中考菱形压轴题.docx

1、中考菱形压轴题2018年中考菱形压轴题一解答题(共19小题)1 如图，两个全等的 ABC和 DFE重叠在一起，固定 ABC,将厶DEF进行如 下变换：(1)如图， DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD.请直接写出SxABC与S四边形AFBD的关系；(2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么 ABC应满足什么条件？请给出证明；(3)在(2)的条件下，将厶DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处, 连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.B E C F B E馴 動 郢2.如果一条抛物线y=af+bx

2、+c (a0)与x轴有两个交点，那么以这两个交点 和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的 抛物菱形”(1)若抛物线y=a*+bx+c (a0)与x轴的两个交点为(-1，0)、(3，0)，且这条抛物线的 抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；(2)如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+bx(b0)的 抛物菱形”，且/ OAB=601求 抛物菱形OABC的面积.2将直角三角板中含有“60角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与 抛物 菱形OABC的边AB BC交于E、F,AOEF的面积是否存在最小值，若存在，求 出此时 OEF的面积；若不存在，说明理由.3.如图，二

3、次函数图象的顶点为坐标原点 O, y轴为对称轴，且经过点A (3, 3), 一次函数的图象经过点 A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C, E是抛物线上OA段上一点，过点E 作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D,Z DOEN EDA求点E的坐标；(3)点M是线段AC延长线上的一个动点，过点 M作y轴的平行线交抛物线于 F,以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点 F的坐标；若 不能，请说明理由.4.如图，在直角梯形 AOCB中, AB/ OC, / AOC=90, AB=1, AO=2, OC=3 以O为原点，OC、

4、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点 P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD丄OC 交BC于点D, OD所在直线与抛物线在第一象限交于点 E.(1)求抛物线的解析式；(2)点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形 OEAE是菱形？(3) 点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当t为何值时，PB/ OD?/%.|/0 en*5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个顶点A (- 3, 4)、B (3, 0)、C (- 1, 0).以D为顶点的抛物线y=a*+bx+c过点B动点P从点D出发，沿

5、DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、 Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒过点P作PEL CD交BD 于点E,过点E作EFLAD于点F,交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？(3) 动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点 H,使 以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长； 若不存在，请说明理由.6 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=af- 2ax- 3a交x轴于A、B两点， 交y的正半轴于点C,连接BC,且OB=OC(1)求抛物线的

6、解析式；(2) 如图2,点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DEBC于点E,设DE=d, 点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；(3) 在(2)的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G,连接DF, 过D作DHL DF交FG于点H,点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上 一点且tan/HDN，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标.5 片P 环.j?备用图7.已知抛物线y=a*+bx+8 (a 1)过点D (5, 3),与x轴交于点B、C (点B、 C均在y轴右侧)且BC=2,直线BD交y轴于点A.(1)求抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在一点 ”，使厶ABN与厶BCD相似？

7、若存在，求出点 A、N的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q,使以Q、P、B、C四点为顶 点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知，如图，在平面直角坐标系中， ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴 的正半轴上，0A=2, OB=1，OC=4(1)求过A、B C三点的抛物线的解析式；(2)设点G是对称轴上一点，求当 GAB周长最小时，点G的坐标；(3) 若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中，是否存在点 Q,使 PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点 Q的坐 标，并选择其中一个的加以说

8、明；若不存在，说明理由；(4) 设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点 N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，说明理由.B两点，与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知0B=0C=6(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)连接BD, F为抛物线上一动点，当/ FAB=/ EDB时，求点F的坐标；(3)平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ,MN的长.10.如图，抛物线y二ax2-2x+c (a0)与x轴、y轴分别交于点A, B, C三点,(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐

9、标;(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点 P,将厶EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点坐标；B落在抛物线的对称轴上，求点 P的(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点 动点，点N是平面内一点，当以点 B, F,F,作直线CD,点M是直线CD上的M , N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.11.如图，?ABCD的两个顶点B, D都在抛物线y= 力+bx+c上,且OB=OCAB=5,Otan / ACB=-.4(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点E,使以A, C, D, E为顶点的四边形是菱形？若存 在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理

10、由.(3)动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动 速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时 间为t (秒).当t为何值时， APQ是直角三角形？12.如图，RtAABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3, 0)、(0, 4),抛物线 yx2+bx+c经过B点，且顶点在直线(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若ADCE是由 ABO沿x轴向右平移得到的，若 M点是CD所在指向下方 该抛物线上的一个动点，过点 M作MN平行于y轴交CD于点N,设点M的横 坐标为t, MN的长度为L

11、,求I与t之间的函数关系式，并求I取最大值时，点M的坐标；(3)A ABO沿x轴向右平移得到厶DCE当四边形ABCD是菱形时，连接BD, 点P在抛物线上，若 PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时 P点的y=线交于另一点B,过点B作BC丄x轴，垂足为点C (3, 0).x2+bx+c 与直(1)直接写出抛物线的解析式；(2) 动点P在线段0C上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C移动，过点P 作PN丄x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒， MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点0,点C重合的情况

12、)，连接CM， BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形 BCMN是否菱形？请说明理由.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a+bx+.；(其中a、b为常数，a 0)经过点A (- 1, 0)和点B (3，0)，且与y轴交于点C,点D为对称轴与直 线BC的交点.(1)求该抛物线的表达式；(2)抛物线上存在点P,使得 DPMA ACB求点P的坐标；(3)若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐 标平面内一点，是否存在这样的点 M和点N,使得以Q、B、M、N为顶点的四 边形是菱形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由

13、.备用圍15.如图，对称轴为直线 x盘的抛物线经过点A (6, 0)和B (0, 4). (1 )求 抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E (x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF是以 OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并 写出自变量x的取值范围；(3)当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？是否存在点E,使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点 E的坐标；若不存 在，请说明理由.(4) 在(3)的条件下，当四边形 OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方16如图，已知抛物线 y=a+bx+c(a 0)经过点 A (

14、1, 0)，B (6, 0)和 C (0， 4 )三个点.(1)求抛物线的解析式；(2) 设点E (m，n)是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形 OEBF是 以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式， 并写出自变量m的取值范围；(3)当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？17如图，抛物线 yg+bx+c 与直线 I: y=kx+m 交于 A (4, 2)、B (0, - 1) 两点.(1)求抛物线与直线的解析式；(2)若点D是直线I下方抛物线上的一动点，过点D作DE/ y轴交直线I于点E, 求DE的最大值，并求出此时D的坐标；(3

15、)在(2)的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q,使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出 Q点坐标；18 .如图，抛物线y=-二X2-x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交44于另一点B,过点B作BC丄x轴，垂足为点C (- 3，0).(1)求直线AB的函数关系式；(2)动点E在线段0C上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C移动，过点E 作EG丄x轴，交直线AB于点F,交抛物线于点G.设点E移动的时间为t秒， GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3) 设在(2)的条件下(不考虑点E与点0、C重合的情况)，连接CF

16、 BG,当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG 是否菱形？请说明理由.19如图，已知抛物线y=ax2+c过点(-2, 2), (4, 5),过定点F (0, 2)的直 线I: y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂 线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2) 当点B在抛物线上运动时，判断线段 BF与BC的数量关系(、=), 并证明你的判断；(3) P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点 P (0, m), 求自然数m的值；(4) 若k=1,在直线I下方的抛物线上是否存在点 Q,使得 QBF的面积最大？

17、 若存在，求出点Q的坐标及厶QBF的最大面积；若不存在，请说明理由.备用囹2018年04月19日191*7496 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共19小题）1 如图，两个全等的 ABC和 DFE重叠在一起，固定 ABC,将厶DEF进行如 下变换：（1） 如图， DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD.请直接写出 SxABC与S四边形AFBD的关系；（2） 如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么 ABC应满足什么条件？请给出证明；（3） 在（2）的条件下，将厶DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处, 连接CG,

18、请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.理由：由题意可得：AD/ EC，贝U SADF=SABD,故 SACF=SADF=SABD,贝U SABC=S 四边形 AFBD；（2） ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC / BAC=90,理由如下： F为BC的中点， CF=BFv CF=AD AD=BF又 v AD/ BF,四边形AFBD为平行四边形， AB=AC F为BC的中点， AF丄 BC,平行四边形AFBD为矩形，/ BAC=90, F 为 BC的中点,AF丄BC=BF2.四边形AFBD为正方形；(3)如图3所示:由(2)知， ABC为等腰直角三角形，AF丄BC,设 CF=k

19、 则 GF=EF=CB=2k由勾股定理得：CG= 口k.上=V5CG5sin/CGF2.如果一条抛物线y=a*+bx+c (a0)与x轴有两个交点，那么以这两个交点 和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的 抛物菱形”(1)若抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴的两个交点为(-1, 0)、(3, 0),且这条抛物线的 抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；(2)如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+bx(b0)的 抛物菱形”，且/ OAB=601求 抛物菱形OABC的面积.2将直角三角板中含有“60角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与 抛物 菱形OABC

20、的边AB BC交于E、F,AOEF的面积是否存在最小值，若存在，求 出此时 OEF的面积；若不存在，说明理由.【解答】解：(1)：抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴的两个交点为(-1, 0)、(3，0)，四边形OABC是正方形, A (1, 2)或(1 , - 2),当 A (1, - 2)时D=9a43b+c 解得t-2=a+b+cb=-l3c21D=a-b+cF“ D=9a+3b+c解得：b=lb 2=a+b+c3I 2当 A (1 , 2)时,1抛物线的解析式为：y=-*x2+x碍或ygx2- x-专；(2)由抛物线 y=- x2+bx (b0)可知 OB=b,vZ OAB=60

21、,A( b),代入 y= - x2+bx 得: 裁- (-)2+b今，解得：b=3,OB=2 :；, AC=6,抛物菱形OABC的面积 OB?AC=3;存在；当三角板的两边分别垂直与 AB和BC时三角形OEF的面积最小,v OE! AB,Z EOB丄一=30,同理/ BOF=30,vZ EOF=60 OB垂直EF且平分EF,三角形OEF是等边三角形，v OB=2l.3, OE=3 OE=OF=EF=3 OEF的面积= .43.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点 O, y轴为对称轴，且经过点A(3, 3)， 一次函数的图象经过点 A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)

22、 如果一次函数图象与y轴相交于点C, E是抛物线上OA段上一点，过点E 作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D,Z DOE=Z EDA求点E的坐标；(3)点M是线段AC延长线上的一个动点，过点 M作y轴的平行线交抛物线于F,以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点 F的坐标；若 不能，请说明理由.CVa /V/K.0【解答】解：(1)设二次函数的解析式为y=a,把点A (3, 3)代入得3=ax 32,解得a二;设一次函数的解析式为y=kx+b,把点A (3, 3)、点B (6, 0)代入得|(3k4b=3 ,解得A】 6k+b=0所以二次函数与一次函数的解析式分别为,y=x+

23、6；（2） C点坐标为（0, 6）,DE/ y 轴，/ ODE=/ COD,/ EDA=Z OCD, Z DOE=/ EDA/ DOE=/ OCD, OCA DOE, OC: OD=OD DE,即 OD2=OC?DE设E点坐标为（a , a2）,贝U D点坐标为（a , 6- a）,3a2 , 2a2- 12a+36=6 （6-a-,解得ai=0 ,OD2=a2+ （6 - a） 2, =2a2- 12a+36, OC=6 DE=6- a- E是抛物线上OA段上一点,二 Ov av 3 ,二呻， 点E坐标为得,尉;(3)以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形理由如下：如图,过O点作OF/

24、AC交抛物线于F ,过F点作FM / y轴交AC延长线于M点, 交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，OC=OB=6 OCB为等腰直角三角形,Z OBC=45 ,Z HOF=45 , OHF为等腰直角三角形，HO=HF设F点坐标为（m,- m） （m0）,把 F （m， m）代入 y=x2得-mm2，解得 mi=0, m2二-3, m= 3, HO=HF=3 OF二 QH=3 ：:,而 OC=6四边形OCMF不为菱形.4.如图，在直角梯形 AOCB中, AB/ OC, / AOC=90 , AB=1 , AO=2, OC=3 以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,

25、且经过点C.点 P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动,QD丄OC 交BC于点D , OD所在直线与抛物线在第一象限交于点 E.(1)求抛物线的解析式；(2)点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时,四边形 OEAE是菱形？(3) 点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t 秒,当t为何值时,PB/ OD?【解答】解：(1)v A (0, 2)为抛物线的顶点，设 y=ax2+2,点C (3, 0),在抛物线上，-9a+2=0,解得：a=-二，抛物线为；y=-x2+2； g(2)如果四边形OEAE是菱形，则AO与EE互相垂直平分, EE经过AO的中

26、点，点E纵坐标为1,代入抛物线解析式得：1 = - x2+2 ,9点E在第一象限,),设直线BC的解析式为y=kx+b，把B (1, 2), C (3, 0),代入得: BC的解析式为：y= - x+3 , 将E点代入y=ax,可得出EO的解析式为:得: Q点坐标为:,0),当Q点坐标为（,0）时，四边形OEAE是菱形;(3)法一：设 t 为 m 秒时，PB/ DO,又 QD/ y 轴，贝U有/ APB=Z AOE=/ ODQ,又/ BAP=/ DQO,则有 APB QDO,=AP00 =DQ由题意得：AB=1, AP=2m, QO=3- 3m,又点D在直线y=- x+3上， DQ=3m, 因

27、此：一=巴，解得：m二,3-3m 3rr 2当 t=.秒时，PB/ OD.经检验：m是原分式方程的解，法二：作 BH丄OC于 H,贝U BH=AO=2 OH=AB=1, HC=OC- OH=2, BH=HC / BCH=Z CBH=45,易知DQ=CQ设t为m秒时PB/ OE,则厶ABP QOD,L4,易知 AP=2m, DQ=CQ=3m QO=3- 3m ,DQ Q0 13m3-3m解得m十,经检验m=是方程的解, 当t为丄秒时,PB/ OD.5如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个顶点A (- 3, 4)、B (3, 0)、C (- 1, 0).以D为顶点的抛物线y=af+bx

28、+c过点B动点P从点D出 发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、 Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒过点P作PEL CD交BD 于点E,过点E作EFLAD于点F,交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？(3) 动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点 H,使 以B, Q, E, H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长； 若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)由题意得，顶点D点的坐标为(-1, 4). 设抛物线的解析式为y=a (x+1) 2+4 (

29、a 0),拋物线经过点B (-3, 0),代入y=a (x+1) 2+4 可求得a= - 1抛物线的解析式为y= -(x+1) 2+4，即y=- x2 - 2x+3.(2)由题意知，DP=BQ=t PE/ BC, DP0A DBC_=_=2PEC PE丄DP丄t.2 2点E的横坐标为-1 -丄t, AF=2-t.将 x=- 1-二t 代入 y=-( x+1) 2+4,得 y=t2+4.点G的纵坐标为-1t2+4, GE二-丄t2+4-( 4 t)二-丄t2+t.4 4如图1所示：连接BG.AdI口 DYJ7E7團1S 四边形 bdgc=Sbqg+S beg+Sdeg,即卩 S 四边形 bdgc=4bQ?AFEG? (AF+DF)当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2.(3)存在.v CD=4 BC=2 tan/v BQ=DP=t DE= t.2如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB BE=BD- DE, BQ=BD- DE,即 t=2