完整版北大版金融数学引论第二章答案docx.docx
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第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用
5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元，后十年每年底存款1000+X
元，年利率7%。
计算X。
解：
S=1000s?
+
Xs
?
p7%
10
p7%
20
X=
50000-1000s
20?
p7%
=65172
s?
p7%
.
10
2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：
每月底还
250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：
设首次付款为X，则有
10000=X+250a48
?
p1.5%
解得
X=1489.36
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为
n，实利率i=1。
试计算该年金的现值。
n
解：
PV
=
na?
npi
=
1-vn
n
1
n
=
（n+1）nn2-
nn+2
（n+1）n
4．已知：
a?
np
=X，a?
np
=Y。
2
试用X和Y表示d。
解：
a2
?
np
=a?
np
np
（1-d）
n则
1
+a?
Y-X
）n
d=1-（
X
5．已知：
a?
7p
=5.58238,a?
p
=7.88687,a?
=10.82760。
计算i。
11
18p
解：
a18?
p=a?
7p+a11?
pv7
解得
i=6.0%
6.证明：
1
s
10?
p+a∞?
p。
=
s10?
p
1-v10
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证明：
s?
+a?
（1+i）10
-1+1
1
10
p
∞
p
=i
i=
10
p
10
1-v
10
（1+i）
-1
s?
i
7．已知：
半年结算名利率
6%，计算下面10年期末年金的现值：
开始
4年每半
年200元，然后减为每次
100元。
解：
PV=100a?
8p3%+100a20?
p3%=2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计
15年。
设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：
设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日
1000¨?
X¨?
p7%
25p8%=
15
解得
X=8101.65
9．已知贴现率为10%，计算¨?
8p
。
解：
d=10%，则i1-d-1=19
=1
1-v8
=5.6953
¨?
8p=（1+i）
i
10.求证：
np
np
+1-
（1）?
¨=a?
vn；
（2）?
¨np=s?
-np1+（1+i）n
并给出两等式的实际解释。
证明：
（1）¨?
np=1-dvn=1-ivn=1-vni+1-vn
1+i
所以
¨?
np=a?
np+1-vn
（1+n
n
n
n-1
np
（1+i）-1=（1+i）-1
i）-1
（2）?
¨=
=
i
+（1+i）
d
1+i
i
所以
np
=s?
-
np
1+（1+i）
n
¨?
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12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利
率6%，计算：
1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：
PV=100a49?
p1.5%-100a?
2p1.5%=3256.88
AV=100s49?
p1.5%-100s?
2p1.5%=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每
年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金
额为Y，在第11－20年中没有。
已知：
v10=1，计算Y。
2
解：
因两种年金价值相等，则有
a30?
pi+a10?
piv10=Ya30?
-piYa10?
piv10
所以Y=3-v10-2v30
=1
1+v10-2v30.8
14.已知年金满足：
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解：
由题意知，
2a?
npi+3
a?
=36
2
npi
2a?
npivn=6
解得
a?
7p
15.已a11?
p
知
i=8.33%
a?
3p+sX?
p
=aY?
p+sZ?
p。
求X，Y和Z。
解：
由题意得
1-v
1-v
解得
7
11
=（1+i）X-v3（1+i）Z-vY
X=4,Y=7,Z=4
16.化简a15?
p（1+v15+v30）。
解：
15
p
15
30
45
p
a?
（1+v
+v
）=a?
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17.计算下面年金在年初的现值：
首次在下一年的4月1日，然后每半年一
次2000元，半年结算名利率9%。
解：
年金在4月1日的价值为P4.5%×2000=46444.44，则
=1+4.
5%
PV=
P
=41300.657
（1+i）2+23
18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。
解：
设递延时间为t，有
1
P=ivt
解得
ln
t=-ln（1+iPi）
19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。
计算X。
解：
设年实利率为i，由两年金的现值相等，有
X
1000¨20?
pi=v29
i
解得X=1000（（1+i）30-（1+i）10）
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：
前n年，A、B和C三人
平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算（1+i）n。
解：
设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值
为i，而D得到遗产的现值为vn。
由题意得
3a?
npi
1-vn
=vn
3
所以（1+i）n=4
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二
个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。
已知：
C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。
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解：
由题意知
PVC=
a?
np
=0.49
PV
v
n
A
2
那么
a?
np
PVB=
a?
np
=0.61
vn
13n
PV
v
D
i
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a?
<1000
np4.5%v4
解得n=17
解：
n+1?
p4.5%v4
>1000
100a
列价值方程
100a?
p4.5%+
Xv
1=1000
16
2
解得
X=146.07
23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在
n年内将增加一倍，计算n。
解：
两年金现值相等，则
4×a36
p
i
=5
×，可知
?
18
18
=0.25
v
由题意，（1+i）n=2
解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：
每月底还
100元，5年还清；k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为
12%，计算k。
解：
由题意可得方程
100a60?
p1%=6000（1+i）-k
解得
k=29
25.已知a?
2pi=1.75，求i。
解：
由题意得
1-v2=1.75i
解得
i=9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买
10年期末年金可以每年得到
1538元，20年
的期末年金为每年
1072元。
计算年利率。
解：
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27.某人在银行中存入一万元
10年定期存款，年利率
4%，如果前5年半内提前支
取，银行将扣留提款的5%
作为惩罚。
已知：
在第
4、5、6和7年底分别取出K元，
且第十年底的余额为一万元，计算K。
解：
由题意可得价值方程
10000=105Ka?
2p4%v3+Ka?
2p4%
+10000v10
则K=10000-10000v10
=979.94
105a?
+a?
5
2p4%v3
2p4%v
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解：
选取第一次还款日为比较日，有价值方程
1
P（1+i）2=X+2Xa?
4pi+2Xa?
5pj（1+i）-4
所以
P（1+i）12
X=
1+2a?
4pi+2a?
5pj（1+i）-4
29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：
每两年付款2000元，共计8次。
解：
30.计算下面十年年金的现值：
前5年每季度初支付400元，然后增为600元。
已知年利率为12%。
（缺命令）
解：
PV=4×400+4600v×5=11466.14
31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。
解：
32.给出下面年金的现值：
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：
1
（1+i）
24
=a28?
-pa?
4p
PV=
24
piv3
=
-1
4
s?
4p
a?
27
-1]
s?
3p
1p
（1+i）[（1+i）
+s?
i
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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：
设年实利率为i，则（1+2%）2=1+i。
有题意得
750
+
750
i
20
pii=Ra30?
pi
s?
解得
R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：
由题意知
1=125is?
3pi91
解得i=20%
35.已知：
1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年
金，计算R。
解：
由题意得
20=1=R
da?
2pii
解得
R=1.95
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延时间。
（2）
1
解：
设贴现率为d，则1
=
i
2（1-d）
+
1
2
设递延时间为t，由题意
得
10000=2
t
（2）
?
×500v¨
∞p
1
解得
t=
ln20+ln（1-（1-d）
2）
ln（1-d）
37.计算：
3a?
（2）
np
=2a
（2）2?
np=
45s?
（2）
1p
，计算i
。
i
a?
=45×s?
解：
npi
1pi
i
i
a
3×?
npi=2×
n
=
1
1
i
（2）
i2
i2
解得：
v
i=
。
230
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38.已知i（4）=16%。
计算款1元，
共12年。
（问题）
解：
39.已知：
δt=1+1t。
求ˉ?
np
解：
以下期初年金的现值：
现在开始每4个月付
的表达式。
∫n
ˉ?
np=
e-R0tδsdsdt=ln（1+n）
0
40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
解：
第一种年金的现值为
∫1
vtdt=1-e-δ
0δ
第二种年金的现值为e-δt，则
ln
所以t=1+1δδi
1-e-δ
δ
=e-δt
41.已知：
δ=0.08。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。
（结果和李凌飞的不同）
解：
设季度实利率为i。
因a（t）=e，则e
=（1+i）所以
δt
1
4
δ
1-v80
=4030.53
80
pi
i
PV=100¨?
=100（1+i）
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以
2400元的固定
速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？
解：
设年实利率为i，则i=eδ-1
设基金可维持t年，由两现值相等得
40000=2400a?
tpi
解得
t=28
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43.已知某永久期末年金的金额为：
1，3，5，...。
另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。
解：
由题意：
11
13
（1+i）6=（1+i）7?
i=112
PV=v+3v2+···+（2n-1）vn+···
2
+
···
=v[1+PV+2（v+v
）]
=v（1+PV+
1-v
）
2v
解得:
PV=66
44.给出现值表达式Aa?
np+B（Da）n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：
首次100元，然后每次减少3元。
解：
年金序列：
A+nB,A+（n-1）B,...,A+2B,A+B所求为25a25?
p+3（Da）25|
45.某期末年金（半年一次）为：
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16％。
若记：
A=a10?
p8%，试用A表示这个年金的现值。
解：
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：
2×（10-A）
10
p8%
+500（Da）
10|8%
=300A
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