重点高中数学必修II线面垂直证明专题.docx

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重点高中数学必修II线面垂直证明专题

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线面垂直证明专题

1.直线与平面垂直的定义：

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.

2.直线与平面垂直的判定:

线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理1：

如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。

判定定理2：

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。

性质定理3：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

专题一线面垂直的判定应用

1下列条件中，能使直线m⊥

的是（）

Am⊥b,m⊥c,b⊥

c⊥

Bm⊥b,b∥

Cm

b=A,b⊥

Dm∥b

1如图，在平面

内有

ABCD，O是它的对角线的交点，点P在

外，且PA=PC，PB=PD，

求证：

PO⊥

。

2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD中心，求证：

B1O⊥面PAC

3如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，

求证：

AH⊥面BCD

4如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，

PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中

点，求证：

MN⊥面PCD

5如图，在正方体AC1中，M,N,E,F分别是中点。

（1）求证A1E⊥面ABMN；

（2）求异面直线A1E与MF所成角的大小。

专题二线面垂直性质的应用

1已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作

AE⊥PC，垂足为E，如图，求证：

AE⊥面PBC

2已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC

交SC于F。

（1）求证：

AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：

AG⊥SD

3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB,A1C的中点，求证：

MN⊥面A1DC

4如图，底面ABCD为正方形，SA⊥面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB,SC,SD分别于

点E,F,G求证：

AE⊥SB

专题三直线与平面所成的角

1已知直线a是平面

的斜线，b

，当a与b成60°角，且b与a在

内的射影

成45°角时，求a与

所成角

2如图，在直三棱柱AB0-A1B1O1中OO1=4，OA=4，OB=3,

=90°，D是限度A1B1的中

点，P是侧棱BB1上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成的角

3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AA1，A1D1的中点

（1）求D1B与平面AC所成的角的余弦值

（2）求EF与平面A1C1所成的角的大小

4如图，l1,l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A,B在L1上，C在l2

上，AM=MB=MN。

（1）求证：

AC⊥NB;

（2）若

=60°，求NB与平面ABC所成的角

题型四点到平面的距离

1如图，已知P为

ABC所在平面外的一点PA,PB,PC两两垂直，PA=PB=PC=a，求点P到

底面的距离

2如图，在棱长为1的正方体中，E,F分别是棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点

求点G到平面D1EF的距离

题型五折叠问题

1如图，E,F分别是正方形ABCD变BC和CD的中点，沿AE,AF,EF折起，使B,C,D重合于

P，试问AP与平面PEF,平面AEF，平面PAE，平面PAF那个面垂直

2如图,AD是边长为2的正三角形ABC的BC边上的高，沿AD将ABC折起，使

=60°

求AD与平面ABC所成角的正切值。

（三）面、面垂直的判定

（四）面、面垂直的性质

（五）二面角及二面角的平面角定义

题型一面面垂直判定及性质的应用

1已知菱形ABCD的边长为2a，

=60°，所在平面为

，AE⊥

CF⊥

如图，且AE=3a，

CF=a，求证：

平面BDE⊥面BDF

2如图，

为正三角形，CE⊥面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：

（1）面BDM⊥面ECA；

（2）面DEA⊥面ECA；

3如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是边长为2

的菱形，

BAD=60°，N,M,E分别为中点，求证：

（1）EN∥面PDC;

（2）BC⊥面PEB；

（3）面PBC⊥面ADMN

4如图，VB⊥面ABC，面VAB⊥面VAC，求证：

BA⊥AC。

题型二二面角的应用

1如图，在四面体ABCD中，

都全等，且AB=AC=

，BC=2，求

以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小

2如图，在

ABC中，AB⊥BC,SA⊥面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E，又SA=AB.

SB=BC,求二面角E-BD-C的大小

3如图甲所示，在直角梯形PDCB中，PD与CB平行，CD

PD,PD=6，BC=3，DC=

，A是

PD的中点，沿AB把平面PAB折起到乙图平面ＰＡＢ的位置，使二面角Ｐ-CD-B成45°

设E，F封闭是AB、PD的中点，

（1）求证：

AF∥面PEC；

（2）求二面角P-BC-A的大小

四知识小结