中考菱形压轴题.docx

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中考菱形压轴题

2018年中考菱形压轴题

一•解答题（共19小题）

1•如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC,将厶DEF进行如下变换：

（1）如图〔，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、

AD、BD.请直接写出SxABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么

△ABC应满足什么条件？

请给出证明；

（3）在

（2）的条件下，将厶DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.

BECFBE

馴動郢

2.如果一条抛物线y=af+bx+c（a^0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的抛物菱形”

（1）若抛物线y=a*+bx+c（a^0）与x轴的两个交点为（-1，0）、

（3，0），且这条抛物线的抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；

（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+bx（b>0）的抛物菱形”，且/OAB=60

1求抛物菱形OABC的面积.

2将直角三角板中含有“60角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与抛物菱形OABC的边ABBC交于E、F,AOEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由.

3.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O,y轴为对称轴，且经过点A（3,3）,一次函数的图象经过点A和点B（6,0）.

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C,E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D,ZDOENEDA求点E的坐标；

（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F,以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？

若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由.

4.如图，在直角梯形AOCB中,AB//OC,/AOC=90,AB=1,AO=2,OC=3以

O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD丄OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE是菱形？

（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB//OD?

/

%.

|/

0

en*

5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（-3,4）、B（

3,0）、C（-1,0）.以D为顶点的抛物线y=a*+bx+c过点B•动点P从点D出

发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒•过点P作PELCD交BD于点E,过点E作EFLAD于点F,交抛物线于点G.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？

最大值为多少？

（3）

动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H,使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由.

6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=af-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C,连接BC,且OB=OC

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2,点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE±BC于点E,设DE=d,点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G,连接DF,过D作DHLDF交FG于点H,点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan/HDN—，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标.

5

"片\P环.j?

备用图

7.已知抛物线y=a*+bx+8（a>1）过点D（5,3）,与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2,直线BD交y轴于点A.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在一点”，使厶ABN与厶BCD相似？

若存在，求出点A、

N的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q,使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

8.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，0A=2,OB=1，OC=4

（1）求过A、BC三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？

若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；

（4）设点M是x轴上的动点，试问：

在平面直角坐标系中，是否存在点N，使

得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，直接写出点N的坐标；

若不存在，说明理由.

B两点，与y轴交于点C,其对称

轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知0B=0C=6

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标;

（2）连接BD,F为抛物线上一动点，当/FAB=/EDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ,

MN的长.

10.如图，抛物线y二ax2-2x+c（a^0）与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点,

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

（2）如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,

将厶EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点

坐标；

B'落在抛物线的对称轴上，求点P的

（3）如图2,设BC交抛物线的对称轴于点动点，点N是平面内一点，当以点B,F,

F,作直线CD,点M是直线CD上的

M,N为顶点的四边形是菱形时，请

直接写出点M的坐标.

11.如图，?

ABCD的两个顶点B,D都在抛物线y=—力+bx+c上,且OB=OCAB=5,

O

tan/ACB=-.

4

（1）求抛物线的解析式;

（2）在抛物线上是否存在点E,使以A,C,D,E为顶点的四边形是菱形？

若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）.当t为何值时，△APQ是直角三角形？

12.如图，RtAABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,

O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-

3,0）、（0,4）,抛物线y

x2+bx+c

经过B点，且顶点在直线

（1）求抛物线对应的函数关系式;

（2）若ADCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N,设点M的横坐标为t,MN的长度为L,求I与t之间的函数关系式，并求I取最大值时，点

M的坐标；

（3）AABO沿x轴向右平移得到厶DCE当四边形ABCD是菱形时，连接BD,点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的

y=

线交于另一点B,过点B作BC丄x轴，垂足为点C（3,0）.

x2+bx+c与直

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）动点P在线段0C上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN丄x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在

（2）的条件下（不考虑点P与点0,点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？

请说明理由.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a«+bx+.；（其中a、b为常数，a^0）经过点A（-1,0）和点B（3，0），且与y轴交于点C,点D为对称轴与直线BC的交点.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点P,使得△DPMAACB求点P的坐标；

（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用圍

15.如图，对称轴为直线x盘的抛物线经过点A（6,0）和B（0,4）.

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x,y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方

16•如图，已知抛物线y=a^+bx+c（a^0）经过点A（1,0），B（6,0）和C（0，4）三个点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？

17•如图，抛物线yg^+bx+c与直线I:

y=kx+m交于A（4,2）、B（0,-1）两点.

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）若点D是直线I下方抛物线上的一动点，过点D作DE//y轴交直线I于点E,求DE的最大值，并求出此时D的坐标；

（3）在

（2）的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点

Q,使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出Q点坐标；

18.如图，抛物线y=-二X2-"x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交

44

于另一点B,过点B作BC丄x轴，垂足为点C（-3，0）.

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点E在线段0C上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG丄x轴，交直线AB于点F,交抛物线于点G.设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在

（2）的条件下（不考虑点E与点0、C重合的情况），连接CFBG,

当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？

问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？

请说明理由.

19•如图，已知抛物线y=ax2+c过点（-2,2）,（4,5）,过定点F（0,2）的直线I:

y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=）,并证明你的判断；

（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0,m）,求自然数m的值；

（4）若k=1,在直线I下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QBF的面积最大？

若存在，求出点Q的坐标及厶QBF的最大面积；若不存在，请说明理由.

备用囹

2018年04月19日191****7496的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一•解答题（共19小题）

1•如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC,将厶DEF进行如下变换：

（1）如图〔，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、

AD、BD.请直接写出SxABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么

△ABC应满足什么条件？

请给出证明；

（3）在

（2）的条件下，将厶DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.

理由：

由题意可得：

AD//EC，

贝US\ADF=S\ABD,

故S\ACF=S\ADF=S\ABD,

贝US\ABC=S四边形AFBD；

（2）^ABC为等腰直角三角形，即：

AB=AC/BAC=90,

理由如下：

•••F为BC的中点，

•••CF=BF

vCF=AD

•••AD=BF

又vAD//BF,

•••四边形AFBD为平行四边形，

•••AB=ACF为BC的中点，

•••AF丄BC,

•••平行四边形AFBD为矩形，

•••/BAC=90,F为BC的中点,

AF丄BC=BF

2

.四边形AFBD为正方形；

（3）如图3所示:

由

（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF丄BC,

设CF=k则GF=EF=CB=2k

由勾股定理得：

CG=口k.

上=

V5

CG

5

sin/CGF

2.如果一条抛物线y=a*+bx+c（a^0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的抛物菱形”

（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a^0）与x轴的两个交点为（-1,0）、

（3,0）,且这条抛物线的抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；

（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+bx（b>0）的抛物菱形”，且/OAB=60

1求抛物菱形OABC的面积.

2将直角三角板中含有“60角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与抛物菱形OABC的边ABBC交于E、F,AOEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由.

【解答】解：

（1）：

抛物线y=ax2+bx+c（a^0）与x轴的两个交点为（-1,0）、

（3，0），四边形OABC是正方形,

•••A（1,2）或（1,-2）,

当A（1,-2）时

D=9a43b+c解得

t-2=a+b+c

b=-l

3

c——

2

1

D=a-b+c

F

“D=9a+3b+c

解得：

b=l

b2=a+b+c

3

I2

当A（1,2）时,

1

•••抛物线的解析式为：

y=-*x2+x碍或ygx2-x-专；

（2）①•••由抛物线y=-x2+bx（b>0）可知OB=b,

vZOAB=60,

•A（—b）,

代入y=-x2+bx得:

裁-（-）2+b今，解得：

b=^3,

•OB=2:

'；,AC=6,

•抛物菱形OABC的面积^OB?

AC=^3;

②存在；

当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小,

vOE!

AB,

•ZEOB丄一「』=30°,

同理/BOF=30,

vZEOF=60

•••OB垂直EF且平分EF,

•••三角形OEF是等边三角形，

vOB=2l'.3,

•••OE=3

•••OE=OF=EF=3

•••△OEF的面积=.

4

3.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O,y轴为对称轴，且经过点A（3,3），一次函数的图象经过点A和点B（6,0）.

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C,E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D,ZDOE=ZEDA求点E的坐标；

（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于

F,以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？

若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由.

C

\

V

\a/

V

/

K.

0

【解答】解：

（1）设二次函数的解析式为y=a«,

把点A（3,3）代入得3=ax32,解得a二;

设一次函数的解析式为y=kx+b,

把点A（3,3）、点B（6,0）代入得|（3k4b=3,解得」A】

\6k+b=0

所以二次函数与一次函数的解析式分别为

y=—x+6；

（2）C点坐标为（0,6）,

•••DE//y轴，

•••/ODE=/COD,/EDA=ZOCD,

•ZDOE=/EDA

•••/DOE=/OCD,•••△OC»ADOE,

•••OC:

OD=ODDE,即OD2=OC?

DE

设E点坐标为（a,—a2）,贝UD点坐标为（a,6-a）,

■3

a2,

•••2a2-12a+36=6（6-a-

解得ai=0,

OD2=a2+（6-a）2,=2a2-12a+36,OC=6DE=6-a-

•E是抛物线上OA段上一点,

二Ovav3,

二呻，「点E坐标为得,尉;

（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形•理由如下：

如图,过O点作OF//AC交抛物线于F,过F点作FM//y轴交AC延长线于M点,交x轴于H点，

则四边形OCMF为平行四边形，

•OC=OB=6

•••△OCB为等腰直角三角形,

•••ZOBC=45,

•••ZHOF=45,

•△OHF为等腰直角三角形，

•HO=HF

设F点坐标为（m,-m）（m>0）,

把F（m，—m）代入y=~x2得-m「m2，解得mi=0,m2二-3,

•••m=—3,

•••HO=HF=3

•OF二QH=3：

:

而OC=6

•四边形OCMF不为菱形.

4.如图，在直角梯形AOCB中,AB//OC,/AOC=90,AB=1,AO=2,OC=3以

O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动,QD丄OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时,四边形OEAE是菱形？

（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t秒,当t为何值时,PB//OD?

【解答】解：

（1）vA（0,2）为抛物线的顶点，

•••设y=ax2+2,

•••点C（3,0）,在抛物线上，

--9a+2=0,

解得：

a=-二，

•抛物线为；y=-—x2+2；g

（2）如果四边形OEAE是菱形，则AO与EE互相垂直平分,

•EE经过AO的中点，

•••点E纵坐标为1,代入抛物线解析式得：

1=-—x2+2,

9

•••点E在第一象限,

）,

设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1,2）,C（3,0）,代入得:

•BC的解析式为：

y=-x+3,将E点代入y=ax,可得出EO的解析式为:

得:

•••Q点坐标为:

0）,

•••当Q点坐标为（

0）时，四边形OEAE是菱形;

（3）法一：

设t为m秒时，PB//DO,又QD//y轴，贝U有/APB=ZAOE=/ODQ,

又•••/BAP=/DQO,则有△APB^^QDO,

=AP

00=

DQ

由题意得：

AB=1,AP=2m,QO=3-3m,

又•••点D在直线y=-x+3上，•DQ=3m,因此：

一=—=巴，解得：

m二,

3-3m3rr2

•••当t=.秒时，PB//OD.

经检验：

m」是原分式方程的解，

法二：

作BH丄OC于H,贝UBH=AO=2OH=AB=1,HC=OC-OH=2,

•BH=HC•/BCH=ZCBH=45,

易知DQ=CQ

设t为m秒时PB//OE,则厶ABP^^QOD,

•L4,易知AP=2m,DQ=CQ=3mQO=3-3m,

DQQ0

1

3m

3-3m

解得m十,经检验m=~是方程的解,•••当t为丄秒时,PB//OD.

5•如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（-3,4）、B（

3,0）、C（-1,0）.以D为顶点的抛物线y=af+bx+c过点B•动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒•过点P作PELCD交BD于点E,过点E作EFLAD于点F,交抛物线于点G.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？

最大值为多少？

（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H,使以B,Q,E,H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由.

【解答】解：

（1）由题意得，顶点D点的坐标为（-1,4）.设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a^0）,

••拋物线经过点B（-3,0）,代入y=a（x+1）2+4可求得a=-1

•••抛物线的解析式为y=-（x+1）2+4，即y=-x2-2x+3.

（2）由题意知，DP=BQ=t

•••PE//BC,

•••△DP0ADBC

__=_=2

PE^C•••PE丄DP丄t.

22

•••点E的横坐标为-1-丄t,AF=2-—t.

将x=-1-二t代入y=-（x+1）2+4,得y=—〒t2+4.

•••点G的纵坐标为-1t2+4,

•GE二-丄t2+4-（4—t）二-丄t2+t.

44

如图1所示：

连接BG.

A

°

d

I

口D

Y

J

7

E

7

團1

S四边形bdgc=S\bqg+S\beg+S^deg,即卩S四边形bdgc=4bQ?

AF^EG?

（AF+DF）

•••当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2.

（3）存在.

vCD=4BC=2

•tan/

vBQ=DP=t

•DE=t.

2

如图2所示：

当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB

•••BE=BD-DE,

•••BQ=BD-DE,即t=2