完整版北大版金融数学引论第二章答案docx.docx

1、完整版北大版金融数学引论第二章答案docx版权所有，翻版必究第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款 1000+X元，年利率 7%。计算 X 。解：S = 1000s ?+Xs?p7%10p7%20X =50000 - 1000s20?p 7%= 651 72s ?p7%.102价值 10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限 4年。月结算名利率 18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为 X ，则有10000 = X + 250a48?p1.5%解得X = 1489.363设有 n年期期末年

2、金，其中年金金额为n，实利率 i = 1。试计算该年金的现值。n解：P V=na?npi=1 - v nn1n=(n + 1)nn2-nn+2(n + 1) n4已知： a?np= X ， a ?np= Y 。2试用 X 和Y 表示 d 。解： a2?np= a?npn p(1 - d)n则1+ a?Y - X) nd = 1 - (X5已知： a?7p= 5.58238, a ?p= 7.88687, a ? = 10.82760。计算 i。1118 p解：a18 ?p = a?7p + a11?pv7解得i = 6.0%6.证明： 1s10? p +a? p 。=s10? p1-v 10北

3、京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页版权所有，翻版必究证明：s ?+ a ?(1+i) 10- 1+1110pp=ii =10p101 - v10(1+i)- 1s ?i7已知：半年结算名利率6%，计算下面 10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV = 100a?8p3% + 100a20?p 3% = 2189.7168某人现年 40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入 1000元，共计 25年。然后，从 65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前 25年的年利率为 8%，后15年的年利率 7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为 X ，选

4、择 65岁年初为比较日1000?X ?p7%25 p8%=15解得X = 8101.659已知贴现率为 10%，计算 ?8p。解： d = 10%，则 i 1-d - 1 =1 9=11 - v 8= 5.6953?8p = (1 + i)i10.求证：npnp+ 1 -(1) ? = a?vn ；(2)?np = s? - np 1 + (1 + i) n并给出两等式的实际解释。证明： (1) ?np =1- d vn=1- i vn =1 - v n i+ 1- vn1+i所以?np = a?np + 1 - v n(1+ nnnn - 1np(1+i ) - 1=(1+i) - 1i)

5、- 1(2) ? =i+ (1 + i)d1+ii所以np= s? -np1 + (1 + i)n?版权所有，翻版必究12.从 1980年 6月7日开始，每季度年金 100元，直至 1991年 12月 7日，季结算名利率6%，计算： 1）该年金在 1979年 9月 7日的现值； 2）该年金在 1992年 6月 7日的终值。解：P V = 100a49?p1.5% - 100a?2 p1.5% = 3256.88AV = 100s 49?p1.5% - 100s?2 p1.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金 A 和 B。年金 A 在第 110年和第 21 30年中每年1元，

6、在第 11 20年中每年 2元；年金 B在第 1 10年和第 2130年中每年付款金额为 Y ，在第 11 20年中没有。已知： v10=1 ，计算 Y 。2解： 因两种年金价值相等，则有a30 ?pi +a10?piv10=Y a30 ? - piY a10? piv10所以 Y = 3- v10- 2v30=11+v10- 2v30 .814.已知年金满足： 2元的 2n期期末年金与 3元的 n期期末年金的现值之和为 36；另外，递延 n年的 2元 n 期期末年金的现值为 6。计算 i。解： 由题意知，2a?npi+ 3a?= 362npi2a?npivn = 6解得a?7p15.已 a1

7、1?p知i = 8.33%a?3p + sX ?p= aY ?p + sZ?p 。求 X ，Y 和 Z。解： 由题意得1 - v1 - v解得711=(1 + i) X - v3 (1 + i) Z - vYX=4,Y =7,Z=416.化简 a15?p (1 + v15 + v30)。解：15p153045pa ?(1 + v+ v) = a ?北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率 9%。解： 年金在 4月 1日的价值为 P 4.5%2000 = 46444.44 ，则=1+

8、4 .5%P V =P= 41300.657(1 + i)2+ 2318.某递延永久年金的买价为 P ，实利率 i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为 t，有1P = i vt解得lnt = - ln(1+ iPi)19.从现在开始每年初存入 1000元，一直进行 20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额 X ，直至永远。计算 X 。解： 设年实利率为 i，由两年金的现值相等，有X100020? pi= v29i解得 X = 1000(1 + i) 30- (1 + i) 10 )20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代 A 、B、C、和 D ：前 n年， A 、 B和C三人平分每年的

9、年金， n年后所有年金由 D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算 (1 + i) n。解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为 i ，那么 A,B,C 得到的遗产的现值为 i，而 D 得到遗产的现值为 vn。由题意得3a?npi1 - v n= vn3所以 (1 + i) n= 421.永 久 期 末 年 金 有 A 、 B、C、和 D四 人 分 摊， A 接 受 第 一 个 n年， B接受 第 二个n年， C接受第三个 n 年， D接受所有剩余的。已知： C与A 的份额之比为 0.49，求B与D 的份额之比。版权所有，翻版必究解： 由题意知PVC =a?np= 0.49P VvnA2那

10、么a?npPVB =a?np= 0.61vn13nP VvDi22.1000元年利率 4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷 100元，直至还清，如果最后一次的还款大于 100元。计算最后一次还款的数量和时间。100a?1000100a列价值方程100a ?p4.5%+Xv1 = 1000162解得X = 146.0723.36年的期末年金每次 4元，另有 18年的期末年金每次 5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算 n。解： 两年金现值相等，则4 a36pi= 5 ，可知?1818= 0.25v由题意， (1 + i) n= 2解得 n = 924.某借款

11、人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元， 5年还清； k个月后一次还 6000元。已知月结算名利率为12%，计算 k。解： 由题意可得方程100a60 ?p1% = 6000(1 + i) - k解得k = 2925.已知 a?2pi = 1.75，求 i。解： 由题意得1 - v 2= 1.75i解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元， 20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前 5年半内提前支取，银行将扣留提款的 5%作为惩罚。已知：在

12、第4、 5、 6和7年底分别取出 K 元，且第十年底的余额为一万元，计算 K 。解： 由题意可得价值方程10000 = 105Ka?2 p4%v3+Ka? 2p4%+ 10000v10则 K = 10000-10000v 10= 979.94105a?+a?52p4%v32 p4%v28.贷款 P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为 i ，后面的利率为 j。计算首次付款金额 X 的表达式。解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P (1 + i) 2= X + 2Xa? 4pi + 2Xa? 5 pj (1 + i) - 4所以P (1 + i

13、) 12X =1 + 2a?4pi + 2a?5 pj (1 + i) - 429.已知半年名利率为 7%，计算下面年金在首次付款 8年后的终值：每两年付款2000元，共计 8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前 5年每季度初支付 400元，然后增为 600元。已知年利率为 12%。（缺命令）解：P V = 4 400 + 4 600v5= 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为 9%，计算每半年付款 600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第 7、 11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：1(1 +i)24= a28? - pa?4pP

14、V =24pi v3=- 14s?4pa ?27- 1s?3p1p(1 + i) (1 + i)+ s?i北京大学数学科学学院金融数学系 第 6 页版权所有，翻版必究33.750元的永久年金和每 20年付款 750元的永久年金可以用每次 R元的 30年期末年金代替，半年换算名利率 4%，求 R的表达式。解： 设年实利率为 i，则 (1 + 2%) 2= 1 + i 。有题意得750+750i20pii =Ra30? pis ?解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为 125/91，计算年利率。解： 由题意知1= 125 is?3pi 91解得 i = 20%35

15、.已知： 1元永久期初年金的现值为 20，它等价于每两年付款 R元的永久期初年金，计算 R。解： 由题意得20= 1= Rd a?2pi i解得R = 1.9536.已知每半年付款 500元的递延期初年金价格为 10000元。试用贴现率表示递延时间。(2)1解： 设贴现率为 d，则 1=i2(1 - d)+12设递延时间为 t，由题意得10000 = 2t (2)?500v p1解得t =ln 20 + ln(1 - (1 - d)2)ln(1 - d)37. 计算： 3a?(2)np= 2a(2) 2? np =45s?(2)1p，计算 i。ia?= 45 s?解：n pi1 piiia3

16、?n pi= 2n=11i (2)i2i2解得： v, i =。230北京大学数学科学学院金融数学系 第 7 页版权所有，翻版必究38.已 知 i(4) = 16%。计 算款1元，共12年。（问题）解：39.已知： t =1+1t。求 ?n p解：以下期初年金的现值：现 在开始每4个月付的表达式。n?n p =e- R0t sdsdt= ln(1 + n)040.已知一年内的连续年金函数为常数 1，计算时刻 t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为1vtdt = 1 - e - 0 第二种年金的现值为 e- t，则ln所以 t = 1 +1 i

17、1 - e - = e- t41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入 100元的 20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为 i。因 a(t) = e ，则 e= (1 + i) 所以t141 - v 80= 4030.5380piiP V = 100 ? = 100(1 + i)42.现有金额为 40,000元的基金以 4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解： 设年实利率为 i，则 i = e- 1设基金可维持 t年，由两现值相等得40000 = 2400a?tpi解得t = 28北京大学数学科学学

18、院金融数学系 第 8 页版权所有，翻版必究43.已知某永久期末年金的金额为： 1，3， 5， . . . 。另外，第 6次和第 7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解： 由题意：1113(1+i) 6=(1+i) 7?i = 112P V = v + 3v 2+ + (2n - 1)v n+ 2+= v1 + P V + 2(v + v)= v(1 + P V +1-v)2v解得:P V= 6644.给出现值表达式 Aa? np + B (Da) n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次 100元，然后每次减少 3元。解： 年金序列： A + nB, A + (n - 1) B, . . . , A + 2B, A + B 所求为 25a25 ?p+ 3(Da) 25|45.某期末年金（半年一次）为： 800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记： A = a10?p8% ，试用 A 表示这个年金的现值。解： 考虑把此年金分割成 300元的固定年金和 500元的递减，故有：2 (10-A)10p8%+ 500(Da)10 |8%= 300A