完整版北大版金融数学引论第二章答案docx.docx
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第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用
5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元,后十年每年底存款1000+X
元,年利率7%。
计算X。
解:
S=1000s?
+
Xs
?
p7%
10
p7%
20
X=
50000-1000s
20?
p7%
=65172
s?
p7%
.
10
2.价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式:
每月底还
250元,期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解:
设首次付款为X,则有
10000=X+250a48
?
p1.5%
解得
X=1489.36
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为
n,实利率i=1。
试计算该年金的现值。
n
解:
PV
=
na?
npi
=
1-vn
n
1
n
=
(n+1)nn2-
nn+2
(n+1)n
4.已知:
a?
np
=X,a?
np
=Y。
2
试用X和Y表示d。
解:
a2
?
np
=a?
np
np
(1-d)
n则
1
+a?
Y-X
)n
d=1-(
X
5.已知:
a?
7p
=5.58238,a?
p
=7.88687,a?
=10.82760。
计算i。
11
18p
解:
a18?
p=a?
7p+a11?
pv7
解得
i=6.0%
6.证明:
1
s
10?
p+a∞?
p。
=
s10?
p
1-v10
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证明:
s?
+a?
(1+i)10
-1+1
1
10
p
∞
p
=i
i=
10
p
10
1-v
10
(1+i)
-1
s?
i
7.已知:
半年结算名利率
6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始
4年每半
年200元,然后减为每次
100元。
解:
PV=100a?
8p3%+100a20?
p3%=2189.716
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。
然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计
15年。
设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解:
设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
1000¨?
X¨?
p7%
25p8%=
15
解得
X=8101.65
9.已知贴现率为10%,计算¨?
8p
。
解:
d=10%,则i1-d-1=19
=1
1-v8
=5.6953
¨?
8p=(1+i)
i
10.求证:
np
np
+1-
(1)?
¨=a?
vn;
(2)?
¨np=s?
-np1+(1+i)n
并给出两等式的实际解释。
证明:
(1)¨?
np=1-dvn=1-ivn=1-vni+1-vn
1+i
所以
¨?
np=a?
np+1-vn
(1+n
n
n
n-1
np
(1+i)-1=(1+i)-1
i)-1
(2)?
¨=
=
i
+(1+i)
d
1+i
i
所以
np
=s?
-
np
1+(1+i)
n
¨?
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12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利
率6%,计算:
1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终值。
解:
PV=100a49?
p1.5%-100a?
2p1.5%=3256.88
AV=100s49?
p1.5%-100s?
2p1.5%=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。
已知:
v10=1,计算Y。
2
解:
因两种年金价值相等,则有
a30?
pi+a10?
piv10=Ya30?
-piYa10?
piv10
所以Y=3-v10-2v30
=1
1+v10-2v30.8
14.已知年金满足:
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解:
由题意知,
2a?
npi+3
a?
=36
2
npi
2a?
npivn=6
解得
a?
7p
15.已a11?
p
知
i=8.33%
a?
3p+sX?
p
=aY?
p+sZ?
p。
求X,Y和Z。
解:
由题意得
1-v
1-v
解得
7
11
=(1+i)X-v3(1+i)Z-vY
X=4,Y=7,Z=4
16.化简a15?
p(1+v15+v30)。
解:
15
p
15
30
45
p
a?
(1+v
+v
)=a?
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17.计算下面年金在年初的现值:
首次在下一年的4月1日,然后每半年一
次2000元,半年结算名利率9%。
解:
年金在4月1日的价值为P4.5%×2000=46444.44,则
=1+4.
5%
PV=
P
=41300.657
(1+i)2+23
18.某递延永久年金的买价为P,实利率i,写出递延时间的表达式。
解:
设递延时间为t,有
1
P=ivt
解得
ln
t=-ln(1+iPi)
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一定的金额X,直至永远。
计算X。
解:
设年实利率为i,由两年金的现值相等,有
X
1000¨20?
pi=v29
i
解得X=1000((1+i)30-(1+i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:
前n年,A、B和C三人
平分每年的年金,n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算(1+i)n。
解:
设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值
为i,而D得到遗产的现值为vn。
由题意得
3a?
npi
1-vn
=vn
3
所以(1+i)n=4
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊,A接受第一个n年,B接受第二
个n年,C接受第三个n年,D接受所有剩余的。
已知:
C与A的份额之比为0.49,求B与D的份额之比。
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解:
由题意知
PVC=
a?
np
=0.49
PV
v
n
A
2
那么
a?
np
PVB=
a?
np
=0.61
vn
13n
PV
v
D
i
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a?
<1000
np4.5%v4
解得n=17
解:
n+1?
p4.5%v4
>1000
100a
列价值方程
100a?
p4.5%+
Xv
1=1000
16
2
解得
X=146.07
23.36年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在
n年内将增加一倍,计算n。
解:
两年金现值相等,则
4×a36
p
i
=5
×,可知
?
18
18
=0.25
v
由题意,(1+i)n=2
解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:
每月底还
100元,5年还清;k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为
12%,计算k。
解:
由题意可得方程
100a60?
p1%=6000(1+i)-k
解得
k=29
25.已知a?
2pi=1.75,求i。
解:
由题意得
1-v2=1.75i
解得
i=9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买
10年期末年金可以每年得到
1538元,20年
的期末年金为每年
1072元。
计算年利率。
解:
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27.某人在银行中存入一万元
10年定期存款,年利率
4%,如果前5年半内提前支
取,银行将扣留提款的5%
作为惩罚。
已知:
在第
4、5、6和7年底分别取出K元,
且第十年底的余额为一万元,计算K。
解:
由题意可得价值方程
10000=105Ka?
2p4%v3+Ka?
2p4%
+10000v10
则K=10000-10000v10
=979.94
105a?
+a?
5
2p4%v3
2p4%v
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半,前四年半的年利率为i,后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解:
选取第一次还款日为比较日,有价值方程
1
P(1+i)2=X+2Xa?
4pi+2Xa?
5pj(1+i)-4
所以
P(1+i)12
X=
1+2a?
4pi+2a?
5pj(1+i)-4
29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值:
每两年付款2000元,共计8次。
解:
30.计算下面十年年金的现值:
前5年每季度初支付400元,然后增为600元。
已知年利率为12%。
(缺命令)
解:
PV=4×400+4600v×5=11466.14
31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。
解:
32.给出下面年金的现值:
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解:
1
(1+i)
24
=a28?
-pa?
4p
PV=
24
piv3
=
-1
4
s?
4p
a?
27
-1]
s?
3p
1p
(1+i)[(1+i)
+s?
i
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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替,半年换算名利率4%,求R的表达式。
解:
设年实利率为i,则(1+2%)2=1+i。
有题意得
750
+
750
i
20
pii=Ra30?
pi
s?
解得
R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。
解:
由题意知
1=125is?
3pi91
解得i=20%
35.已知:
1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年
金,计算R。
解:
由题意得
20=1=R
da?
2pii
解得
R=1.95
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延时间。
(2)
1
解:
设贴现率为d,则1
=
i
2(1-d)
+
1
2
设递延时间为t,由题意
得
10000=2
t
(2)
?
×500v¨
∞p
1
解得
t=
ln20+ln(1-(1-d)
2)
ln(1-d)
37.计算:
3a?
(2)
np
=2a
(2)2?
np=
45s?
(2)
1p
,计算i
。
i
a?
=45×s?
解:
npi
1pi
i
i
a
3×?
npi=2×
n
=
1
1
i
(2)
i2
i2
解得:
v
i=
。
230
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38.已知i(4)=16%。
计算款1元,
共12年。
(问题)
解:
39.已知:
δt=1+1t。
求ˉ?
np
解:
以下期初年金的现值:
现在开始每4个月付
的表达式。
∫n
ˉ?
np=
e-R0tδsdsdt=ln(1+n)
0
40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位,则两种年金的现值相等。
解:
第一种年金的现值为
∫1
vtdt=1-e-δ
0δ
第二种年金的现值为e-δt,则
ln
所以t=1+1δδi
1-e-δ
δ
=e-δt
41.已知:
δ=0.08。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。
(结果和李凌飞的不同)
解:
设季度实利率为i。
因a(t)=e,则e
=(1+i)所以
δt
1
4
δ
1-v80
=4030.53
80
pi
i
PV=100¨?
=100(1+i)
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以
2400元的固定
速连续地从基金中取钱,该基金可以维持多少时间?
解:
设年实利率为i,则i=eδ-1
设基金可维持t年,由两现值相等得
40000=2400a?
tpi
解得
t=28
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43.已知某永久期末年金的金额为:
1,3,5,...。
另外,第6次和第7次付款的现值相等,计算该永久年金的现值。
解:
由题意:
11
13
(1+i)6=(1+i)7?
i=112
PV=v+3v2+···+(2n-1)vn+···
2
+
···
=v[1+PV+2(v+v
)]
=v(1+PV+
1-v
)
2v
解得:
PV=66
44.给出现值表达式Aa?
np+B(Da)n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如下25年递减年金的现值:
首次100元,然后每次减少3元。
解:
年金序列:
A+nB,A+(n-1)B,...,A+2B,A+B所求为25a25?
p+3(Da)25|
45.某期末年金(半年一次)为:
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16%。
若记:
A=a10?
p8%,试用A表示这个年金的现值。
解:
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减,故有:
2×(10-A)
10
p8%
+500(Da)
10|8%
=300A