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复变函数与数理方程作业题
数学科学系吴昊
2014年秋季
§1复变函数与积分变换
§1.1第01次课作业
刚刚开学,大家适应一下,本次课程不布置作业。
§1.2第02次课作业(10月9日提交)
习题1.1下列式子在复数平面上各具有怎样的意义?
(并给出具体过程)
z
(1)|z−a|=|z−b|(a,b为复常数),
(2)|z|+Rez≤1,(3)Re
(1)=2.
习题1.2计算下列数值(a,b,φ为实常数,x为实变量)
(1)ii,
(2)cosφ+cos2φ+···+cosnφ,(3)sin(a+ib),(4)cos(ix).
习题1.3
(1)用复变量表示过点(1,3),(−1,4)的直线的方程;
(2)设A,C∈R,B∈C,问方程Azz∗+BZ∗+B∗z+C=0在什么条件是圆方程,并求其圆心和半径。
习题1.4已知解析函数f(z)的实部u(x,y)或虚部v(x,y),求该解析函数
(1)u=ex
x2y2
siny,
(2)u=(x2+y2)2,f(∞)=0,(3)u=lnρ,f
(1)=0.
习题1.5指出下列多值函数的支点及其阶
(1)√(z−a)(z−b),
(2)ln(z−a).
§1.3第03次课作业(10月16日提交)
习题1.6
(1)已知函数ψ(t,x)=e2tx−t2,将x作为参数,t为复变数,试应用
柯西积分公式将.
表示为回路积分。
∂nψ
∂tn.t=0
=(−1)n
x2dn
edxne
−x2.
习题1.7计算下面积分
(1)I
dz
|z|=1cosz
(2)I
dz
z2+2z+4,
|z|=1
(3)I
z3coszdz,(4)I
(4+3)dz.
|z|=2
习题1.8用积分
计算积分
|z|=4
I
dz
|z|=1z+2
z+1
z+2i
∫π1+2cosθ
dθ.
05+4cosθ
习题1.9求下列幂级数的收敛圆
∞∞
(1)
1(zi)k,
(2)
k
k=1
klnk(z−2)k,
k=1
(3)
∑k=1
k!
(z)k,(4)
∑k=1
kk(z−3)k.
§1.4第04次课作业(10月23日提交)
习题1.10在指定点z0的邻域上将下列函数展开为泰勒级数
(1)√3z,z0=i,
(2)ln(1+ez),z0=0,
(3)(1+z)1/z,z0=0,(4)sin2z,z0=0.
习题1.11在挖去奇点z0的环域上或指定环域上将下列函数展开为洛朗级数
(1)z5e1/z,z0=0,
(2)1/z2(z−1),z0=1
(3)1/(z2−3z+2)在1<|z|<2或2<|z|<∞,(4)sin(1/z)在奇点,(5)ez/z在奇点,(6)1/z2(z2−1)2在0<|z|<1或1<|z|<∞.
§1.5第05次课作业(10月30日提交)
习题1.12确定下列函数的奇点,求出函数在各奇点的留数
(1)ez/(1+z),
(2)eiz/(z2+a2),
(3)1/(z3−z5),(4)z2n/(z+1)n,(5)e1/(1−z).
习题1.13计算下列回路积分
(1)I
(2)I
dz,(ℓ的方程是x2+y2−2x−2y=0),
(z2+1)(z−21)ℓ
zdz
.
|z|=22−sinz
习题1.14计算下列实变函数定积分
∫2πdx
∫2π
sin2xdx
(3)
∫2πcosxdx
(|ε|<1),(4)
∫2π
(a>b>0),
a+bcosx
cos2nxdx.
01−2εcosx+ε20
习题1.15计算下列实变函数定积分
∫∞dx
∫∞x2dx
(3)
∞x2+1
x6+1dx,(4)
∞x2m
x2n+1dx,(m
§1.6第06次课作业(11月6日提交)
习题1.16计算下列实变函数定积分
∫∞cosx∫∞
eimx
(3)∫∞sinmxdx,(m>0,a>0),(4)∫∞xsinxdx.
习题1.17计算下列实变函数定积分
∫2πdx
∫πadx
(3)
∞x2+1
x4+1dx,(4)
−∞
∞cosmx
∞x2
(x2+a2)2dx,
∫∞sin2x
§1.7第07次课作业(11月13日提交)
{
习题1.18求下列函数的傅里叶变换
(1)f(x)=sinx,|x|≤π,
0,|x|>π.
1
(2)f(x)=a2+x2,a>0.
(3)f(x)=sin3x.(4)f(x)=eiω0xu(x).(5)f(x)=1−2δ(x)+3δ′(x).
习题1.19求函数f(x)=xe−x2的傅里叶变换,并推证
∫+∞−2
√−2
注:
该题必须写出具体推导过程,不能套用课本的例题结论。
习题1.20求下列函数的拉普拉斯变换
(1)f(x)=sh(αx),
(2)f(x)=x2+3x+2,
(3)f(x)=xneαx,(n为自然数),(4)f(x)=x2e−xsin3x,
(5)f(x)=
x
ξe−2ξsin3ξdξ,(6)f(x)=
0
0,x<0,
8,0≤x<2,
6,x≥2.
习题1.21利用拉普拉斯变换的性质,计算下列积分
(1)
∞1−cosxe−x
0x
dx,
(2)
∞x3e−x
0
sinxdx,(3)
∞sin2x
2dx.
0
§2数理方程与特殊函数
§2.1第08次课作业(无需提交)
本次课程不安排作业。
§2.2第09次课作业(无需提交)
本次课程不安排作业。
§2.3第10次课作业(12月4日提交)
习题2.1设ℓ为参数,试求出方程
∂2u∂2u2∂2u
(ℓ+x)∂x2+2xy∂x∂y−y∂y2=0
的双曲型、椭圆型与抛物型的区域,并研究它们对ℓ的依赖性。
习题2.2试选取适当的辅助函数w(x,t),使得u(x,t)满足的方程
∂tu−∂xxu+a∂xu+bu=f(x,t),a,b是常数
经过函数代换后u=vw,化成
∂tv−∂xxv=f˜(x,t)
的形式。
的形式。
习题2.3试证明在自变量代换
ξ=x−αt,τ=t
下,方程具有形式
∂tu+α∂xu=α2∂xxu
∂τu=α2∂ξξu.
习题2.4已知ui(x,t),(i=1,2,3),φ(x),ψ(x)和f(x,t)充分光滑,并且ui分别满足定解问题
Qu1=0,u1(x,0)=φ(x),∂tu1(x,0)=0,
Qu2=0,u2(x,0)=0,∂tu2(x,0)=ψ(x),
Qu3=f,u3(x,0)=0,∂tu3(x,0)=0.
这里Q=∂tt−a2∂xx为一维波动算子,假定u2=Mψ(x,t)给出上述定解问题的解,试证u1,u3可分别表为(其中fτ=f(x,τ))
∫t
习题2.5接上题,若已求得
1∫x+at
试利用上式结论求u1,u3的表达式,并由此给出定解问题
Qu=f(x,t),u(x,0)=φ(x),∂tu(x,0)=ψ(x),
解u(x,t)的表达式。
习题2.6接上题,根据u(x,t)的表达式,试证明如下结论:
(1)若φ(x),ψ(x)和f(x,t)分别满足
φ(−x)=−φ(x),ψ(−x)=−ψ(x),f(−x,t)=−f(x,t),x∈R,
则有
u(−x,t)=−u(x,t),x∈R.
(2)若φ(x),ψ(x)和f(x,t)分别满足
φ(x+L)=φ(x),ψ(x+L)=ψ(x),f(x+L,t)=f(x,t),x∈R
这里L>0为某给定常数,则有
u(x+L,t)=u(x,t),x∈R.
习题2.7在半无界区域Q¯={0≤x<∞,0≤t<∞}上考虑定解问题
∂ttua2∂xxu=f(x,t),00,
u(x,0)=φ(x),0≤x<∞,
∂xu(0,t)=g(t),t>0.
(1)选取适当的辅助函数w(x,t),使得经过函数代换后,函数v(x,t)在Q¯满足齐次边值的定解问题
∂ttva2∂xxv=f1(x,t),00,
v(x,0)=φ1(x),0≤x<∞,
∂xv(0,t)=0,t>0,
并且给出f1(x,t),φ1(x),ψ1(x)的具体形式;
(2)对f1(x,t),φ1(x),ψ1(x)作开拓,试将半无界问题转化成初值问题,并给出初值问题的具体形式;
(3)试导出半无界问题v(x,t)解的具体表达式(用f1(x,t),φ1(x),ψ1(x))表示;
(4)试讨论f,g,φ和ψ在角点(0,0)需要满足什么条件,以保证解在定解区域Q内是二次可微连续的。
习题2.8已知三维波动方程为
∂2u
2(∂2u
∂2u
∂2u)
将直角坐标转换成空间球坐标(r,θ,φ),试证明球坐标下的三维波动方程为
1∂2u
1∂
(2∂u)
1∂(
∂u)
1∂2u
§2.4第11次课作业(12月11日提交)
{
习题2.9如果已知下述常微分方程的初值问题
−y′′+y=0,x>0,y(0)=0,y′(0)=1,
{
的解为y=Y(x),试通过它写出一般初值问题
−y′′+y=f(x),x>0,y(0)=a,y′(0)=b,
解的表达式(提示:
参考齐次化原理)。
习题2.10用特征线法求解下述Cauchy问题
(1)∂tu+2∂xu=0,t>0,−∞2∂tu=∂xuxu,t>0,x2
u(x,0)=2xe2,−∞
习题2.11若u=u(x,y,z,t)是波动方程初值问题
∂ttu−a2(∂xxu+∂yyu+∂zzu)=0,u(x,y,z,0)=f(x)+g(y),
∂tu(x,y,z,0)=φ(y)+ψ(z),
的解,试求解的表达式。
{
习题2.12试求解波动方程的古尔萨(Goursat)问题
∂ttu−a2∂xxu=0,
u|x−at=0=φ(x),u|x+at=0=ψ(x),φ(0)=ψ(0).
{
习题2.13若u=u(x,t)是一维热传导方程初值问题
∂tu−a2∂xxu=f(x,t),(x,t)∈R×R+
u(x,0)=φ(x),x∈R
的解,且φ(x)和f(x,t)分别满足
φ(−x)=φ(x),f(−x,t)=f(x,t),x∈R,
试证明
u(−x,t)=u(x,t),x∈R.
{
习题2.14利用傅里叶变换方法求解以下定解问题
∂tu−a2∂xxu−b∂xu−cu=f(x,t),−∞0,u(x,0)=φ(x),−∞习题2.15求解下列积分方程
(1)φ(t)=
∫t
(2)
0
t
∫
φ(τ)dτ+1,
0
习题2.16用积分变换法求解
∂2u
∂x∂y
=1,x>0,y>0,
u(0,y)=y+1,y≥0,
u(x,0)=1,x≥0.
§2.5第12次课作业(12月18日提交)
习题2.17对于位势方程的Neumann问题
−△u=f(x,y),(x,y)∈Ω,
∂u
∂n|∂Ω=0,
试推导出Green函数G(x,y;ξ,η)和u(ξ,η)满足的关系,并导出G(x,y;ξ,η)满足的偏微分方程及边界条件。
习题2.18求以下特征值问题的特征函数:
(1)X′′(x)+λX(x)=0,0(2)X′′(x)+λX(x)=0,0(3)X′′(x)+λX(x)=0,0X(0)=X′(ℓ)+hX(ℓ)=0(h>0为常数).
习题2.19试用分离变量法在区域Q={(x,t)|00}中给出下列定解问题的形式解:
(1)
(2)
u(0,t)=u(ℓ,t)=0,t≥0,
u(x,0)=sin2πx,∂tu(x,0)=x(ℓ−x),0≤x≤ℓ.
u(0,t)=∂xu(ℓ,t)=0,t≥0,
u(x,0)=x(x−2ℓ),∂tu(x,0)=0,0≤x≤ℓ.
(3)
(4)
(5)
(6)
∂ttu−a2∂xxu+u=0,(x,t)∈Q,
∂xu(0,t)=∂xu(ℓ,t)=0,t≥0,
u(x,0)=1,∂tu(x,0)=1,0≤x≤ℓ.
∂ttu−a2∂xxu=0,(x,t)∈Q,
∂xu(0,t)=∂xu(ℓ,t)+hu(ℓ,t)=0,t≥0,(其中h>0)
u(x,0)=cosπx,∂tu(x,0)=0,0≤x≤ℓ.
u(x,0)=1,0≤x≤ℓ,u(0,t)=u(ℓ,t)=0,t>0.
∂tu−a2∂xxu=0,00,
u(x,0)=sinx,0≤x≤π,
∂xu(0,t)=∂xu(π,t)=0,t>0.
习题2.20弦两端固定在x轴的x=0及x=ℓ上,在点x=c处向上拉起h(注:
0习题2.21试求解热传导逆过程
∂tu−a2∂xxu=0,0u(x,T)=φ(x),0≤x≤ℓ,
这里
∞
φ(x)=φk
k=1
∞
sin(kπx/ℓ)=sin(kπx/ℓ),k2
k=1
的形式解(不考虑解的收敛性)u(x,0)。
§2.6第13次课作业(12月25日提交)习题2.22设u(x,t)适合定解问题
∂ttu−a2∂xxu=g,00,u(0,t)=0,∂xu(ℓ,t)=Sρ,t≥0,
u(x,0)=φ(x),∂tu(x,0)=0,0≤x≤ℓ.
其中g,S,ρ,E都是常数,将以上问题化为齐次方程齐次边界条件的定解问题。
习题2.23设u(x,t)适合定解问题
∂ttua2∂xxu=f(x,t),00,
−∂xu(0,t)+αu(0,t)=µ1(t),t≥0,
u(x,0)=φ(x),∂tu(x,0)=ψ(x),0≤x≤ℓ.
试引进辅助函数,对以下两种情况
(1)α>0,β>0,
(2)α=β=0,
将边界条件齐次化。
习题2.24试用分离变量法在区域Q={(x,t)|00}中给出下列定解问题的形式解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
u(0,t)=0,u(ℓ,t)=B,t≥0,
u(x,0)=Bx,∂tu(x,0)=0,0≤x≤ℓ.
∂xu(0,t)=Asin(ωt),u(ℓ,t)=0,t≥0,
u(x,0)=1,∂tu(x,0)=0,0≤x≤ℓ.
∂tu−a2∂xxu=0,(x,t)∈Q,
u(x,0)=0,0≤x≤ℓ,u(0,t)=0,u(ℓ,t)=At,t>0.
∂tu−a2∂xxu=0,(x,t)∈Q,
u(x,0)=0,0≤x≤ℓ,
∂xu(0,t)=0,∂xu(ℓ,t)=q,t>0.
∂tu−a2∂xxu=x(ℓ−x),(x,t)∈Q,u(x,0)=sinπx,0≤x≤ℓ,
u(0,t)=0,∂xu(ℓ,t)=1,t>0.
(6)
∂tu−a2∂xxu+h(u−U0)=0,(x,t)∈Q,u(x,0)=φ(x),0≤x≤ℓ,
∂xu(0,t)=∂xu(ℓ,t)=0,t>0.
在上面各小题中,A,B,q,ω,h,U0均为常数;特别提示,问题
(2)要分情况讨论。
习题2.25设Ω={(x,y)|0(1)在Oy轴上温度的值为v0,在∂Ω的其它边上温度的值为0;
(2)在x=a,y=b上绝热,在x=0,y=0上的温度的值分别为0与1;
(3)在x=a,y=b上温度的值为0,而
πyπx
u|x=0=Asinb,u|y=0=Bsina,
其中A,B为常数。
习题2.26已知特征值问题
R′′(r)+1R′(r)+λR(r)=0,0r0
R′(r0)=0,|R(0)|<∞.
试证明特征值λ≥0。
习题2.27将分离变量形式的特解
u(r,φ,z)=R(r)Φ(φ)Z(z),
代入到柱坐标系下的拉普拉斯方程
1∂(∂u)1∂2u∂2u
利用分离边界法和周期边界条件
Φ(φ+2π)=Φ(φ),
试推导出R(r)满足的二阶常微分方程。
§2.7第14次课作业(1月1日提交)
习题2.28对于m阶Bessel方程(m>0)
2d2ydy22
考虑级数解
xdx2+xdx+(x−m)y=0,
()
y(x)=xca0+a1x+···+akxk+···,
根据x的各次幂系数为零,可得到一系列恒等式。
根据前两个恒等式
(c2−m2)a0=0,和((c+1)2−m2)a1=0,
分别考虑c=m−1和c=−m,试给出相应的级数解形式Jm(x)和J−m(x);并证明当m不为整数时Jm(x)和J−m(x)线性无关。
习题2.29试证明Bessel函数的递推公式
d(xmJdxm
(x))=xmJ
m−1
(x),dx−mJ
(
dxm
(x))=−x−mJ
m+1
(x),
Jm−1(x)+Jm+1(x)=2mx−1Jm(x),Jm−1(x)−Jm+1(x)=2Jm′(x).
习题2.30试证明y=xJm(x)是方程
2d2ydy22
的一个解。
xdx2−xdx+(1+x−m)y=0,
习题2.31用J0(x)和J1(x)表示如下各式
(1)J4(x),
(2)∫x4J1(x)dx,(3)J3′(x).
习题2.32利用递推公式证明
(1)J(x)=J′′(x)−1J′(x),
(2)J(x)+3J′(x)+4J′′(x)=0.