高考全国1卷理科数学试题与答案word精校解析版1.docx

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高考全国1卷理科数学试题与答案word精校解析版1

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）

理科数学

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置•用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑•

2、选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效•

3、填空题和解答题的作答：

用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•

4、选考题的作答：

先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑•答案写在答题

卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交•

第I卷

一.选择题：

本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

2.设（1+i）x=1+yi,其中x,y是实数，贝Ux+yi=

（A）1（B）2（C）3（D）2

3.已知等差数列'a/1前9项的和为27,31^8,则3100=

（A）100

（B）99（C）98（D）97

4.某公司的班车在7:

00,8:

00,8:

30发车，小明在7:

50至8:

30之间到达发车站乘坐班车，且到

达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

1

（A）3

（B）2

5•已知方程

2一2

mn3m-n

=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为

4,则n的取值范围是

（A）-1,3（B）-1,、、3（C）0,3（D）0^.3

6.如图，某几何体的二视图是二个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是2土,则它的表面积是

3

（A）17二（B）18二（C）20二（D）28

7.函数y=2x2在1-2,21的图像大致为

（C）（D）

8.若ab1,c：

：

1,则

cccc

（A）a:

:

:

b（B）ab:

:

:

ba（C）alogbc:

:

:

blogac（D）logac.：

logbc

9.执行右面的程序框图，如果输入的x=0,y=1,n=1，则输出x,y的值满足

（A）y=2x（B）y=3x（C）y=4x（d）y=5x

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线

于D、E两点.已知|AB|=4j2,|DE|=2.5,则C的焦点到准线的距

离为

（A）2（B）4（C）6（D）8

11.平面：

•过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,〉//平面CB1D1,

:

I平面ABCD=m,〉l平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为

（A）f（B）f（C）f（D）-

2233

“IIHJIJC

12.已知函数f（x）二sin（，x+J（，0,_—）,x为f（x）的零点，x=；为y=f（x）图

像的对称轴，且f（x）在丄，土单调，则••的最大值为

匕836丿

（A）11

（B）9（C）7

（D）5

二、填空题：

本大题共3小题,每小题5分

13.设向量a=（m,1），b=（1,2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.

14.（2x「、x）5的展开式中，x3的系数是•（用数字填写答案）

15.设等比数列、an*满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料

1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

三•解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分为12分）

lABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（I）求C;

.3{3

（II）若^,7ABC的面积为A,求ABC的周长.

面abef为正方

2

18.（本小题满分为12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中

形，AF=2FD,.AFD=90；,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.

（I）

证明：

平面ABEF—平面EFDC;

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种

机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数丰

损零件数

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2

台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（X乞n）-0.5,确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪

个？

22

20.（本小题满分12分）设圆xy，2x-15=0的圆心为A,直线I过点B（1,0）且与x轴不重合，I交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E

（I）证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线I交C1于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

re"2

21.（本小题满分12分）已知函数fx=x-2ex，ax-1有两个零点

（I）求a的取值范围；（II）设xi,X2是fx的两个零点，证明：

x1x^：

：

2.

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1:

几何证明选讲

1

如图，△OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以0为圆心，一OA为半径作圆

2

（I）证明：

直线AB与O0相切;

（II）

点C,D在O0上，且A,B,C,D四点共圆，证明：

AB//CD.

23.（本小题满分10分）选修4—4:

坐标系与参数方程

x=acost

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为（t为参数,a>0）.

[y=1+asint

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:

p=4COS^.

（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为->0,其中：

0满足tan：

'0=2,若曲线G与C2的公共点都在C3上，求a.

24.（本小题满分10分）选修4—5:

不等式选讲

已知函数f（x）=x+1—2x—3.

（I）画出y=fx的图像;

（II）求不等式f（xj>1的解集

1

2016年高考全国1卷理科数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

C

B

A

A

D

C

C

B

A

B

2f3）

1.A={xX2—4x+3co}={x1exc3},B={x2x—3>o}=fxx>-卜

3故AriB=』x—£X£3

I2J

故选D.

x-1fx-1

2.由1ix=1yi可知：

xxi=1yi，故，解得：

.

lx=y7=1

所以，x•yi=x2•y2=2.

故选B.

3.由等差数列性质可知：

S9—1邑=9205-9a5=27,故Os=3,

22

而a1o=8,因此公差d=色°05=1

10—5

•・0|00-O1090d=98.

故选C.

4.如图所示，画出时间轴：

7:

307:

407:

508:

008:

108:

208:

30

*・■■■■

小明到达的时间会随机的落在图中线段

ACDB

AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才

能保证他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率P二匹卫二1

402

故选B.

22

5y2=1表示双曲线，贝Vm2n3m2-n］-0

m亠n3mn

由双曲线性质知：

c2=m2•n］亠［3m2-n=4m2,其中c是半焦距

•焦距2c=22m=4,解得m=1

二T：

：

：

n：

：

3

故选A.

6.原立体图如图所示：

1

是一个球被切掉左上角的1后的三视图

8

表面积是-的球面面积和三个扇形面积之和

8

7212

S=4：

：

；22+322=17…

84

故选A.

7.f2i=8-e28-2.820,排除A

.word可编辑.

f2=8—e2：

：

：

8-2.72：

：

:

1,排除B

x0时，fx=2x2-exfx=4x-ex,

8.对A:

由于0：

：

：

c函数y=xc在R上单调递增，因此ab.1：

=acbc,A错误

对B:

由于-1：

：

:

C-1：

：

:

0,•••函数y=xC丄在1,；上单调递减，

「•ab1uac，:

:

:

bc」ubac:

:

:

abc,B错误

对C:

要比较alogbc和blogac,只需比较包竺和blnC,只需比较-lnC和,只需InbInablnbalna

blnb和alna

构造函数fx=xlnxx.1,贝Uf'x=lnx110,fx在1,%八;上单调递增，

11

因此fai，fbi，0：

=alnablnb0：

=

'*'*alnablnb

lnclnc

又由0：

：

c：

：

1得lnc■.0,•blogac:

:

alogbc,C正确

alnablnb

要比较logac和logbc,只需比较lnc和叵

InaInb

.—1

lnb

而函数y=|nx在1,：

；上丁?

上单调递增，故ab.1：

=lna・lnb•0：

=

lna

又由―1得20,•貯瓷UgCgC,D错误

故选C.

9.如下表:

循环节运

行次数

x（x=x+2!

y（y=ny）

判断

x2+y2兰36

是否

输出

n（n=n+1）

运行前

0

1

/

/

1

第一次

0

1

否

否

2

第二次

1

2

2

否

否

3

第三次

3

2

6

是

是

3

输出x,y=6,满足y=4x

故选C.

10.

以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理

设抛物线为

y2=2pxp0,

题目条件翻译如图

设Axo,2.2，

D滲

点AXo,2..2在抛物线y2=2px上,

•••8=2pxo……①

点D5在圆

22p2

yr上，•^I2=r

设圆的方程

点AXo,22在圆

11.

联立①②③解得：

故选B.

如图所示:

•••〉//平面CBDi

=4,焦点到准线的距离为

C

•••若设平面CBDin

ABCD=n\,贝ym1/m

又••平面ABCD//平面ABGDi,结合平面BDiCPl平面ABGD=BDi

.•B1D1/mi,故B1D1/m

同理可得：

CDiIIn

故m、n的所成角的大小与BDi、CDi所成角的大小相等，即.CD1B1的大小.

3而BC二BDi=CDi（均为面对交线），因此ZCDiBi，即sin/CDiBi=

32

故选A.

12.由题意知

-n.+=k1n

4

n.+=k2n+n

42

则.=2k1,其中k•Z

5n5：

n.T

・f（x）在18,36单调，5T18UW2

f（x）在誌递增，在爲递减，不满

接下来用排除法

若-11,--n,此时f（x）二sinlllx-

4I4丿

足f（x）在|上,冬单调

11836丿

若•=9,=n,此时f（x）=sinI9xn,满足f（x）在|二弐单调递减

4I4丿匕836丿

故选B.

13.-214.1015.6416.216000

13.由已知得：

am1,3

•••?

+彳='a|+迪=（m+1$+32=m2+12+12+22,解得m=—2.

14.设展开式的第k1项为Tk1,k，S,1,2,3,4,5*

•Tk十=C：

（2x厂（寂）=&25匕5刁.

k5-^

当53时，k=4,即T5=。

525代2=10x3

故答案为10•

构造线性规则约束为

目标函数z=2100x900y

17.解：

⑴2cosCacosBbcosA二c

由正弦定理得：

2cosCsinAcosBsinBcosA=sinC

2cosCsinAB=sinC

•••ABC=n,

A、B、C可0,n

/•sinAB二sinC0

•cc,1

•・2cosC=1,cosC

2

•CO,n

7二a2b2-2ab-

2

2

ab3ab-7

S」absinC3ab

24

•・ab二6

-2

•ab]T8=7

ab二5

•△ABC周长为ab7

18.解：

（1）•/ABEF为正方形•AF—EF

•AFD=90

•AF_DF

•••DF“EF=F

AF_面ABEF

••平面ABEF—平面EFDC

⑵由⑴知

ZDFE/CEF=60

TABIIEF

AB二平面EFDC

EF二平面EFDC

•••ABII平面ABCD

AB二平面ABCD

••面ABCD"面EFDC=CD

•ABIICD

•••CDIIEF

••四边形EFDC为等腰梯形

以E为原点，如图建立坐标系，设FD二a

E0,0,0BO,2a，0

C2,0,

2

A2a，2，0

EB=0,2a，

■2a，笃

I

AB--2a，0，0

设面BEC法向量为m=x，y，z.

2ayi=0mEB=0‘

即a

mBC=0x-2ay

4

设面ABC法向量为n=冷，y2，Z2

inBC=0lax—2ay3az0

.即2X22ay22

nAB2ax2=0

n=[0，3，4

设二面角E_BC_A的大小为x

•••二面角E_BC-A的余弦值为一2卫

19

由题知PA]=PAi「=PA4]=PB1]=PB3i^PB4]=0.2，PAB2=0.4

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18,

19,20,21,22

PX=16二PAPB1=0.20.2=0.04

PX=17]=PA1PB2PA2PB11=0.20.40.40.2=0.16

PX=18]=PA1PB3PA2PB2PA3PB1]=0.20.20.20.20.40.4=0.24

PX=19]=PA1PB4PA2PB3PA3PB2PA4PB1]=0.20.20.20.20.40.2

0.20.4=0.24

PX=20严PA2PB4PA3PB3PA4PB2产0.40.20.20.40.20.2=0.2

Px=21=PA3PB4PA4PB3=0.20.20.20.2=0.08

Px=22=PA4PB4=0.20.2=0.04

X

16

17

18

19

20

21

22

P

0.04

0.16

0.24

0.24

0.2

0.08

0.04

⑵要令Pxwn>0.5,70.040.160.24：

：

0.5,0.040.160.240.24>0.5

则n的最小值为19

⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足

时额外购买的费用当n=9时，费用的期望为192005000.210000.0815000.04=4040

当n=20时，费用的期望为202005000.0810000.04=4080

所以应选用n=19

20.

（1）圆A整理为（x+1$+y2=16,A坐标（T,0）,如图,

:

'BE//AC,则/C二/EBD,由AC=AD,则/D二/C,

.ZEBD=ZD,贝UEB=ED

AEEB=AEED二AD=4

22

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为—y1,（y“）;

43

22

Xy

⑵C1:

1;设I:

x=my1,

143

因为PQ丄I，设PQ:

y=—mx_1，联立|与椭圆G

x=my1

I22

xy

1

43

2236m2363m2412m21邓匕1m皿一心.1m、3m2.4

圆心A到PQ距离d」乎-1j'=|2ml,

71+m2筋+m2

21.（I）f'（x）=（x—1）ex+2a（x—1）=（x—1）（ex+2a）.

（i）设a=0,则f（x）=（x-2）ex,f（x）只有一个零点

（ii）设a0,则当x（-=1）时，f'（x）：

：

0；当x（1,=）时，f'（x）0.所以f（x）在（-=1）上单调递减，在（1,匸：

）上单调递增.

又f

（1）--e,f

（2）二a,取b满足b<0且blna,则2

a223

f（b）（b-2）a（b-1）2二a（b2b）0,

故f（x）存在两个零点.

（iii）设a<0,由f'（x）=0得x=1或x=In（—2a）.

e

若a,则In（_2a）_1,故当x（1,=）时，f'（x）•0,因此f（x）在（1「：

）上单调递

增.又当x乞1时，f（x）：

：

：

0，所以f（x）不存在两个零点.

e

若a,则In（_2a）1,故当x（1,In（-2a））时，f'（x）:

:

0；当x（In（_2a）,二）时，2

f'（x）0.因此f（x）在（1,In（-2a））单调递减，在（In（-2a）,二）单调递增.又当x乞1时，

f（x）：

：

0,所以f（x）不存在两个零点.

综上，a的取值范围为（0,=）.

（「）不妨设为沐2,由（I）知xr（」：

，1）,X2（1,二）,2乜（」：

1）,f（x）在（-二，1）

上单调递减，所以x1x2:

:

:

2等价于f（论）•f（2-x2）,即f（2-x2）：

：

：

0.

由于f（2-x2）--x2e2」2a（x2-1）2,而f（x2）=（x2-2）e'a（x2-1）2=0,所以

f（2-X2）=-x?

e2-（X2-2）e><2.

设g（x）二-xe2"-（x「2）ex,则g（x）=（x-1）（e2^-ex）.

所以当x・1时，g（x）：

：

：

0,而g

（1）=0,故当x1时，g（x）：

：

：

0.

从而g（x2）=f（2-x2）：

：

0,故论x2：

：

2.

22•⑴设圆的半径为r,作OK—AB于K

••OA=OB,-AOB=120

OA

•••OK_AB,A=30,OK=OAsin30=°^=r

2

•AB与OO相切

⑵方法一：

假设CD与AB不平行

CD与AB交于F

FK=FCFD①

TA、B、C、D四点共圆

•••FCFD=FAFB=]FK-AKFKBK

•••AK=BK

•••FCFD二FK-AKFKAK二FK2-AK2②由①②可知矛盾•ABIICD

方法二：

因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为

为OA=OB,TA=TB,所以0,T为AB的中垂线上，同理OC=OD,TC=TD,所以0T为CD的中垂线,所以AB//CD.

23•⑴x二acost仁均为参数）

y=1asint

•x2yd"2①

r222

•••C1为以0,1为圆心，a为半径的圆•方程为xy-2y・1-a-0

•x2'y2-『2,y-：

?

sinr•「2-2「sin「1-a2=0即为C1的极坐标方程

⑵C2:

Q=4cosv

两边同乘P得0=4Pcos日P2=x2+y2,Pcos^=x

2i222

xy=4x即X-2y=4②

.word可编辑.

C3:

化为普通方程为y=2x

由题意：

Ci和C2的公共方程所在直线即为C3

①一②得：

4x—2y・1—a2=0,即为C3

•'1-a二0「.a二1

24•⑴如图所示:

f

x-4,xw-1

3

⑵fx二3x-2,-1■■:

x：

：

-

2

3

4-x,x》一I2

f（x卜1

当