基于水资源的数学建模答案.docx

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基于水资源的数学建模答案

2011江西财经大学数学建模竞赛

（B题）

基于熵权的水资源短缺风险综合评价模型

参赛队员:

参赛队编号：

2011057

2011年5月27日~6月1日

2011江西财经大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：

B

我们的参赛队编号为2011057

参赛队员（打印并签名）：

队员1.姓名专业班级

队员2.姓名专业班级

队员3.姓名专业班级

日期：

2011年6月1日

2011江西财经大学数学建模竞赛

编号和阅卷专用页

参赛队编号：

参赛队员填写

参赛队

员姓名

所有数学类与计算机类课程成绩

（意愿参加全国竞赛者填写）

是否选修数学建模课程

是否有意愿参加全国竞赛

阅卷填写，参赛者不得填写

评分（百分制）

评阅人

最终得分

小组评价负责人

阅卷

专家

评语

备注

1、是否选修数学建模：

指本学期是否选修了数学建模课程

2、是否有意愿参加全国竞赛：

指参加今年的全国大学生数学建模竞赛，一经选定，不得退赛，否则将建议学生所在学院给予处分。

培训时间：

2011年7月25日开始。

江西财经大学数学建模竞赛组委会

2011年5月15日制定

基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型

摘要

本文将信息论中的熵值理论应用于水资源短缺风险评价中,建立了基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型,避免了传统层次分析法中两两对比构造判断矩阵易于发生目标先后不一致性问题,丰富和改进水资源短缺风险评价方法。

首先我们利用主成分分析方法识别出水资源短缺风险敏感因子，作为实例对北京市1979~2009年的水资源短缺风险研究表明，农业用水量、降雨量、第三产业及生活用水、污水处理能力、人口数、农业用水量是北京市水资源短缺的主要致险因子；其次我们确定了水资源短缺风险的评价指标如下：

风险率，重现性，可恢复性，风险度，并对此确定类别标准集；然后我们运用信息熵所反映数据本身的效用值来计算评价指标的权重系数,使得权重的确定有了一定的理论依据，而后建立了基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型，最后采用灰色预测模型对北京市2010,2011两年的水资源短缺进行预测，研究表明再生水回用和南水北调工程可使北京地区2010年和2020年各种情景下的水资源短缺均降至低险水平。

关键字：

水资源短缺、风险、熵权理论、主成分分析方法、敏感因子。

一、问题重述

1.1背景

水资源是指可供可供人类直接利用能够不断更新的天然水体，主要包括陆地上的地表水和地下水。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日益严重。

北京就是一个缺水十分严重的城市，其水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素，尽管政府采取了一系列措施，但是由于气候变化和经济社会的不断发展，水资源短缺风险始终存在。

如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，具有重要意义。

2.1问题

以北京为研究城市，根据给出的数据和自己搜集的数据对北京市的水资源短缺风险进行深入研究:

问题一：

评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？

影响水资源的因素很多例如气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度、人口规模等。

问题二：

建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。

对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？

问题三：

对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。

最后根据研究结果，以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

二、利用主成分分析方法确定水资源短缺风险因子

2.1问题分析

主成分分析法是指标筛选最常用的方法之一,该方法的本质目的是对高维变量系统进行最佳综合与简化,同时客观地确定各个指标的权重,从而筛选出权重大的指标,确定敏感因子。

该方法较层次分析法和专家打分法的好处是避免了主观随意性,因此本文首先采用此法进行指标筛选。

加大和降低北京水资源短缺风险的因素主要源于以下三方面a自然因素;b社会经济;c工程技术,以下分别从三方面对其因素进行定性分析:

a、自然因素:

（1）降水量:

它是水资源的来源,其大小变化直接影响到水资源量的大小,当降雨量减小时,水资源短缺风险就相应增大。

（2）蒸发量:

蒸发量增大将导致区域可用水资源减少,从而增大水资源短缺风险。

（3）水汽量（以水气输送总量表示）:

随着科学技术的发展和国民经济实力的增强,向大气要水资源、进行人工增雨已成为干旱缺水地区补充部分水资源的一个新手段。

如果区域的水汽量少的话,则会使水资源补充的能力降低,从而加大水资源短缺风险。

（4）水源涵养指标（以植被覆盖率表示）:

一般植被覆盖率越大,涵养水源较好,能有效降低水资源短缺风险;

（5）地下水天然补给量:

此补给量越大,则可用地下水也越多,可以降低水资源短缺风险。

b、社会经济:

（1）单位GDP产值污水排放量:

污水排放量越大,该区域水体的水质就越差,可用水资源也就相应减小,加大了水资源短缺风险;

（2）污水处理率:

污水进行处理后,使不是水资源的污水转变为水资源,从水质的角度增加了水资源量,从而降低了水资源短缺风险;

（3）人均GDP:

此值越高,表示经济实力越强,可以对水资源的开发和利用进行更大的投资,原则上能够降低水资源短缺风险;

（4）万元产值工业耗水率:

在保证产值的情况下耗水率越低,则越节约水资源,能够降低水资源短缺风险,反之则能加大风险;

（5）万元产值农业耗水率:

与工业耗水率原则相同;

（6）工业总产值占有率:

一般工业产生污染比较严重,工业总产值越高,水污染越严重,所以该值增大会加大水资源短缺风险;

（7）人口密度:

人口密度大将导致水资源使用更加紧张,此值增大将加大水资源短缺风险。

（8）生活用水定额:

在北京这种干旱地区,用水一般较紧张,普遍提倡节约用水,因此在保证人们正常生活用水情况下,生活用水定额越小,水资源短缺风险也越低。

c、工程技术:

（1）地表水控制率:

地表水控制率为当地地表水蓄水工程入库水量与当地地表水水资源量之比,控制率越大,人类就可能更多地利用水资源,从而降低水资源短缺风险;

（2）渠系水利用系数:

指的是渠首引水量减去渠系渗漏补给量与渠首引水量之比,此值越大,渠系渗漏补给量越小,则水资源利用率越高,降低了水资源短缺风险;

（3）农业灌溉定额:

干旱地区的农业灌溉水一般都是供不应求,所以一旦有水则大量进行灌溉,这造成了大量的水资源浪费,应充分考虑到水资源的不足,对农业灌溉进行节制,所以农业灌溉定额减小能够相应降低水资源短缺风险;

（4）水循环利用率:

原则上该值越高,则水的利用率越高,水资源短缺风险也相应减小;

（5）跨流域调水率（调入的水量与原有水量之比）:

能够从其他流域将水资调入,此值增大将降低水资源短缺风险。

2.2模型假设

（1）、假设所有收集到得数据均有效，即不考虑人为因素造成的无效数据。

（2）、假设缺水量与农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、降水量、再生水量、污水处理率、人口数、污水总量等因素呈线性相关。

（3）、假设不考虑地表水的蒸发水量，以及地表水与地下水资源无重复部分。

（4）、假设各地区降水均匀、人口分布均匀以及各地区用水情况大致相同。

（5）、假设不考虑GDP增长速度对水资源的影响。

2.3主成分分析方法的步骤

（1）数据的标准化处理

　　　　yij=（xij–xj）/Sji=1,2,…,n,　j=1,2,…,J

（1）

xj,Sj为第j个指标的样本均值和样本标准差。

结果如下：

（2）计算数据表（yij）I×J的相关矩阵R。

结果如下：

R=

（3）求R的J个特征值:

λ1≥λ2≥⋯≥λJ,以及对应的特征向量u1,u2,⋯,uj,它们标准正交,u1,u2,⋯,uj称为主轴。

经计算：

[pc,score,variance,t2]=princomp（Z）

variance（特征值）=

pc（特征向量）=

（4）求主成分

个主成分的作用大小是：

Z1>=Z2>=Z3…>=Zp（p=8）

Z1=-0.3039x1-0.3996x2+0.4101x3-0.2475x4-0.2095x5+0.4205x6+0.3297x7+0.4348x8

Z2=0.3533x1-0.0152x2-0.0821x3-0.5941x4-0.6708x5-0.0816x6-0.2145x7-0.1088x8

Z3=-0.6644x1+0.3742x2+0.2481x3-0.2701x4+0.0178x5-0.2143x6-0.4822x7+0.0732x8

.

..

.

Z8==0.0915x1-0.0997x2+0.5033x3+0.1007x4-0.0993x5+0.1726x6+0.0460x7-0.8225x8

（5）精度分析:

通过求累计贡献率E来判断,一般要求取E>85%的最小m值,则可得

主平面的维数m,从而可对m个主成分进行综合分析：

第i个主成分的贡献率是：

前m个主成分的综合贡献率是：

水资源短缺风险:

计算所得的前3个特征根λ1=4.9728,λ2=1.6009,λ3=0.5935,E=（4.9728+1.6009+0.5935）/7.9999=89.6036%>85%,所以取m=3。

通过对北京区域的风险因子值进行主成分分析,得到如下结果，见表1:

表1水资源短缺风险主因子矩阵

由水资源短缺风险主因子矩阵可知:

主成分

（1）中各因子值,比较大的是第三产业及生活等其他用水、污水处理能力和人口数。

主成分

（2）中比较大的是农业用水和降水量

主成分（3）中各因子载荷值都较小。

综合以上分析可知:

在水资源短缺风险中载荷较大的指标为降雨量、第三产业及生活用水、污水处理能力、人口数、农业用水。

三、基于熵权的水资源短缺风险综合评价模型

水资源的短缺取决于供水和需水两方面影响,而这两方面都具有随机性和不确定性。

因此,水资源短缺风险也具有随机性和不确定性。

在进行风险评价时,要充分考虑风险的特点以及水资源系统的复杂性,要把存在风险的概率、风险出现的时间、风险造成的损失有多少、风险解除的时间、缺水量的分布等一系列因素考虑在内。

因此难以用某一种指标对其进行全面描述和评价,必须从多方面的指标综合考虑。

3.1、资源短缺风险评价指标的选择

评价指标选择的原则是:

a能集中反映缺水地区的缺水风险;b能集中反映缺水风险的程度;c能反映水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力;d代表性好,针对性强,易于量化。

依据上述原则,并参考文献[7],选取了水资源风险率、可恢复性、重现期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。

（1）风险率

根据风险理论,荷载是使系统“失事”的驱动力,而抗力则是对象抵御“失事”的能力。

如果把水资源系统的失事状态记为F∈（λ>ρ）,正常状态记为S∈（λ<ρ）,那么水资源系统的风险率为[1]

r=P（λ>ρ）=P{Xt∈F}

（1）

式中:

Xt为水资源系统状态变量

如果水资源系统的工作状态有长期的记录,风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整个工作历时之比,即

（2）

式中:

NS为水资源系统工作的总历时;It是水资源系统的状态变量。

（2）可恢复性

风险的可恢复性是一个重要的指标，若风险不可恢复，损失就无法弥补和挽回，灾难将长期存在，将风险的可恢复性同样划分为五个等级：

0~0.20,0.20~0.40,0.40~0.60,0.60~0.80,0,80~1

（3）重现期

事故重现期的长短在一定程度上可表明系统失事的频率，即为系统风险评价重要指标。

（4）风险度

是标准差和期望值的比值，可表明缺水量分散程度，为风险评价中重要的性能指标。

上述评价指标中任何一项指标均不能准确描述区域水资源短缺风险状况，应对单项缺水“风险程度”进行综合评判。

3.2熵值法确定指标权重W

（1）构造判断矩阵R

根据《北京2009年鉴》里的数据我们将1979~2008年的数据分为三个阶段，分别对其求相应的风险率，重现期，可恢复性和风险度，然后构建判断矩阵矩阵R如图3

图2北京市1979~2008年水资源短缺风险评价指标取值

（2）将判断矩阵R进行归一化处理,得到归一化矩阵B,B的元素为

bij=（rij–rmin）/（rmax–rmin）（3）

式中:

rmax、rmin分别为同一评价指标下不同对象中最满意者或最不满意者（越大越优或越小越优）。

（3）根据熵的定义,m个评价对象n个评价指标,确定评价指标的熵值

（4）利用熵值计算评价指标的熵权

公式为：

W=（wi）1*n

根据以上计算方法，可得各指标的评价权重为：

W=（0.2483,0.2789,0.2408,0.2320）

3.3建立模糊关系矩阵L

水资源短缺风险的大小是相对的,没有明显的界限,是典型的模糊集概念,因此可以用模糊集理论来描述评价指标连续变化这一问题。

根据模糊数学理论可以直接定量将获得的水资源短缺各评价指标分成若干级别,则评价因素对应各等级的隶属度可根据各评价因素的实际数值对照各因素的分级指标推求。

我们将评语等级分为5个级别,分别对应5个标准值,即低、较低、中等、较高、高,其对应的风险程度分别为可以忽略的风险、可以接受的风险、边缘风险、不可接受风险、灾变风险。

如下表2所示，水资源短缺风险的评价指标都属于区间型指标,其隶属度函数如下:

表3评价指标及分级情况

根据表2中的数据,由式（3）计算各指标相对隶属度,建立模糊关系矩阵L

（L1表示1979~1988的模糊矩阵，L2表示1989~1998的模糊矩阵，L3表示1999~2000的模糊矩阵）分别如下：

L1

L2

L3

3.4建立综合评价矩阵B0.23080.31030.47371.00-1.00

B=W*L0.00640.01040.02781.000.4186

B1=（0.2483,0.2789,0.2408,0.2320）0.17910.25530.40000.40000.7727

0.00000.00000.00001.0000-1.2000

=（0.10230.14160.22190.8560-0.2244）

同理可计算其他年限内的风险综合评价，评价结果如表4所示：

表4北京市1979~2008年水资源短缺风险综合评价结果

四、采用灰色预测模型对北京市未来两年的预测

4.1、采用灰色预测模型对北京市2010,2011两年的水资源短缺进行预测的GM（1,1）模型

X0=（X0

（1）,X0

（2）,x0（3）,x0（4）,x0（5））

X1=（X1

（1）,X1

（2）,X1（3）,X1（4）,X1（5））

X1（K）=X0（i）;k=1,2,3,4,5

其中X0（K）+aX1（K）=b.为GM（1,1）模型的原始形式，其中a,b为待定系数。

GM（1,1）相应的微分方程为：

（dX1/dt）+aX1=u;

a为发展灰数；u为内生控制灰数。

设A为待估参数向量，A=（a/u）,可利用最小二乘法求解解得：

求解微分方程，即可得预测模型：

取n=5.

把05至09年的缺水量代入MATLAB求解得

a=-0.025,u=-8.750

依次取K=1,2,3,4,5.可得各生成数据的模型值为

表5模拟值和实际值的对比

序号

1

2

3

4

5

模型计算值

13.22

12.0

9.77

11.12

1.0

实际值

13.2

11.3

9.8

11

0.9

从上面的经验可看出a=-0.025,且接近于0，说明本系统采用预测的方法是适合的。

数据表明最大误差为0.82%，拟合精确度高。

用同样的方法，根据现有的数据，比较再生水量回用前、后的变化，得出2010,2011这两年再生水回用前，后的值可得出这两年的水资源的处于50%，75%，90%的风险率为：

表6再生水量回用前、后的变化表

年份

规划水平年

风险

风险性

风险等级

再生水回用前

再生水回用后

风险降低百分率

再生水回用前

再生水回用后

2010年

50%

0.44

0.25

57%

中

低

75%

0.64

0.57

75%

较高

中等

90%

0.73

0.64

77%

较高

中等

2011年

50%

0.95

0.83

83%

高

高

75%

0.98

0.86

84%

高

高

90%

0.99

0.88

85%

高

高

由此表可看出，再生水回用前后比较，风险明显下降了很多，但是风险等级还是初级比较高的水平，所以，我们还得采取些措施来应对未来的缺水状况，所以建议有关部门加大对水的来源，比如通过境外调水，循环利用水资源等途径来缓解缺水状况。

五、针对北京市水资源短缺的建议

尊敬的北京市水行政主管部门：

水资源短缺一直是制约北京市经济发展的重要因素，数据表明，北京市自从1978年至今，其中水资源短缺都存在高风险，这与北京市所处的地理环境密切相关。

北京的地理位置属于水资源缺乏地域。

人均拥有水资源年占有量不足300M3，仅是全国人均水资源拥有量的1/8，是世界人均拥有量的1/30，属于严重缺水之城市。

北京市缺水量按需求最低标准量测算，年缺水量为11.82亿；若按全国人均占有量测算，年缺少240-268亿m3；按世界人均占有量测算，正常年景则年缺少千亿m3。

在正常年景，自然降水在625mm均值时，北京市的年自然降水总量约为105亿m3，能直接形成径流量的径流水约为47亿m3；域外年客流水流入量约为29亿m3；地表水资源年合计量约为76亿m3。

在地下150m深度以上孔隙中贮存的地下水量约为679亿m3，允许年抽取采量约26亿m3。

当今的年采抽量已经超过18亿m3。

能直接利用的水资源量接近100亿m3。

从总体的宏观上测算,北京市水资源总量并不算十分短缺,尚达不到世界上最缺水资源的都市之列但经调查研究表明，北京市在未来的一段时间内水资源短缺将会处于高风险状态。

为了能在有限的水资源内实现水资源优化，缓解北京市在未来一段时间内的水资源短缺问题，现有以下方案可以有效的实现水资源分配，宏观调控水资源，缓解从主要方面给北京市水资源短缺带来的压力。

一、加快南水北调的步伐。

北京市目前的水资源主要来源于对地下水的开采，地表水的利用以及各个层次的来源，但是，目前数据表明，地下水，地表水的开采程度已经远远不能满足北京市的工业、农业以及人们的日常生活用水，如何加大水资源的来源，就目前的政策来看，南水北调的工程正日趋完善，从大体上来说满足北京市对水资源的迫切需求，可以有效缓解北京市供水的压力。

二、调节用水结构。

与建国初期相比，1998年北京市工业用水增加了30多倍，农业用水增加了10多倍，同时，由于产业构成不合理，大量工业废水的排放大大加剧了北京市用水困难的问题，调节用水结构是迫在眉睫的。

与此同时，应该加大对污水处理的力度，实现废水利用率的有效提高，不达标的废水不能随意排出，建立一系列的污水处理站，从具体实施上解决污水问题，有效促进北京市用水结构的调整。

对北京市范围内的区域实施水资源调控，调控措施有需水管理和供水管理，抑制水资源需求的过度膨胀，提高水资源的开发利用程度，优化水资源配置，对当地水资源进行挖潜，增加雨洪利用等。

三、采取有效的水资源管理措施。

建立科学的水市场，完善水权水价机制，对生活用水、工业用水和农业用水实施分类用水管理。

水资源的分类管理，有效地实现水资源宏观调控中的经济功能，因为经济功能是有效使用水资源的保障。

所以，合适的准则是所收的水价是否等于生产运用水资源的社会价值，如果水用户的水用价超过供水的边际成本，那么充分的经济用水将会受到限制。

由于过去比较廉价的获取水资源，再加上通货膨胀的影响，所以，长期以来水价低于长期运行的边际成本，可以适当的上调水价，这样，可以有效地实现水资源的优化配置，缓解水资源短缺带来的巨大压力。

四、兴建蓄水工程。

密云，官厅是北京市最主要的两大水库，占全市供水的1/4，但是，仅仅这样是远远不够的，每年的雨水季节蓄水量远远不够，大量的雨水被浪费，根据数据显示，密云、官厅两大水库近年来蓄水量正在锐减，这也导致了北京市用水的困难，兴建蓄水工程可以从不同位段增加北京市的水资源量，缓解密云、官厅的压力，从而有效缓解北京市水资源短缺的压力。

以上是针对北京市水资源短缺所提出的缓解北京市用水压力的方案，只有政府实施宏观调控，从各个层次，包括水源来源，用水结构调整做出想用整改，这样，可以有效的实现水资源优化配置，从而能更好地实现北京市又好又快的发展。

六、参考文献

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