鸡兔同笼盈亏平均数问题含答案.docx

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鸡兔同笼盈亏平均数问题含答案

鸡兔同笼、盈亏、平均数问题

一、知识地图

二、基础知识

公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：

一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。

若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？

几匹布？

（一）鸡兔同笼问题

1．假设全是鸡

例如：

鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析：

假设全是鸡，则有2×46=92（足），而实际上是128足，少了128-92=36（足），为什么少了36足呢？

因为我们把一只兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有36÷2=18（只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28（只）。

2．假设全是兔

例如：

鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析：

假设全是兔，则有4×46=184（足），而实际上是128足，多了184-128=56（足），为什么多了56足呢？

因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有56÷2=28（只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18（只）。

3．“砍足法”

例如：

鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析：

假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”，则鸡和兔足的总数就由128变成了64，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1，所以足的总数64与总头数46的差，就是兔子的只数，即64－46＝18（只），则鸡的只数就是46－18＝28（只）。

（二）盈亏问题

盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。

盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：

“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。

1.“盈亏”型

例如：

学而思学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：

有多少位同学分多少粒糖果？

分析：

为什么第一次多9粒，而第二次还少6粒呢？

因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了，还要再添6粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒），那为什么会有这种变化产生呢？

因为第二次比第一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有15÷1=15（人），共有15×4+9=69（粒）。

2.“盈盈”型

明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。

那么有多少个同学？

蛋糕的价钱是多少？

分析：

为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？

因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有4÷1=4（人），蛋糕价钱是8×4－8＝24（元）。

3.“亏亏”型

学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？

多少本书？

分析：

为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？

因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有7÷1=7（人），书有7×10－9＝61（本）。

（三）平均数问题

（1）平均数=总数÷参与平均的事物个数

平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数

平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数

（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”

几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大

三、经典透析

【例1】从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？

多少个挑水？

[审题要点]鸡兔同笼问题，假设法

[详解过程]假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？

因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×2＝36人。

专家点评：

可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题：

左图假设全是抬水：

 （58-38×1）÷（2-1）=20（根）……20（人）挑水

（38-20）×2=36（人）    ……36（人）抬水

右图假设全是挑水：

 （38×2-58）÷（2-1）=18（根）……18×2=36（人）抬水

38-18=20（根）……20（人）挑水

【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？

[审题要点]   鸡兔同笼问题的变形题

[详解过程]   每个三口之家可以少花30+40+40-32×3=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14×8=112元，所以这8个家庭中有（120-112）÷（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4×2+（8-4）×3=20人。

专家点评：

这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？

跟单位少花情况有关，这里的单位：

可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。

一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解；

另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下：

8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。

所以应该总共少花  16×8=128（元）

而实际少花相差  128-120=8（元）

是因为每个小孩多花了32-30=2（元）

所以，8÷2=4（人）……小孩人数

16+4=20（人）……旅游团一共人数

还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法——反证法中，假设法会又一次充当主角。

【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？

[审题要点] 经典鸡兔同笼问题，用两次假设法

[详解过程] 因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。

我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：

一种是6条腿，一种是8条腿。

假设全是6条腿的，共有腿6×16=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？

因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛14÷2=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；

我们再来看翅膀：

假设这9只全是蜻蜓，则应该有9×2=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉4÷1=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。

专家点评：

如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程：

设：

蜘蛛有

只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得：

（1）×6：

（2）-（4）：

2

=14

=7

代入

（1）式：

y+z=9…（5）

（3）-（5）：

y=5。

代入（5）式：

z=4。

很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。

对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。

请参见本书第十九讲《方程》。

【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？

多少个苹果？

[审题要点] 盈亏问题

[详解过程] 为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？

因为第二次每人多分了1个，所以有8÷1=8（人），苹果8×10+8=88（个）。

专家点评：

请注意体会差量分析的应用。

这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。

【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？

[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题

[详解过程] 根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×3=150（米）到校；如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×（27+3）=50×30=1500（米）。

专家点评：

两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。

从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。

数学是好玩的！

【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。

如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。

问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？

[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题

[详解过程] 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。

人数：

[3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），盆数：

5×7＋3＝38（盆）或6×7－4＝38（盆）。

专家点评：

转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：

“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？

答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？

接上了，转化成功！

记住：

转化的关键在于我需要什么样的条件！

现有条件能否转化为我要的条件？

【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：

36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？

[审题要点] 平均数问题

[详解过程] 设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：

所以

[专家点评]  实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。