
此模型一个最大的缺点，就是当评价因素较多时，每一因素取得权重分配的值将很小，
评判得不到预期的效果，本实验中评价因素多达20个，为此，将因素集U按属性的类型分
成若干个子集，每个子集按上述模型评价。
哈佛大学著名语言学家Wilg认为，语言学习的关键为学生的自信心，学习环境及教学
方法。
为此，我们将20个因素分成3个子集，作为3个评价因素
UUi，U2，U3
其中U1学生自信心；U2学习环境；U3语言能力；
对应的三个子集的单因素评价矩阵为：
0.15
0.69
0.15
0.01
0.61
0.32
0.07
0
0.56
0.30
0.14
0
R2
0.43
0.41
0.14
0.02
0.475
0.38
0.145
0
0.4
0.49
0.11
0
R3
0.378
0.43
0.18
0.012
0.443
0.43
0.1270
每一子集的权重分配及第一级综合评价的结果见下表
因素子集
枫S：
分配
综合评判防如・也
£=鈿■加卩血阴2』15肿1）
（0-457,038,0.145,002）
褊L口505）
「叮
讥1
0.32
015
0.01-
-0.475
0.3S
0145
L0.443
043
018
0D1Z
为U={U1,U2,U3}的单因素评判矩阵，并取权重分配为
则
PtH0.320150.01
■Srt0.20.30,5）0.4570J3Q.145Q,02
L04430.430.180.01^
-（0443,0.43,0110.02）
lb“MO-413.0.431,0.168,0.318）
归一化后
模糊综合评判的结果说明计算机辅助英语教学的效果很好，与实际教学情况相符，所以，我们认为，模糊数学能对教学效果作出正确的评判。
参考文献：
1•计算机辅助英语教学的模糊综合评判上海市第四中学沈歈忱徐明霞王宝麟
\/
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