点集拓扑作业.docx

1、点集拓扑作业第1章 朴素集合论1.设 f : X Y , A, B Y , 则下面不正确的命题是 ( ).A. A = f(f1(A)B. f1(A B) = f1(A) f1(B)C. f1(AB) = f1(A)f1(B)D. f1(A B) = f1(A) f1(B)2.对任意集合 X, Y, Z, 下面命题正确是 ( ).A. card X card Y X YB. X Y card X card YC. X Y card X card YD. X Y card X 0 x ( ).A. Ao B. A C. A D. Aoc13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.( )14.设 T1,

2、T2 都是 X 上的拓扑, 则 T1 T2 也是 X 上的拓扑. ( )（花写T）15.在拓扑空间 (X, T ) 中, 若 A X, 则 d(A)是闭集. ( )16.在实数下限拓扑空间 Rl 中, 0, ) 是开集.( )17.设 B 是拓扑空间 (X, T ) 的一个基,B B T , 则 B 也是该拓扑空间的一个基. ( )18.设 S 是拓扑空间 (X, T ) 的一个子基,S S T , 则 S 也是该拓扑空间的一个子基. ( )19.在拓扑空间 (X, T ) 中, 设 x X, A X,则 x0 d(A) 蕴含存在 A x0 中的序列 xn收敛于 x0. ( )20.在度量空间

3、 (X, T ) 中, 设 x0 X, A X,则 x0 d(A) 等价于存在 A x0 中的序列 xn收敛于 x0. ( )21.设 A 是离散空间 X 的子集, 则Ao =_ , A =_ .22.设 X 是拓扑空间, A X, x X, 如果_ , 则称 x 是 A 的凝聚点.23.在实数空间 R 中, 区间 0, 1) 的内部是_ , Q 的内部是_ , Q的导集是_ , Q 的闭包是 _, Q 的边界是_ .24点集拓扑的中心任务是研究_ .25.设 X 是拓扑空间, 如果_ , 则称U X 是点 x X 的一个邻域.度量空间拓扑空间邻域凝聚点, 导集内点, 内部边界点, 边界基,

4、子基同胚映射1.设 (X, ) 是度量空间, 试证:|(x, y) (x, z)| (y, z), x, y, z X.2.设 (X, ) 是度量空间, , 试证: (X, 1), (X, 2) 均是度量空间.3.设 是 X 上的一列度量, 试证: , 也是 X 上的度量.4.设 X = a, b, c,T1 = , a , a, b , a, c , X ,T2 = , b , a, b , b, c , X .试证: T1, T2 都是 X 上的拓扑, 但 T1 T2 却不是 X 上的拓扑.5.设X = a, b, c , T = , a , b, c , X .试证: (X, T ) 是

5、一个拓扑空间; 再设 A = b, 试求 d(A), 并判断它是否为闭集.6.设 X 是度量空间, A X, 试证: d(A) 是闭集7.设 X 是有限补拓扑空间, A X, 试证: 8.设 X 是拓扑空间, A X, 试证:Aoo = Ao.证明:Ao Aoo Ao Aoo,Ao Ao Ao = Aoo Aoo Ao Aoo9.设 (X, TX), (Y, TY) 是两个拓扑空间,f : X Y . 试证以下条件等价:1 . f 连续;2 . Y 的基 BY , B BY f1(B) TX;3 . Y 的子基 SY , S SY f1(S) TX;4 . x X, U Uf(x) f1(U)

6、 Ux;5 . x X, f(x) 的邻域基 Vf(x),V Vf(x) f1(V ) Ux;6 . x X, f(x) 的邻域子基 Wf(x), W Wf(x) f1(W) Ux.第3 章 子空间, 积空间, 商空间1.设 X = 1, 2, 3,T = , X, 1, 2 , 1, 3 , 1 , 2, A = 2, 3,则 X 的子空间 A 的拓扑是_ .2.相对拓扑是使得内射连续的 ( ) 的拓扑.A. 最小 B. 最大 C. 既不是最大也不是最小 D. 以上都不对3.积拓扑是使积空间到每个坐标空间的自然投射都连续的 ( ) 的拓扑.A. 最小 B. 最大 C. 既不是最大也不是最小

7、D. 以上都不对4.设 X = X1 Xn 是拓扑空间X1, , Xn 的拓扑积空间, 则下列哪个性质不是投射 pi : X Xi 的性质 ( )A. pi 是满射 B. pi 是连续映射 C. pi 是闭映射 D. pi 是开映射5.设 X1, X2 是两个拓扑空间, X1 X2 是它们的积空间, A X, B Y . 则下列命题错误的是( )A. B. (A B) = (A B ) (A B)C. (A B) = A BD. (A B)o = Ao Bo6.设 (X, T ) 为拓扑空间, f : X Y , 则 Y 上的商拓扑是使得 f 连续的 ( ) 的拓扑.A. 最小 B. 最大 C

8、. 既不是最大也不是最小 D. 以上都不对7.离散空间的商空间一定是 ( ), 平庸空间的商空间一定是 ( ).A. 离散空间B. 平庸空间C. 既不是离散空间, 也不是平庸空间D. 以上都不对8.设 0, 1 是实数空间 R 的子空间, 则 (0, 1/2是 0, 1 中的开集. ( )9.设 0, 1) 是实数空间 R 的子空间, 则 0, 1/2)是 0, 1) 中的开集. ( )10.设 0, 1) 是实数下限拓扑空间 Rl 的子空间,则 1/2, 1) 是 0, 1) 中的开集. ( )11.开映射的复合还是开映射. ( )12.闭映射的复合还是开映射. ( )13.商映射的复合还是

9、商映射. ( )14.设 X, Y 是两个拓扑空间, f : X Y 是商映射, 则 f 是满射. ( )15.设 X, Y 是两个拓扑空间, f : X Y 是单射, 且是商映射则 f 是同胚. ( )16.设 Y 是拓扑空间 X 的一个开 (闭) 子集, 则Y 作为 X 的子空间时称为 X 的开 (闭) 子空间.试证:1. 如果 Y 是拓扑空间 X 的一个开子空间, 则A Y 是 Y 中的开集 A 是 X 中的开集.2. 如果 Y 是拓扑空间 X 的一个闭子空间, 则A Y 是 Y 中的闭集 A 是 X 中的闭集.第4章 连通性1.设 X 是拓扑空间, 则 X 中的单点子集是 X的通连子集

10、. ( )2.设 X 是连通空间, Y X, 则 Y 是 X 的连通子集. ( )3，设 X 是不连通空间, Y X, 则 Y 是 X 的,不连通子集. ( )4.设 Y 是 R 的连通子集, 则 Y 是区间. ( )5.设 I 是 R 的区间, 则 Y 是 R 的连通子集.( )7.设 X, Y 是拓扑空间, X 是局部连通空间,f : X Y 连续, 则 f(X) 也是局部连通空间. ( )8.设 X 是一拓扑空间, C 为其一连通分支, 若 X 的连通子集 Y 适合Y C , 则 Y C. ( )注记：书上的定理是这么说的: 设 X 是一拓扑空间, C 为其一连通分支,若 X 的连通子集

11、 Y 适合 Y C , 则 Y C. (狗的嘴里叼着肉就能全部吃掉它)现在的情形是: 如果把肉放到狗嘴边, 那么狗能否吃到肉呢注记： 这是连通分支的 “吸星大法” 的增强形式.9.设 X 是一拓扑空间, C 为其一道路连通分支, 若 X 的道路连通子集 Y 适合 Y C ,则 Y C. ( )注记. 这是道路连通分支的 “吸星大法”. 10.设O 是 Rn 的开集, 则 O 是连通的 O 是道路连通的. ( )11.设 A R, 则 A 是连通的 A 是道路连通的. ( )12.设 O 是 Rn 的开集, 则 O 的道路连通分支是它的一个连通分支. ( )13.拓扑空间的连通分支可以是闭集,

12、也可以是开集. ( )提示：考虑有理数集 Q 的连通分支.14.拓扑空间的道路连通分支是闭集. ( )提示：考虑拓扑学家的正弦曲线.15.拓扑空间的连通分支的闭包是连通的. ( )16.拓扑空间的道路连通分支的闭包也是道路连通的. ( )提示：考虑拓扑学家的曲线.1 . 多于一个点的离散空间是_ 的.2 . 平庸空间是_ 的.3 . 设 X = a, b, c, T1 = , a , b, c , X,T2 = , a , X, 则拓扑空间 (X, T1)是_ 的, 拓扑空间 (X, T2)是_ 的.(选填: 连通, 不连通). 是_ 的; Q 作为 R 的子空间是_ 的; RQ 作为 R 的

13、子空间是 _的; 代数数 作为 R 的子空间是_ 的; 超越数 作为 R 的子空间是_ 的; Z 作为 R 的子空间是_ 的. (选填: 连通, 不连通). 0 是_ 空间, R2 0是 _空间. (选填: 连通, 不连通).6.考虑拓扑学家的正弦曲线 (the topologistssine curve)S = (x,sin x /1) ; 0 x 1则对 A 0 1, 1,S A 是_ 的.(选填: 连通, 不连通).证明:这是连通的. 由sin 1/x= y 1, 1 1/x= arcsin y + 2k x = 1/(arcsin y + 2k)知S (1/( arcsin y + 2

14、k) , y) (0, y) (k ) .于是 S = S 0 1, 1. 按照如下结论:X 为拓扑空间, Y 为X 的连通子集, Y Z Y , 则Z 连通即知结论成立.连通性, 局部连通性和道路连通性的区别和联系:1 . 连通未必局部连通, 比如拓扑学家的曲线.2 . 连通未必道路连通空间, 比如拓扑学家的曲线.3 . 局部连通未必连通, 比如 R 的子空间 (0,1) (1,2); 多于一个点的离散空间.4 . 局部连通未必道路连通, 比如多于一个点的离散空间.5 . 道路连通一定连通.6 . 道路连通未必局部连通, 比如X = (x, y) R2; 0 x 1, y = , n = 1

15、,2, 或y = 0 .连通性, 局部连通性和道路连通性是否为可遗传的性质 (拓扑空间 X 具有, 则 X 的子空间也具有), 是否为对闭子空间可遗传的性质 (拓扑空间 X 具有, 则 X 的闭子空间也具有), 是否为对开子空间可遗传的性质 (拓扑空间 X具有, 则 X 的开子空间也具有):1 . 连通性不是可遗传的性质. 比如 R 连通, 但 R 的开子空间 (0,1) (1,2)不连通; R 的闭子空间 Q 不连通.2 . 局部连通是是对开子空间可遗传的性质, 即若 X 为局部连通空间, Y 是X 的开子空间, 则 Y 也是局部连通空间.3 . 道路连通空间不是可遗传的性质. 比如 R 连

16、通, 但 R 的开子空间(0,1) (1,2) 不连通; R 的闭子空间 Q 不连通.1.设 X 是一拓扑空间, A, B 在 X 中隔离,A1 A, B1 B, 试证: A1, B1 在 X 中隔离.2.设 X 是一拓扑空间, x, y X 是连通的, E是 X 的一个既开又闭的子集, 试证: x, y E 或者 x, y E.3.设 X, Y 是拓扑空间, f : X Y 连续,f(X) Z Y , 试证:f : X Z x f(x)也连续.注记. 本题在书上第 140 页证明定理 时引用过.4.考虑实数空间 R 的两个子空间X = 0, 1, 2, 3, , Y = 0, 1, 1 /2

17、, 1/ 3, 及 f : X Y 定义为f(0) = 0, f(n) = 1/n(n = 1, 2, 3, ).试证:1 . X 是离散空间;2 . X 是局部连通空间;3 . f 是连续的一一映射;4 . Y 不是局部连通空间.本题说明局部连通性不是在连续映射下保持不变的性质.5.(书 Page 147 第 5 题). 设 X 是拓扑空间, 若 x X, U Ux, 道路连通V Ux, . x V U,则称 X 是一局部道路连通空间. 再设 Y X, 若 Y 在相对拓扑下是局部道路连通的, 则称 Y 是 X 的局部道路连通子集.1 . 局部道路连通空间是局部连通空间.2 . 局部道路连通性

18、是在开的连续映射下保持不变的性质.3 . 局部道路连通性是有限可积性质.4 . 设 O 是局部道路连通空间 X 的开集, 则O 是X 的连通子集 O 是X 的道路连通子集.第5 章 有关可数性的公理1.设 (X, ) 是度量空间, D 是 X 的一个可数稠密子集, 则 B(d, r); d D,0 r Q 是 X的一个可数基. ( )2.设 X 是 Lindelff 空间, Y 是 X 的闭子空间, 则 Y 也是 Lindelff 的. ( )3.设 X 是拓扑空间, A 是 X 不可数的Lindelff 子空间, 则 A d(A) . ( )1 . Rn 的子空间 _是A2 空间.2 . A

19、2 空间_ 是 A1 空间.3 . A2 空间_ 是可分的.4 . 可分的度量空间_ 是 A2 空间.5 . A2 空间的子空间_ 可分6 . 可分度量空间的子空间_ 可分.(以上选填: 一定, 未必)7.设 X 是拓扑空间, D X, 若 D = X, 则称 D 是 X 的_ 子集; 若 D 是可数集, 则称 X 是_ 的.8. 在实数空间 R 中, Q 的闭包是_ .9. 设 (X, T ) 是拓扑空间, X, 令X = X , T = A ; A T .则在 X 中, = _.10.设 A 是一集族, B 是一集. 若 AA A B,则称 A 是 B 的一个_ ; 当 A 是可数族时,

20、称 A 是 B 的_ ; 当 A 是有限族时, 称 A 是 B 的_ ; 若 A1 A , . AA1 A B, 则称 A1 是 A的_ .在拓扑空间 X 中, 若 A 是 X 的子集族,B X, 则称 A 是 B 的_ .11.设 X 是拓扑空间, 它的每个开覆盖都有一个_ , 则称 X 为 Lindelff 空间. 空间_ 是 Lindelff 的;Lindelff 空间_ 是 A2 的, 但Lindelff 的度量空间_ 是 A2 的.(选填: 一定, 未必)13.设 X 是 A1 空间, 给定 x X 及 x 处的一个可数邻域基 .1) . 试构造出 x 处的一个递减可数邻域基.2 ). 任取, 试证: .14 . 试给出度量空间 (X, d) 在 x X 处的一个可数邻域基.15 . 试给出 R 的一个可数基.