小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答.docx

1、小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数，中间这个数是m，那么相邻两个数分别是_m-2_和_m+2_ _。2有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是_966_，最小的一个是_126_。解题过程：237=42；求三位数中42的倍数126、168、9663小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_9_岁和_16_岁。解题过程：144=222233；9、16=14一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字

2、2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是_1210_。52310的所有约数的和是_6912_。解题过程：2310=235711；约数和=1+21+31+51+71+1162008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有_11_个。解题过程：2008-10=1998；1998=23337；约数个数=1+11+31+1=16个其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11个7从1、2、3、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？_ 1000 _。解题过程：1，5，9，13，1997500个 隔1个取1个，共取2

3、50个 2，6，10，14，1998500个隔1个取1个，共取250个 3，7，11，15，1999500个隔1个取1个，共取250个 4，8，12，16，1996499个隔1个取1个，共取250个8黑板上写有从1开始的假设干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是_27_。解题过程：1+3+5+2n-1=n2；4545=2025；2025-1998=279一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以13，商的第200位从左往右数数字是_5_，商的个位数字是_6_，余数是_5_。解题过程：33333333313=

4、256410 25641010在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有_18_个。解题过程：能被11整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数； 1位数不满足条件；2位数也不满足条件各位数字应相等，数字和不等于13； 应为3或4位数；13=12+1；偶数位数字和=1，奇数位数字和=12时，共有14个； 偶数位数字和=12，奇数位数字和=1时，共有4个；14+4=18个11设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数例如：123的反序数是321，那么n_1089_。解题过程：千位只能是1；个位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，那么十位必须为0， 但所得数

5、1109不满足题意；如百位是0，那么十位必须为8，得数1089满足题意12555555的约数中，最大的三位数是_555_。解题过程：555555=35113791；3537=55513设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有_17_种不同的值。解题过程：72=22233；a=72，b=1+31+2-1=12-1=11；a=36，b=8或24； a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许

6、多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有_21_个。解题过程：61，2，3，13 共13个； 127，8，9，13=614，16，18，26 共7个；910=615 共1个； 13+7+1=21个15一列数1，2，4，7，11，16，22，29，这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是_2_。解题过程：a2-a1=1；a3-a2=2；an-1-an-2=n-2；an-an-1=n-1； an-a1=1+2+3+n-1=nn-1/2；an= nn-1/2+1； a1992=19921992

7、-1/2+1=9961991+1=995+11990+1+116两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，那么这两个数的差是_ 20或40 _。解题过程：a、b=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=3517将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是_121_。解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11的倍数，即11的平方。18100以内所有被5除余1的自然数的和是_970_。解题过程：1+6+11+16+91+96=1+96202=970199个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多_4_个。

8、解题过程：9个连续的自然数，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数于是质数只可能在这5个连续的奇数中，所以质数个数不能超过420如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数，那么，1000以内最大的“希望数是_961_。解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比方1和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000以内最大的完全平方数是 312=961，所以这个希望数是 96121两个数的最大公约数是21，最小

9、公倍数是126。这两个数的和是_105或147_。解题过程：126=2123；这两个数是42和63，或21和12622甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是_32_。解题过程： 4 | 36 48=32 364=9 28849=823一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是_560_。解题过程：257=70；702，3，4，13，14=140，210，280，910，98024有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_30_。解题

10、过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4个数和为11，分别为1、2、3、525两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是_30_。解题过程：设除数是X，那么12X+26+X+12+26=454；X=3026在123100的积的尾部有_21_个连续的零。解题过程：尾数为5的共10个，尾数1个0的9个，2个0的1个，共21个027有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成一个四位数例如1409，把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数字是_9_。解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4

11、017、4071、4107、4170 1479、1497、1749、179428一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，那么甲乙两数的千位数字和个位数字共四个数字的总和是_18_。解题过程：求?36?中能被3整除的偶数；甲为9366，乙为1362；9+6+1+2=1829把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、9、10、11、12、，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、9、1、0、1、1、1、2、1、3、。那么第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第_192_个数。解题过程

12、：1-9共9个，10-99共180个，100共3个30某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有_1_个满足上述条件的质数。解题过程：除2和5以外，其它质数的个位都是1，3，7，9；6，8，12，14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2；14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5，一定能被5整除；12加上任何尾数是3的质数，尾数也是5；8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5；6加上任何尾数是9的质数，尾数也是5；所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9；只有5符合31a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300。那么满足上述条

13、件的自然数a、b、c共有_30_组。例如a12，b300，c300，与a300，b12，c300是不同的两个自然数组解题过程：a，b=12，a=12m，b=12nm，n=1或5或25，且m，n=1；a，c=300，b，c=300，c=25kk=1，2，3，4，6，12；当m=1，n=1时，a=12，b=12，c=25k当m=1，n=5时，a=12，b=60，c=25k当m=1，n=25时，a=12，b=300，c=25k 当m=5，n=1时，a=60，b=12，c=25k当m=25，n=1时，a=300，b=12，c=25k故有30组32从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。从

14、左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_1331_。解题过程：111111=133133在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8917，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9716；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7613，取个位数字3写在

15、1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前398个数字的和是_1990_。解题过程：1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，398-2=396；39612=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；6033+10=1990二、判断题1两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 2偶数的个位一定是0、2、4、6或8。 3奇数的个位一定是1、3、5、7或9。 4所有的正偶数均为合数。 5奇数与奇数的和或差是偶数。 6偶数与奇数的和或差是

16、奇数。 7奇数与奇数的积是奇数。 8奇数与偶数的积是偶数。 9任何偶数的平方都能被4整除。 10任何奇数的平方被8除都余1。 11相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。 12任何一个自然数，不是质数就是合数。 13互质的两个数可以都不是质数。 14如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。 三、计算题1能不能将1505；21010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。解题过程：S=n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7+n+8+n+9=10n+45一定是奇数1505=45+46+47+48+49+50+51+52+53

17、+5421010是偶数，不能写成10个连续自然数之和21从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？2从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？解题过程：139984=999个22考虑个位，选法有10种;十位，选法有10种;百位选法有10种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个；1000-1=999个3请将1，2，3，99，100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质假设一行写不下，可移至第二行接着写，假设第二行仍写不下，

18、可移至第三行接着写。解题过程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，494一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。解题过程：设这个数为n，除以9的余数r8，所以除以8得到的商q13-8=5，且q13n=8q+k=9p+r=k=9p+r-8p=9p+r-813-r=9p+

19、r-104=4q=5，n=85+4=44q=6，n=86+4=52q=7，n=87+4=60q=8，n=88+4=68q=9，n=89+4=76q=10，n=810+4=84q=11，n=811+4=92q=12，n=812+4=100q=13，n=813+4=1085有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后

20、说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D，那么六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次为C+D、B+D。A+B+C+D=A+C+B+D=A+D+B+C；而92+191=283=125+158，133+147=280283；所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一个不正确。假设147是正确的，那么B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=A+C-A+B=125-92

21、=33 = C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101假设133是正确的，那么A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=A+C-A+B=125-92=33 = B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42。6有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。说明理由解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、B、C，显然，它们互不相等且都不等于0。那么222A+B+C=2886 = A+B+C=2886222=13百位数为1是最小的，另两个数

22、分别为3和9；所以最小的三位数为1397求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。解题过程：100171113121000=1100010002500500714219947994142271071112299011990902450451326988139887623803877+154+231+924=77+924122=600691+182+273+910=91+910102=5005143+286+429+858=143+85862=3003500500710714504538038+6006+5005+30033603608三张卡片，在它们上面各写一个数字如图。从中抽出一张、二

23、张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过程：2、3、13、23、319一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，。问：这串数的前100个数是包括第100个数有多少个偶数？解题过程：1003=33个110从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。解题过程：5，17，29，41，5311有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除，3号说“这个数能被3整除，依次下去

24、，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：1说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？2如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。写出解题过程解题过程：(1)如果15号说的不对，那么这个数不能被15整除，那么它不能被3或者5之一整除，即3号或者5号说的不对，这与相邻编号两位同学说的不对矛盾！故而这个数能被15整除，同时也能被3和5整除。同理，如果14号不对，那么它不能被2或者7整除，矛盾。即这个数能被14整除，也能被2和7整除；同理，如果12号不对，那么它不能被4整除，矛盾。即这个数能被4和12整除。那么这个数能被2*5=10整除。将2到15中能被整除这个数的数划去，发现编号相邻的只有8和9，即8号和9号说的不对。(2)1号写的数为N。N能被22 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060整除，不能被23或者32整除；而又N是五位数，故N=60060。12一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a见短除式1。又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，紧后得到一个商是a的2倍见短除式2，求这个自然数。解题过程：N=888a+7+1+1=17172a+15+4= a=3= N=1993