小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答.docx

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小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

一、填空题

1．三个连续偶数，中间这个数是m，那么相邻两个数分别是___m-2____和___m+2___。

2．有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。

解题过程：

2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、……966

3．小丽发现：

小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。

解题过程：

144=2×2×2×2×3×3；〔9、16〕=1

4．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。

5．2310的所有约数的和是__6912____。

解题过程：

2310=2×3×5×7×11；约数和=〔1+2〕×〔1+3〕×〔1+5〕×〔1+7〕×〔1+11〕

6．2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。

解题过程：

2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=〔1+1〕×〔1+3〕×〔1+1〕=16〔个〕

其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11〔个〕

7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？

__1000__。

解题过程：

1，5，9，13，……1997〔500个〕隔1个取1个，共取250个

2，6，10，14，……1998〔500个〕隔1个取1个，共取250个

3，7，11，15，……1999〔500个〕隔1个取1个，共取250个

4，8，12，16，……1996〔499个〕隔1个取1个，共取250个

8．黑板上写有从1开始的假设干个连续的奇数：

1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是____27____。

解题过程：

1+3+5+……+〔2n-1〕=n2；45×45=2025；2025-1998=27

9．一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。

它除以13，商的第200位〔从左往右数〕数字是_____5____，商的个位数字是_____6____，余数是____5_____。

解题过程：

33333333……3÷13=256410256410……

10．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有____18____个。

解题过程：

能被11整除的条件是：

奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数；

1位数不满足条件；2位数也不满足条件〔各位数字应相等，数字和不等于13〕；

应为3或4位数；13=12+1；偶数位数字和=1，奇数位数字和=12时，共有14个；

偶数位数字和=12，奇数位数字和=1时，共有4个；14+4=18〔个〕

11．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数〔例如：

123的反序数是321〕，那么n＝___1089___。

解题过程：

千位只能是1；个位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，那么十位必须为0，

但所得数1109不满足题意；如百位是0，那么十位必须为8，得数1089满足题意

12．555555的约数中，最大的三位数是___555____。

解题过程：

555555=3×5×11×37×91；3×5×37=555

13．设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有____17____种不同的值。

解题过程：

72=2×2×2×3×3；a=72，b=〔1+3〕×〔1+2〕-1=12-1=11；a=36，b=8或24；

a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=17

14．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，13。

如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有____21____个。

解题过程：

6×1，2，3，……13共13个；

12×7，8，9，……13=6×14，16，18，……26共7个；

9×10=6×15共1个；13+7+1=21〔个〕

15．一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。

那么这列数左起第1992个数除以5的余数是____2_____。

解题过程：

a2-a1=1；a3-a2=2；……an-1-an-2=n-2；an-an-1=n-1；

an-a1=1+2+3+……+n-1=n〔n-1〕/2；an=n〔n-1〕/2+1；

a1992=1992×〔1992-1〕/2+1=996×1991+1=〔995+1〕×〔1990+1〕+1

16．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，那么这两个数的差是_20或40_。

解题过程：

〔a、b〕=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=35

17．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是____121___。

解题过程：

和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11的倍数，即11的平方。

18．100以内所有被5除余1的自然数的和是____970___。

解题过程：

1+6+11+16+……91+96=〔1+96〕×20÷2=970

19．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多_____4____个。

解题过程：

9个连续的自然数，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数．于是质数只可能在这5个连续的奇数中，所以质数个数不能超过4

20．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数〞，那么，1000以内最大的“希望数〞是___961____。

解题过程：

自然数的因数都是成对出现的，比方1和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。

1000以内最大的完全平方数是312=961，所以这个希望数是961

21．两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。

这两个数的和是__105或147__。

解题过程：

126=21×2×3；这两个数是42和63，或21和126

22．甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是____32____。

解题过程：

4|364×8=32

36÷4=9288÷4÷9=8

23．一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是___560____。

解题过程：

2×5×7=70；70×2，3，4，……13，14=140，210，280，……910，980

24．有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是____30____。

解题过程：

最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4个数和为11，分别为1、2、3、5

25．两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是____30____。

解题过程：

设除数是X，那么12X+26+X+12+26=454；X=30

26．在1×2×3×…×100的积的尾部有____21___个连续的零。

解题过程：

尾数为5的共10个，尾数1个0的9个，2个0的1个，共21个0

27．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成一个四位数〔例如1409〕，把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数字是____9_____。

解题过程：

1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170……

1479、1497、1749、1794……

28．一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。

甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，那么甲乙两数的千位数字和个位数字〔共四个数字〕的总和是____18____。

解题过程：

求?

36?

中能被3整除的偶数；甲为9366，乙为1362；9+6+1+2=18

29．把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：

1、2、3、…、9、10、11、12、…，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：

1、2、…、9、1、0、1、1、1、2、1、3、…。

那么第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第____192___个数。

解题过程：

1-9〔共9个〕，10-99〔共180个〕，100〔共3个〕

30．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有_____1____个满足上述条件的质数。

解题过程：

除2和5以外，其它质数的个位都是1，3，7，9；

6，8，12，14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2；

14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5，一定能被5整除；12加上任何尾数是3的质数，尾数也是5；8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5；6加上任何尾数是9的质数，尾数也是5；

所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9；

只有5符合

31．a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300。

那么满足上述条件的自然数a、b、c共有____30____组。

〔例如a＝12，b＝300，c＝300，与a＝300，b＝12，c＝300是不同的两个自然数组〕

解题过程：

∵〔a，b〕=12，∴a=12m，b=12n〔m，n=1或5或25，且〔m，n〕=1〕；

∵[a，c]=300，[b，c]=300，∴c=25k〔k=1，2，3，4，6，12〕；

当m=1，n=1时，a=12，b=12，c=25k

当m=1，n=5时，a=12，b=60，c=25k

当m=1，n=25时，a=12，b=300，c=25k

当m=5，n=1时，a=60，b=12，c=25k

当m=25，n=1时，a=300，b=12，c=25k

故有30组

32．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。

从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。

那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是___1331___。

解题过程：

11×11×11=1331

33．在1，9，8，9后面写一串这样的数字：

先计算原来这4个数的后两个之和8＋9＝17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9＋7＝16；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7＋6＝13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3。

继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是___1990___。

解题过程：

1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，……

398-2=396；396÷12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×33+10=1990

二、判断题

1．两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。

〔√〕

2．偶数的个位一定是0、2、4、6或8。

〔√〕

3．奇数的个位一定是1、3、5、7或9。

〔√〕

4．所有的正偶数均为合数。

〔×〕

5．奇数与奇数的和或差是偶数。

〔√〕

6．偶数与奇数的和或差是奇数。

〔√〕

7．奇数与奇数的积是奇数。

〔√〕

8．奇数与偶数的积是偶数。

〔√〕

9．任何偶数的平方都能被4整除。

〔√〕

10．任何奇数的平方被8除都余1。

〔√〕

11．相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。

〔√〕

12．任何一个自然数，不是质数就是合数。

〔×〕

13．互质的两个数可以都不是质数。

〔√〕

14．如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。

〔√〕

三、计算题

1．能不能将〔1〕505；〔2〕1010写成10个连续自然数之和？

如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。

解题过程：

S=n+〔n+1〕+〔n+2〕+〔n+3〕+〔n+4〕+〔n+5〕+〔n+6〕+〔n+7〕+〔n+8〕+〔n+9〕

=10n+45〔一定是奇数〕

〔1〕505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54

〔2〕1010是偶数，不能写成10个连续自然数之和

2．〔1〕从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？

〔2〕从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？

解题过程：

〔1〕3998÷4=999〔个〕……2

〔2〕考虑个位，选法有10种;十位，选法有10种;百位选法有10种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个；1000-1=999〔个〕

3．请将1，2，3，…，99，100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质〔假设一行写不下，可移至第二行接着写，假设第二行仍写不下，可移至第三行接着写〕。

解题过程：

9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99

15，25，35，55，65，85，95

21，35，49，77，91

33，55，77，99

25，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，49

4．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。

求所有满足条件的自然数。

解题过程：

设这个数为n，除以9的余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13-8=5，且q≤13

n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8×〔13-r〕=9×〔p+r〕-104=4

q=5，n=8×5+4=44

q=6，n=8×6+4=52

q=7，n=8×7+4=60

q=8，n=8×8+4=68

q=9，n=8×9+4=76

q=10，n=8×10+4=84

q=11，n=8×11+4=92

q=12，n=8×12+4=100

q=13，n=8×13+4=108

5．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。

相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。

老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。

然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。

六名同学交上来的答案分别为：

92、125、133、147、158、191。

老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。

问：

四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？

解题过程：

设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D，那么六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次为C+D、B+D。

〔A+B〕+〔C+D〕=〔A+C〕+〔B+D〕=〔A+D〕+〔B+C〕；

而92+191=283=125+158，133+147=280≠283；

所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一个不正确。

假设147是正确的，那么B+C=147，A+D=283-147=136。

C-B=〔A+C〕-〔A+B〕=125-92=33==>C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101

假设133是正确的，那么A+D=133，B+C=283-133=150。

C-B=〔A+C〕-〔A+B〕=125-92=33==>B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108

所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42。

6．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。

〔说明理由〕

解题过程：

设这三个数字从小到大分别为A、B、C，显然，它们互不相等且都不等于0。

那么222×〔A+B+C〕=2886==>A+B+C=2886÷222=13

百位数为1是最小的，另两个数分别为3和9；所以最小的三位数为139

7．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。

解题过程：

1001＝7×11×13

1＋2＋…＋1000=〔1＋1000〕×1000÷2＝500500

7＋14＋21＋…＋994＝〔7＋994〕×142÷2＝71071

11＋22＋…＋990＝〔11＋990〕×90÷2＝45045

13＋26＋…＋988＝〔13＋988〕×76÷2＝38038

77+154+231+…+924=〔77+924〕×12÷2=6006

91+182+273+…+910=〔91+910〕×10÷2=5005

143+286+429+…+858=〔143+858〕×6÷2=3003

500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003＝360360

8．三张卡片，在它们上面各写一个数字〔如图〕。

从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。

请你将其中的质数都写出来。

解题过程：

2、3、13、23、31

9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：

头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……。

问：

这串数的前100个数是〔包括第100个数〕有多少个偶数？

解题过程：

100÷3=33〔个〕……1

10．从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。

解题过程：

5，17，29，41，53

11．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。

1号同学写了一个自然数，2号说：

“这个数能被2整除〞，3号说“这个数能被3整除〞，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：

〔1〕说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

〔2〕如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。

〔写出解题过程〕

解题过程：

（1）如果15号说的不对，那么这个数不能被15整除，那么它不能被3或者5之一整除，即3号或者5号说的不对，这与相邻编号两位同学说的不对矛盾！

故而这个数能被15整除，同时也能被3和5整除。

同理，如果14号不对，那么它不能被2或者7整除，矛盾。

即这个数能被14整除，也能被2和7整除；同理，如果12号不对，那么它不能被4整除，矛盾。

即这个数能被4和12整除。

那么这个数能被2*5=10整除。

将2到15中能被整除这个数的数划去，发现编号相邻的只有8和9，即8号和9号说的不对。

（2）1号写的数为N。

N能被2^2*3*5*7*11*13=60060整除，不能被2^3或者3^2整除；而又N是五位数，故N=60060。

12．一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a〔见短除式〔1〕〕。

又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，紧后得到一个商是a的2倍〔见短除式〔2〕〕，求这个自然数。

解题过程：

N=8×〔8×〔8a+7〕+1〕+1=17×〔17×2a+15〕+4==>a=3==>N=1993