3.设R是从X到Y的一个关系,则
R（A∩B）=R（A）∩R（B）.（）
4.给定函数f:
X→Y,则关系f−1:
Y→X.（）
5.给定X={1,2,3},则X上的关系R={（1,2）,（2,3）,（3,1）,（2,1）}是从X到X的一个函数.（）
6.考虑整数集Z上的模5等价关系,则商集[9]=[134].（）
7.有理数集是可数集,无理数集的基数为ℵ.（）
8.设R⊂X×Y,则称R是从X到Y的一个____________.
9.设X上的一个关系R.若△（X）⊂R,其涵义为____________,则称关系R是________________的;若R=R−1,其涵义为_______________,则称关系R是_____________的;若R◦R⊂R,其涵义为,则称关系R是_______________的.满足以上三个条件的关系称为______________.
关系.
等价关系,
商集,
自然映射.
可数集,
ℵ0.
1.设X上关系R是自反的.试证:
R是等价关系当且仅当
（a,b）∈R,（a,c）∈R⇒（b,c）∈R.
2.设X,Y是集合,f:
X→Y.试证:
R={（x1,x2）∈X×X;f（x1）=f（x2）}是X上的等价关系,而且
f˜:
X/R→Y
[x]→f（x）
是良定义的（well-defined）,且是单射.
3.设A⊂B⊂C,且cardA=cardC.试证:
cardA=cardB=cardC.（提示:
利用Cantor-Bernstein定理.）
4.设f:
X→Y,A,B⊂Y.试证:
f−1（A∪B）=f−1（A）∪f−1（B）.
5.设f:
X→Y,A⊂X,B⊂Y,试证:
B∩f（A）=f（f−1（B）∩A）.
6.设f:
X→Y,试证:
f−1（f（A））⊃A;
f−1（f（A））=A⇔f（A）∩f（X\A）=∅.
第2章拓扑空间与连续映射
1.设X={0,1,2},下面不是X上的拓扑的集族是（）.
A.{∅,{1},{1,2},X}
B.{∅,{0},X}
C.{∅,{0,1},{0,2},{2},X}
D.{∅,{0},{1,2},X}
2.设X是拓扑空间,A⊂B⊂X,下面不正确的命题是（）
A.d（A）⊂d（B）
B.Ao⊂Bo
C.Ac⊂Bc
D.A−⊂B−
3.设X是拓扑空间,下面不正确的命题是（）
A.∅−=∅
B.X−=X
C.（A∩B）−=A−∩B−
D.（A∪B）−=A−∪B−
4.设X={a,b},T={∅,{a},X},则
d（{a}）=（）,{a}−=（）,{a}o=（）.
A.∅B.XC.{a}D.{b}
5.设X={a,b,c,d},
T={∅,{a},{b,c,d},X},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）.
A.1B.2C.3D.4
6.设X={a,b,c,d},T={∅,{a},{b,c,d},X},
点b的开邻域个数为（）.
A.1B.2C.3D.4
7.设（X,T）是拓扑空间,A⊂X,则Ao是包含于A的（）开集.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
8.设（X,T）是拓扑空间,A⊂X,则A−是包含A的（）闭集.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
9.设X是一个拓扑空间,A,B⊂X,则下列关系中错误的是（）
A.d（A∪B）=d（A）∪d（B）
B.
C.d（A∩B）=d（A）∩d（B）
D.
10.离散空间的任一子集是（）
A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭
11.在实数空间R中,下列集合是开集的是（）
A.整数集ZB.有理数集QC.无理数集D.整数集的补集Zc
12.设（X,ρ）是拓扑空间,x∈X,A⊂X,则ρ（x,A）=0⇔x∈（）,
ρ（x,Ac）=0⇔x∈（）,ρ（x,A）=ρ（x,Ac）=0⇔x∈（）,
ρ（x,Ac）>0⇔x∈（）.
A.AoB.A−C.∂AD.Aoc
13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.（）
14.设T1,T2都是X上的拓扑,则T1∪T2也是X上的拓扑.（）（花写T）
15.在拓扑空间（X,T）中,若A⊂X,则d（A）是闭集.（）
16.在实数下限拓扑空间Rl中,[0,∞）是开集.（）
17.设B是拓扑空间（X,T）的一个基,B⊂B˜⊂T,则B˜也是该拓扑空间的一个基.（）
18.设S是拓扑空间（X,T）的一个子基,S⊂S˜⊂T,则S˜也是该拓扑空间的一个子基.（）
19.在拓扑空间（X,T）中,设x∈X,A⊂X,则x0∈d（A）蕴含
存在A\{x0}中的序列{xn}收敛于x0.（）
20.在度量空间（X,T）中,设x0∈X,A⊂X,则x0∈d（A）等价于存在A\{x0}中的序列{xn}收敛于x0.（）
21.设A是离散空间X的子集,则
Ao=______________,A−=_______________.
22.设X是拓扑空间,A⊂X,x∈X,如果_____________,则称x是A的凝聚点.
23.在实数空间R中,区间[0,1）的内部是______,Q的内部是_________,Q的导集是______,Q的闭包是______,Q的边界是_____________.
24点集拓扑的中心任务是研究______________.
25.设X是拓扑空间,如果_____________________,则称U⊂X是点x∈X的一个邻域.
度量空间
拓扑空间
邻域
凝聚点,导集
内点,内部
边界点,边界
基,子基
同胚映射
1.设（X,ρ）是度量空间,试证:
|ρ（x,y）−ρ（x,z）|≤ρ（y,z）,∀x,y,z∈X.
2.设（X,ρ）是度量空间,
试证:
（X,ρ1）,（X,ρ2）均是度量空间.
3.设
是X上的一列度量,试证:
也是X上的度量.
4.设X={a,b,c},
T1={∅,{a},{a,b},{a,c},X},
T2={∅,{b},{a,b},{b,c},X}.
试证:
T1,T2都是X上的拓扑,但T1∪T2却不是X上的拓扑.
5.设X={a,b,c},T={∅,{a},{b,c},X}.试证:
（X,T）是一个拓扑空间;再设A={b},试求d（A）,并判断它是否为闭集.
6.设X是度量空间,A⊂X,试证:
d（A）是闭集
7.设X是有限补拓扑空间,A⊂X,试证:
8.设X是拓扑空间,A⊂X,试证:
Ao−o−=Ao−.
证明:
Ao−⊃Ao−o⇒Ao−⊃Ao−o−,
Ao⊂Ao−⇒Ao=Aoo⊂Ao−o
⇒Ao−⊂Ao−o−
9.设（X,TX）,（Y,TY）是两个拓扑空间,f:
X→Y.试证以下条件等价:
1.f连续;
2.∃Y的基BY,B∈BY⇒f−1（B）∈TX;
3.∃Y的子基SY,S∈SY⇒f−1（S）∈TX;
4.∀x∈X,U∈Uf（x）⇒f−1（U）∈Ux;
5.∀x∈X,∃f（x）的邻域基Vf（x）,V∈Vf（x）⇒f−1（V）∈Ux;
6.∀x∈X,∃f（x）的邻域子基Wf（x）,∀W∈Wf（x）
⇒f−1（W）∈Ux.
第3章子空间,积空间,商空间
1.设X={1,2,3},T={∅,X,{1,2},{1,3},{1},{2}},A={2,3},
则X的子空间A的拓扑是_________________.
2.相对拓扑是使得内射连续的（）的拓扑.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
3.积拓扑是使积空间到每个坐标空间的自然投射都连续的（）的拓扑.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
4.设X=X1×···×Xn是拓扑空间X1,···,Xn的拓扑积空间,则下列哪个性质不是投射pi:
X→Xi的性质（）
A.pi是满射B.pi是连续映射C.pi是闭映射D.pi是开映射
5.设X1,X2是两个拓扑空间,X1×X2是它们的积空间,A⊂X,B⊂Y.则下列命题错误的是（）
A.
B.∂（A×B）=（∂A×B¯）∪（A¯×∂B）
C.∂（A×B）=∂A×∂B
D.（A×B）o=Ao×Bo
6.设（X,T）为拓扑空间,f:
X→Y,则Y上的商拓扑是使得f连续的（）的拓扑.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
7.离散空间的商空间一定是（）,平庸空间的商空间一定是（）.
A.离散空间B.平庸空间C.既不是离散空间,也不是平庸空间D.以上都不对
8.设[0,1]是实数空间R的子空间,则（0,1/2]是[0,1]中的开集.（）
9.设[0,1）是实数空间R的子空间,则[0,1/2）是[0,1）中的开集.（）
10.设[0,1）是实数下限拓扑空间Rl的子空间,则[1/2,1）是[0,1）中的开集.（）
11.开映射的复合还是开映射.（）
12.闭映射的复合还是开映射.（）
13.商映射的复合还是商映射.（）
14.设X,Y是两个拓扑空间,f:
X→Y是商映射,则f是满射.（）
15.设X,Y是两个拓扑空间,f:
X→Y是单射,且是商映射
则f是同胚.（）
16.设Y是拓扑空间X的一个开（闭）子集,则Y作为X的子空间时称为X的开（闭）子空间.试证:
1.如果Y是拓扑空间X的一个开子空间,则A⊂Y是Y中的开集⇔A是X中的开集.
2.如果Y是拓扑空间X的一个闭子空间,则A⊂Y是Y中的闭集⇔A是X中的闭集.
第4章连通性
1.设X是拓扑空间,则X中的单点子集是X的通连子集.（）
2.设X是连通空间,Y⊂X,则Y是X的连通子集.（）
3，设X是不连通空间,Y⊂X,则Y是X的,不连通子集.（）
4.设Y是R的连通子集,则Y是区间.（）
5.设I是R的区间,则Y是R的连通子集.（）
7.设X,Y是拓扑空间,X是局部连通空间,f:
X→Y连续,则f（X）也是局部连通空间.（）
8.设X是一拓扑空间,C为其一连通分支,若X的连通子集Y适合
Y¯∩C≠∅,则Y⊂C.（）
注记：
书上的定理是这么说的:
设X是一拓扑空间,C为其一连通分支,若X的连通子集Y适合Y∩C≠∅,则Y⊂C.（狗的嘴里叼着肉就能全部吃掉它）
现在的情形是:
如果把肉放到狗嘴边,那么狗能否吃到肉呢
注记：
这是连通分支的“吸星大法”的增强形式.
9.设X是一拓扑空间,C为其一道路连通分支,若X的道路连通子集Y适合Y∩C≠∅,则Y⊂C.（）
注记.这是道路连通分支的“吸星大法”.
10.设O是Rn的开集,则O是连通的⇔O是道路连通的.（）
11.设A⊂R,则A是连通的⇔A是道路连通的.（）
12.设O是Rn的开集,则O的道路连通分支是它的一个连通分支.（）
13.拓扑空间的连通分支可以是闭集,也可以是开集.（）
提示：
考虑有理数集Q的连通分支.
14.拓扑空间的道路连通分支是闭集.（）
提示：
考虑拓扑学家的正弦曲线.
15.拓扑空间的连通分支的闭包是连通的.（）
16.拓扑空间的道路连通分支的闭包也是道路连通的.（）
提示：
考虑拓扑学家的曲线.
1.多于一个点的离散空间是___________的.
2.平庸空间是____________的.
3.设X={a,b,c},T1={∅,{a},{b,c},X},T2={∅,{a},X},则拓扑空间（X,T1）是______________的,拓扑空间（X,T2）是_________________的.（选填:
连通,不连通）.
是______的;Q作为R的子空间是______的;R\Q作为R的子空间是_______________的;{代数数}作为R的子空间是_____________的;{超越数}作为R的子空间是______________的;Z作为R的子空间是___________的.（选填:
连通,不连通）.
\{0}是________空间,R2\{0}是________空间.（选填:
连通,不连通）.
6.考虑拓扑学家的正弦曲线（thetopologist’ssinecurve）
S={（x,sinx/1）;0S∪A是______________的.（选填:
连通,不连通）.
证明:
这是连通的.由
sin1/x=y∈[−1,1]⇒1/x=arcsiny+2kπ
⇒x=1/（arcsiny+2kπ）
知
S∋（1/（arcsiny+2kπ）,y）→（0,y）（k→∞）.
于是S¯=S∪{0}×[−1,1].按照如下结论:
X为拓扑空间,Y为X的连通子集,Y⊂Z⊂Y,¯则Z连通即知结论成立.
连通性,局部连通性和道路连通性的区别和联系:
1.连通未必局部连通,比如拓扑学家的曲线.
2.连通未必道路连通空间,比如拓扑学家的曲线.
3.局部连通未必连通,比如R的子空间（0,1）∪（1,2）;多于一个点的离散空间.
4.局部连通未必道路连通,比如多于一个点的离散空间.
5.道路连通一定连通.
6.道路连通未必局部连通,比如
X={（x,y）∈R2;0≤x≤1,y=
n=1,2,···或y=0}.
连通性,局部连通性和道路连通性是否为可遗传的性质（拓扑空间X具
有,则X的子空间也具有）,是否为对闭子空间可遗传的性质（拓扑空间X具
有,则X的闭子空间也具有）,是否为对开子空间可遗传的性质（拓扑空间X
具有,则X的开子空间也具有）:
1.连通性不是可遗传的性质.比如R连通,但R的开子空间（0,1）∪（1,2）不连通;R的闭子空间Q不连通.
2.局部连通是是对开子空间可遗传的性质,即若X为局部连通空间,Y是
X的开子空间,则Y也是局部连通空间.
3.道路连通空间不是可遗传的性质.比如R连通,但R的开子空间
（0,1）∪（1,2）不连通;R的闭子空间Q不连通.
1.设X是一拓扑空间,A,B在X中隔离,A1⊂A,B1⊂B,试证:
A1,B1在X中隔离.
2.设X是一拓扑空间,x,y∈X是连通的,E是X的一个既开又闭的子集,试证:
x,y∈E或者x,y
E.
3.设X,Y是拓扑空间,f:
X→Y连续,f（X）⊂Z⊂Y,试证:
f˜:
X→Z
x→f（x）
也连续.
注记.本题在书上第140页证明定理时引用过.
4.考虑实数空间R的两个子空间
X={0,1,2,3,···},Y={0,1,1/2,1/3,···}
及f:
X→Y定义为
f（0）=0,f（n）=1/n（n=1,2,3,···）.
试证:
1.X是离散空间;
2.X是局部连通空间;
3.f是连续的一一映射;
4.Y不是局部连通空间.
本题说明局部连通性不是在连续映射下保持不变的性质.
5.（书Page147第5题）.设X是拓扑空间,若
∀x∈X,∀U∈Ux,∃道路连通V∈Ux,.x∈V⊂U,
则称X是一局部道路连通空间.再设Y⊂X,若Y在相对拓扑下是局部道路
连通的,则称Y是X的局部道路连通子集.
1.局部道路连通空间是局部连通空间.
2.局部道路连通性是在开的连续映射下保持不变的性质.
3.局部道路连通性是有限可积性质.
4.设O是局部道路连通空间X的开集,则
O是X的连通子集⇔O是X的道路连通子集.
第5章有关可数性的公理
1.设（X,ρ）是度量空间,D是X的一个可数稠密子集,则{B（d,r）;
d∈D,02.设X是Lindelöff空间,Y是X的闭子空间,则Y也是Lindelöff的.（）
3.设X是拓扑空间,A是X不可数的Lindelöff子空间,则A∩d（A）≠∅.（）
1.Rn的子空间_____________是A2空间.
2.A2空间_____________是A1空间.
3.A2空间________________是可分的.
4.可分的度量空间__________是A2空间.
5.A2空间的子空间____________可分
6.可分度量空间的子空间____________可分.（以上选填:
一定,未必）
7.设X是拓扑空间,D⊂X,若D−=X,则称D是X的______________子集;若D是可数集,则称X是__________________的.
8.在实数空间R中,Q的闭包是__________.
9..设（X,T）是拓扑空间,∞
X,令X∗=X∪{∞},T∗={A∪{∞};A∈T}∪{∅}.则在X∗中,{∞}−=______________.
10.设A是一集族,B是一集.若∪A∈AA⊃B,则称A是B的一个_________;当A是可数族时,称A是B的_______________;当A是有限族时,称A是B的__________;若∃A1⊂A,.∪A∈A1A⊃B,则称A1是A的____________.
在拓扑空间X中,若A是X的子集族,B⊂X,则称A是B的__________.
11.设X是拓扑空间,它的每个开覆盖都有一个_______,则称X为Lindelöff空间.
空间________是Lindelöff的;Lindelöff空间______________是A2的,但Lindelöff的度量空间_____________是A2的.（选填:
一定,未必）
13.设X是A1空间,给定x∈X及x处的一个可数邻域基
.
1）.试构造出x处的一个递减可数邻域基
.
2）.任取
试证:
.
14.试给出度量空间（X,d）在x∈X处的一个可数邻域基.
15.试给出R的一个可数基.
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