数学竞赛预赛试题及参考答案1.docx
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数学竞赛预赛试题及参考答案1
2012年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】
（A）2,3,1（B）2,2,1（C）1,2,1（D）2,3,2
【答】A．
解：
完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．
2．已知一次函数
的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【】
（A）
（B）
（C）
（D）
【答】C．
解：
一次函数
的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以
解得
．
3．如图，在⊙O中，
，给出下列三个结论：
（1）DC=AB；
（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【】
（A）0（B）1
（C）2（D）3
【答】D．
解：
因为
，所以DC=AB；因为
，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB=x度，则由△DAB的内角和为180°得：
，解得
．
4.有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】
（A）
（B）
（C）
（D）
【答】B．
解：
从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是
.
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，点B的坐标是
，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共
有【】
（A）2个（B）3个
（C）4个（D）5个
【答】D．
解：
由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=
，可得
，
以点B为圆心BA的长为
半径画弧，交y轴于点C3和C4，
可得
，AB的
中垂线交y轴于点C5，利用
三角形相似或一次函数的知识
可求出
．
6．已知二次函数
（
为常数），当
取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型
抛物线），这条抛物线的解析式是【】
（A）
（B）
（C）
（D）
【答】A．
解：
的顶点坐标是
，
设
，
，由
得
，
所以
．
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．若
，则
的值为．
【答】7．
解：
．
8．方程
的解是．
【答】
．
解：
.
∴
，解得
.
9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），
若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转
90°得到线段
，则点
的坐标是．
【答】
．
解：
分别过点A、
作x轴的垂线，垂足分别为C、D．
显然Rt△ABC≌Rt△B
D．
由于点A的坐标是
，
所以
，
，所以点的
坐标是
．
10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，
是以点A为圆心2为半径的
圆弧，
是以点M为圆心2为半径的
圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为．
【答】2．
解：
连接MN，显然将
扇形AED向右平移可
与扇形MBN重合，
图中阴影部分的面积
等于矩形AMND的面积，
等于
．
11．已知α、β是方程
的两根，则
的值为．
【答】
．
解：
∵α是方程
的根，∴
．
∴
，
又∵
∴
=
．
12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．
【答】36．
解：
利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则
≤145，解得
≤36，所以小朋友的人数最多有36个．
三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）
13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？
解：
设王亮出生年份的十位数字为
，个位数字为
（x、y均为0~9的整数）．
∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．
故应分两种情况：
…………………2分
（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为
，依题意，得
，
整理，得
x、y均为0~9的整数，
∴
此时
∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分
（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为
，依题意，得
，
整理，得
，故x为偶数，又
∴
∴
此时
∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁．…………………14分
综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分
14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是
、
，点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是
，设直线PQ的解析式为
．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线
的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．
解：
（1）直线
经过P
，∴
．
∵B
，A
，BD=BA，
∴点D的坐标是
，
∴BD的解析式是
依题意，得
，∴
∴
解得
……………………………7分
（2）
且k为最大整数，∴
.
则直线PQ的解析式为
.……………………………9分
又因为抛物线
的顶点坐标是
，对称轴为
．
解方程组
得
即直线PQ与对称轴为
的交点坐标为
，
∴
．解得
．………………………15分
15.如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是
上一动点，
BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
（1）求证：
四边形EPGQ是平行四边形；
（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明
是定值．
解：
（1）证明：
如图
，
∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，
∴四边形OABC是矩形．
∴
．
∵E、G分别是AB、CO的中点，
∴
∴四边形AECG为平行四边形.
∴
………………4分
连接OB，
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，
∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，
∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分
（2）如图
，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．
此时∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE．……8分
∴
．
设OA=x，AB=y，则
∶
=
∶
，得
．……………10分
又
，即
．
∴
，解得
．
∴当OA的长为
时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分
（3）如图③，连结GE交PQ于
，则
．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点
、
．
由△PCF∽△PEG得，
∴
=
=
AB，
=
GE=
OA，
∴
．
在Rt△
中，
，
即
，又
，
∴
，
∴
……………………………………18分
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