行政职业能力测试知识框架之数量关系.docx

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行政职业能力测试知识框架之数量关系

行政职业能力测试知识框架之

-数量关系

1行测数学运算知识框架

公务员行政能力测试一共分为五大模块，其中一块是数量关系。

数学运算是数量关系中的一种。

 　　数学运算主要考查考生对基本数量关系的分析能力和理解能力，以及对数学运算方法和策略的运用能力，内容包括了小学奥数，初高中代数、几何，甚至大学的统计学等众多方面的知识，是历年考试中的难点和热点。

　　数学运算一共分为十四个模块，每个模块已经公务员考试资料网解构与提炼，希望同学们可以轻松搞定数学运算问题。

1.1计算问题之数的性质

数的性质一般只有五个方面，考生只需牢牢掌握这五个方面，便可轻松搞定这类问题。

 　　从近几年的行测考试来看，这部分试题难度基本保持在中等程度，考试的重点主要集中在整除问题和数字问题。

同时，数的性质是构成数学运算的基础，尤其是数字的基本性质更是构成“秒杀”的基本理论，复习时需要引起考生足够的重视。

　　备注：

　　该篇只是简要介绍了“数的性质”模块的知识框架。

而对于其框架下各知识点具体内容，我们将在下属知识点中进行精讲。

1.1.1整除问题

在公务员考试中，数的整除性质被广泛应用在运算里，同时在行程、工程等问题中，很多时候都需要用到整除性质。

整除问题一般只考两个方面，考生只需牢牢掌握这两个方面，便可轻松搞定这类问题。

　　1、题型简介

　　数的整除性质被广泛应用在数学运算里。

一般情况下题目会给出某个N位数能被M个数整除的已知条件，求解这个N位数。

　　2、核心知识

　　如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，称a能被b整除（或者说b能整除a）。

　　数a除以数b（b≠0），商是整数或者有限小数而没有余数，称a能被b除尽（或者说b能除尽a）。

　　整除是除尽的一种。

（1）整除的性质

　　A、如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。

　　如：

36，54能同时被9整除，则它们的和90、差18也能被9整除。

　　B、如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。

　　如：

63能同时被3、7整除，则63也能被3和7的最小公倍数21整除。

　　C、如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。

　　如：

58能被29整除，则58乘以任意整数的积，例如58×5，也能被29整除。

　　D、平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。

　　E、若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

　　F、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（2）整除特征

　　表1常见数字整除的数字的特性表

　　3、核心知识使用详解

（1）三个连续的自然数之和（积）能被3整除。

（2）实际生活中很多事物的数量是以整数为基础来计量的，这一点在解题的过程中需要考生自己来发掘。

　　（3）1能整除任何整数，0能被任何非零整数整除

1.1.2公约数与公倍数问题

在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。

无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定公约数与公倍数问题。

　　1.题型简介

（1）约数与倍数

　　若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。

其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。

（2）公约数与最大公约数

　　几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。

　　公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。

　　（3）公倍数与最小公倍数

　　几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

　　公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。

　　考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。

　　2.核心知识

（1）两个数最大公约数和最小公倍数

　　一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。

　　A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。

　　B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。

　　如：

求24、36的最大公约数与最小公倍数。

　　24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12;

　　24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即（2×2×3）×（2×3）=72。

（2）三个数最大公约数和最小公倍数

　　A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除1外），然后把所有共同的质因数连乘起来。

　　B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。

　　如：

求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。

 　　3.核心知识使用详解

（1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。

（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。

　　（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：

求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数（除l外）即可;而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。

　　（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。

1.1.3余数问题

公务员考试中余数问题一般只有两种类型，只要理解题目，掌握解题的基本方法，便能轻松搞定这类问题。

　　1、题型简介

　　公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件，计算出余数。

　　2、核心知识

　　被除数=除数×商+余数（都是正整数）

（1）一个被除数，多个除数

　　A、基本形式——中国剩余定理

　　原型：

　　《孙子算经》记载：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?

”

　　基本解法——层层推进法：

　　以上题为例，满足除以3余2的最小数为2;

　　在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8;

　　在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个最小的数为23。

　　所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，故满足条件的数可表示为105n+23（n=0，1，2，…）。

　　B、特殊形式——余同、和同、差同

　　特殊形式的口诀：

余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。

（2）多个被除数，一个除数

　　A、同余

　　两个整数a、b除以自然数m（m>1），所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余，记做

（cmodm）。

例如：

23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。

　　同余的特殊性质：

在同余的情况下（a-b）必能被m整除，所得的商为两数商之差。

例如：

那么：

　　B、不同余

　　两个整数a、b除以自然数m（m>1），所得余数不相同，则称整数a、b对自然数m不同余。

　　同余和不同余的三个重要的性质——可加性，可减性，可乘性。

　　对于同一个除数m，两个数和的余数等于余数的和，两个数差的余数等于余数的差，两个数积的余数等于余数的积。

　　3、核心知识使用详解

（1）一个数被2（或5）除得到的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得到的余数。

（2）一个数被4（或25）除得到的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得到的余数。

　　（3）一个数被8（或125）除得到的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得到的余数。

　　（4）一个数被3（或9）除得到的余数，就是其各位数字之和被3（或9）除得到的余数。

1.1.4奇偶性与质合性问题

奇偶性和质合性问题在公务员的考试中，一般只考两种类型。

无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型的性质，就能轻松搞定奇偶性和质合性问题。

　　1、题型简介

　　公务员考试中，利用奇偶性与质合性解决问题，一般都是在具体情境中结合其他知识一起考查的，很少单独考查，但对于单独考查的这类问题，考生也不能掉以轻心。

　　2、核心知识

（1）奇偶性

　　奇数：

不能被2整除的整数。

　　偶数：

能被2整除的整数（需特别注意的是：

0是偶数）

　　奇数和偶数的运算规律：

　　奇数±奇数=偶数、奇数×奇数=奇数;

　　偶数±偶数=偶数;偶数×偶数=偶数;

　　奇数±偶数=奇数;奇数×偶数=偶数。

（2）质合性

　　质数：

如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整

　　数叫做质数（质数也称素数），如2、3、5、7、11、13……

　　合数：

一个正整数除了能被l和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，

　　这样的正整数叫做合数，如4、6、8、9、10……

　　1既不是质数也不是合数。

　　3、核心知识使用详解

（1）两个连续自然数之和（或差）必为奇数。

（2）两个连续自然数之积必为偶数。

　　（3）乘方运算后，数字的奇偶性保持不变。

　　如：

a为奇数（偶数），则an（n为正整数）为奇数（偶数）。

　　（4）2是唯一一个为偶数的质数。

　　如果两个质数的和（或差）是奇数，那么其中必有一个数是2;

　　如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个数是2。

1.1.5数字问题

公务员考试中数学问题一般只有两种类型，无论情景如何变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定数字问题。

　　1、题型介绍

　　数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大。

通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少。

　　2、核心知识

（1）数字的拆分

　　是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等。

（2）数字的排列与位数关系

　　解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解。

1.2计算问题之算式计算

算式计算一般有九个方面，考生只需牢牢掌握这九个方面，便可轻松搞定这类问题。

 　　算式计算能力是数量关系部分的基本能力，它不仅考查考生的计算水平，更多考查的是考生对计算方法的掌握和对计算技巧的运用能力，是准确、快速解决具体问题的方法和手段，因此，希望考生在平时解题过程中不断积累，做到灵活运用。

　　备注：

　　该篇只是简要介绍了“算式计算”模块的知识框架。

而对于其框架下各知识点具体内容，我们将在下属知识点中进行精讲。

1.2.1比较大小问题

在公务员考试中，比较大小问题的解决方法有六种，但从历年真题来看，中间值法、倒数法、不等式法这三种方法考查较多。

所以无论比较大小问题怎么变化，同学只要牢牢把握这三种主要类型，就能轻松搞定比较大小问题。

　　1、题型简介

　　比较大小问题在近年来各类公务员考试中出现较少。

下面给出了比较几个数大小的常用方法及其原理，从真题来看，中间值法、倒数法、不等式法这三种方法考查较多，同学们可以重点学习。

　　2、核心知识

（1）作差法

　　对于任意两个数a、b，

　　若a-b≥0，则a≥b；若a-b＜0，则a＜b。

（2）作商法

　　当a、b为任意两个正数时，

　　若 

≥1，则a≥b；若 

＜1，则a＜b。

　　当a、b为任意两个负数时，

　　若 

≥1，则a≤b；若 

＜1，则a＞b。

　　（3）中间值法

　　对任意两个数a、b，若能找到一个中间值c，满足a＞c且c＞b，则可以推出a＞b。

　　（4）倒数法

　　当a、b同号时，

　　若 

≤

，则a≥b；若

＞

，则a＜b。

　　（5）不等式法（根据不等式的性质进行判断）

　　a、若a≥b，则a±c≥b±c；

　　若a≥b，c≥d，则a+c≥b+d，a-d≥b-c；

　　b、若a＞b，c＞0，则ac＞bc，

＞

；

　　若a＞b，c＜0，则ac＜bc，

＜

；

　　若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd, 

＞

；

　　c、若a＞b＞0，则an ＞bn （n＞1）；若a＞b＞0，则

＞

　　（n＞1）。

　　d、 当an ≥bn ，n＞0且n为偶数时，

　　若a＞0，b＞0，则a≥b＞0；

　　若a＜0，b＜0，则a≤b＜0。

　　当an ≥bn ，n＞0且n为奇数时，则a≥b。

　　（6）差值比较法

　　通常情况下，比较几个分数的大小时，如果其值与“1”或某一个整数比较接近，则

可通过比较这几个分数与“1”的差值来比较它们的大小。

1.2.2定义新运算问题

在公务员考试中，定义新运算问题并不难。

解决这类问题要充分理解新定义，严格按照新定义的公式带入数值，便可轻松搞定这类问题。

　　1、题型简介

　　定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义，实质是给出一种新的运算规则，并赋予该运算方法新的运算符号，如*、△、※、◎等，计算其式子。

　　2、核心知识

　　定义新运算：

新的运算符号，对这些符号规定了新的运算规则，按照新的运算规则进行运算。

（1）公式法

　　根据题目提供的新定义的公式，将数值带入。

（2）分步法

　　对于一些复杂的定义新运算问题，需要分步完成，根据已知公式多次代入和计算。

　　（3）归纳法

　　根据已知条件归纳新运算规则。

1.2.3平均值问题

公务员考试中平均值问题一般只有两种类型（几何平均值因计算不便，故基本没有涉及）。

无论情景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定平均值问题。

　　1、题型简介

　　平均值有分为算术平均值、加权平均值、几何平均值等等。

其中以算术平均值最常见，在公务员考试中由于不允许使用计算器，所以几何平均值的问题出现的概率十分的低，掌握各种平均值解法就能很容易的解决问题。

　　2.核心知识

（1）算术平均值   

　　所有数据之和除以数据个数所得的商，用公式表示：

M=

（2）加权平均值

　　如果在N个数中，

分别出现了

 那么，

或

叫做

的加权平均值。

1.2.4不定方程问题

公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。

解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。

　　1、题型简介

　　未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。

通常只讨论它的整数解或正整数解。

　　在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。

在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

　　2、核心知识

　　形如

，

， 

的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。

这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

　　a.不定方程是否有解？

　　b.不定方程有多少个解？

　　c.求不定方程的整数解或正整数解。

（1）二元一次不定方程

　　对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

　　定理1：

　　二元一次不定方程

，

　　A.若其中

，则原方程无整数解；

　　B.若

，则原方程有整数解；

　　C.若

，则可以在方程两边同时除以

，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

　　如：

方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。

　　定理2：

　　若不定方程

有整数解

，则方程

有整数解

，此解称为特解。

方程

的所有解（即通解）为

（k为整数）。

（2）多元一次不定方程（组）

　　多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

　　例：

　　②－①消去x得y+2z=11   ③

　　③的通解为

，k为整数。

　　所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

　　（3）其他不定方程

　　3、核心知识使用详解

　　解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：

如因式分解、配方、换元等；　　

（2）不等式估算法：

利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；　　

　　（3）同余法：

对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；　　

　　（4）构造法：

构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；　　

　　（5）无穷递推法。

　　（6）特殊值法：

已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

1.2.5不等式问题

不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子，公务员考试中不等式问题一般只有两种类型，掌握这两个方面，就轻松掌握不等式问题。

1、题型简介

　　不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子，在公务员考试中，对不等式的考查主要有两个方面：

（1）由不等式确定未知量取值范围，

（2）均值不等式。

　　2.核心知识

　　均值不等式：

任意n个正数的算术平均数总是不小于其几何平均数。

 当且仅当

时，等号成立。

　　公务员考试中，多考查两个数或三个数的均值不等式。

（1）

       当且仅当

时等号成立。

（2）

    当且仅当

=0时等号成立。

1.2.6算式等式问题

公务员考试中的算式等式问题，主要是指由已知等式（关系式）求取相关的特定关系式的值。

这类型的题目的关键在于认真观察题干中的关系式，然后按照核心公式拆解，从而得到解题需要的关系式，这样就轻松搞定算式等式问题。

　　1、题型简介

　　公务员考试中的算式等式问题，主要是指由已知等式（关系式）求取相关的特定关系式的值。

这类型的题目的关键在于认真观察题干中的关系式，然后按照核心公式拆解，从而得到解题需要的关系式。

　　2、核心知识

（1）完全平方和（差）公式：

　　变形：

；  

；  

（2）立方和（差）公式：

　　（3）抛物线

的对称轴为

　　（4）已知f（a+x）=f（b-x），则f（x）的对称轴为：

1.2.7最值问题

在近几年的公务员考试中，最值问题主要考查的是最大值和最小值，通常只有不等式法、求导法、二次函数法三种方法，其中以不等式法为主。

只要掌握其规律及其解题技巧，便能轻松搞定该类问题（不等式法和求导法重点掌握）。

　　1、题型简介

　　最值问题一般为题目中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字样，通常采用不等式法、求导法等求最大值，最小值。

　　2、核心知识

（1）不等式法

　　正数的算术平均值不小于它们的几何平均数，即：

，当且仅当

时，等号成立；

　　a2 +b2 ≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立；

（

，当且仅当

时，等号成立）；

（

，当且仅当

时，等号成立）。

（2）求导法

　　对于未知数的指数在二次以上的函数

　　经常使用求导法求最值：

　　当

时，

　　求得的x值代人原式可以得到y的最值。

　　常见的是对二次方函数和三次方函数求导求最值，即

，

　　（3）二次函数法（了解）

　　二次函数：

　　当

时，

为最小值；

　　当

时，

为最大值。

1.2.8数列问题

公务员考试中，通常情况下考察数列问题只有两种形式：

（1）求数列的第n项，以求等差数列的第n项为主；

（2）求数列和，分式数列求和以裂项相消的题型为主。

　　无论考察哪种，只要牢牢掌握其公式及其解题技巧，就能轻松搞定数列问题。

　　1、题型简介

　　按一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的首项。

如果一个数列的第n项

与其项数n之间的关系可用式子

来表示，这个式子就称为该数列的通项。

在公务员考试中会以求数列第N项，数列求和这两种考察较多。

　　2、核心知识

（1）求第N项

（2）数列求和

　　A．单一数列求和

　　B．多个数列求和：

　　①分组求和法（重要）：

　　将原数列拆分成若干个基本数列，利用基本数列求和公式进行求和。

　　②错位相减法：

　　对于满足

的数列

其中

是等差数列，

是公比q≠1的等比数列，可以采用错位相减法,即：

的前N项和为

，

的前n项和为

，求

前n项和

，……通常在和式的两边都乘以该等比数列的公比q，然后再将得到的新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

　　③倒叙相加法：

　　如果一个数列

，与首末项等距的两项之和满足一定的规律，则可以将正反两种顺序的原数列对应项相加，同时借助于基本数列求和公式进行求解。

　　3.核心知识使用详解

　　公式推理：

（1）1+2+3+4+5+……+n=

；

（2）1+3+5+7+……+（2n-1）=

；

　　（3）

+……+

=

；

　　（4）

……+

=

；

　　（5）

+……+

=

；

　　（6）

+……+

=

=

；

　　（7）

+……+

=

。

1.2.9速算与技巧

在公务员考试中，计算能力是数量关系部分的基本能力，几乎所有题目最后都会转化成对计算规律的考查。

这一节，将向大家详细介绍计算的规律及技巧，一般来说，速算的方法只有五种，只要掌握这五种方法，就可以让你轻松掌握计算问题。

　　1、题型简介

　　速算与技巧，它不仅考查考生的计算水平，更多考查的是考生对计算方法的掌握和对计算技巧的运用能力，是数量关系部分的基础，是准确、快速解决具体问题的方法和手段。

　　2.核心知识

（1）凑整法

　　凑整法：

是根据数的特点，借助于数的组合、分解以及四则运算等规律，将几个数字凑成整十、整百、整千、整万的数，也可以把较大的数字估算为与其相近的整数，从而达到简化计算的目的，是最常用、最简便的方法。

　　常用公式：

　　加法交换律：

a+b=b+a；

　　加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）;

　　乘法交换律：

ab=ba;

　　乘法结合律：

（ab）c=a（bc）;

　　乘法分配律：

（a+b）c=ac+bc。

（2）因式分解法

　　因式分解法是把一个多项式转化为几个因式乘积的形式。

常用的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法等。

　　A．提取公因式法：

　　通过提取相同的因数或因式进行“凑整”的方法，如am+bm+cm=m（a+b+c），这是因式分解中最基本的方法。

该方法一般以求取公约数或公因式作为基础。

　　B．公式法：

　　是利用乘法公式来分解因式的方法。

公式法在后面的消去法、换元法、算式等式等部分中应用也非常广泛。

常用的乘法公式有：

　　平方差公式：

；

　　立方和（差）公式：

；

　　完全平方和（差）公式：

；

　　完全立方和（差）公式：

；

　　幂的乘方法则：

；

　　同底数幂的乘法：

；

　　同底