数字规律题.docx
《数字规律题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数字规律题.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数字规律题
数字规律题(总9页)
数字规律题
规律探析问题,是近几年中考数学里比较经典的考点问题。
数字规律问题的探析,就是其中的一个重要分支。
1、数列型数字问题探找规律
例1、有一组数:
1,2,5,10,17,26,……,请观察这组数的构成规律,用你发现的规律确定第8个数为.
解析:
仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点,不难发现如下;
第一个数是1,第二个数数1+1,第三个数是1+1+3,第四个数是1+1+3+5,第五个数是1+1+3+5+7,第六个数是1+1+3+5+7+9,
为了使规律凸显的明显,我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式,为1+0,
这样,就发现数字1是固定不变的,规律就蕴藏在新数列0,1,4,9,16中,而0,1,4,9,16这些数都是完全平方数,并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差,即1=1+(1-1)2,2=1+(2-1)2,5=1+(3-1)2,10=1+(4-1)2,17=1+(5-1)2,
26=1+(5-1)2,这样,第n个数为1+(n-1)2,找到数列变化的一般规律后,就很容易求得任何一个序号的数字了。
因此,第八个数就是当n=8时,代数式1+(n-1)2的值,此时,代数式1+(n-1)2的值为1+(8-1)2=50。
所以,本空填50。
例2、古希腊数学家把1,3,6,10,15,21,……,叫做三角形数,根据它的规律,则第100个三角形数与第98个三角形数的差为199
解析:
本题中数列的数字,不容易发现其变化的规律。
我们不妨利用函数的思想去试一试。
当序号为1时,对应的值是1,有序号和对应的数值构成的点设为A,则A(1,1);
当序号为2时,对应的值是3,有序号和对应的数值构成的点设为B,则B(2,3);
当序号为3时,对应的值是6,有序号和对应的数值构成的点设为C,则C(3,6);
因为,
,
,所以有:
成立,所以,对应的数值y是序号n的二次函数,因此,我们不妨设y=an2+bn+c,
把A(1,1),B(2,3),C(3,6)分别代入y=an2+bn+c中,
得:
a+b+c=1,4a+2b+c=3,9a+3b+c=6,解得:
a=
,b=
,c=0,
所以,y=
n2+
n,因此,当n=100时,y=
×1002+
×100,
当n=98时,y=
×982+
×98,因此(
×1002+
×100)-(
×982+
×98)=199,所以该空应该填199。
2、图示型数字问题探找规律
例3、为庆祝“六
一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比
赛.如图所示:
按照上面的规律,摆
个“金鱼”需用火柴棒的根数为()
A.
B.
C.
D.
解:
第一个图需要火柴的根数是8,有序号和对应的数值构成的点设为A,则A(1,8);
第二个图需要火柴的根数是14,有序号和对应的数值构成的点设为B,则B(2,14);
第三个图需要火柴的根数是20,有序号和对应的数值构成的点设为C,则C(3,20);
因为,
,
,所以有:
成立,所以,每个图形中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数,因此,我们不妨设y=kn+b,
把A(1,8),B(2,14)分别代入y=kn+b中得:
k+b=8,2k+b=14,解得:
k=6,b=2,
所以,y=6n+2。
因此选A。
例4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。
依此规律,第5个图案中小正方形的个数为_______________。
解析:
仔细观察第一个图,正方形的个数为1,第二个图形中正方形的特点是中间是3个,左右两边各一个,即为1+3+1个,第三个图形中正方形的特点是中间是5个,左右分别是1+3个,即为1+3+5+3+1,分析到这里,相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。
是的,第n个图形中正方形的个数为1+3+5++(2n-1)++5+3+1=2n2-2n+1,这样,第5个图形中正方形的个数,也就是当n=5时,代数式2n2-2n+1的值,所以,代数式的值为:
2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41个。
所以,本空填50。
例5、按如下规律摆放三角形:
则第(4)堆三角形的个数为_____________;第(n)堆三角形的个数为_____________.
解析:
仔细观察第一个图形,三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个,左右两边各2个,即为2+(2+2)+2个,第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个,左右分别是3个,即为3+(3+2)+3,分析到这里,相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。
是的,第n个图形中三角形的个数为n+(n+2)+n=3n+2,这样,第4个图形中三角形正方形的个数,也就是当n=4时,代数式3n+2的值,所以,代数式的值为:
3n+2=3×4+2=14个。
所以,本题的两个空分别填14和3n+2。
例6、柜台上放着一堆罐头,它们摆放的形状见右图:
第一层有2×3听罐头,第二层有3×4听罐头,第三层有4×5听罐头,……
根据这堆罐头排列的规律,第n(n为正整数)层有 听罐头(用含n的式子表示)。
解析:
仔细观察图形,第一层有2×3听罐头,对应的序号为1,第一个数字2与序号1的关系是序号+1,第二个数字是3,它与序号的关系是序号+2;第二层有3×4听罐头,对应的序号为2,第一个数字3与序号的关系是序号+1,第二个数字是4,它与序号的关系是序号+2;第三层有4×5听罐头,对应的序号为3,第一个数字4与序号的关系是序号+1,第二个数字是5,它与序号的关系是序号+2;分析到这里,相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。
是的,第n层中有(n+1)(n+2)听罐头,即n2+3n+2。
所以,本题的空填n2+3n+2。
例7、下列图中有大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第
幅图中共有个。
解析:
仔细观察第一个图形,有一个菱形,第二个图形中有3个菱形,第三个图形中有5个菱形,………仔细观察这些数的特点,恰好是奇数构成的数列,由此,就清楚了变化的规律了。
所以,第n个图形中有2n+1个菱形。
3、恒等式型数字问题探找规律
例8、试观察下列各式的规律,然后填空:
……
则
_______________。
解析:
要想找到式子的变化规律,同学们应该仔细观察式子的特点,找出式子中,哪些量是在固定不变的,哪些量是在不断变化。
这对解题很关键。
仔细观察式子,不难发现等式左边中的(x-1)是个固定不变的量。
左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的,且多项式的次数等于对应等式的序号数,即第一个等式中的多项式的次数是1,第二个等式中的多项式的次数为2,所以,第n个等式中的多项式的次数为n,这是等式左边的变化规律;
等式右边的规律,容易找些,多项式中的常数项是保持不变的,字母x的指数随等式的序号变化而变化,且满足字母x的指数等于等式的序号加1。
所以,第10个等式的结果为
。
例9、观察下列各式:
……依此规律,第n个等式(n为正整数)为 。
解析:
要想找到式子的变化规律,同学们应该仔细观察式子的特点,找出式子中,哪些量是在固定不变的,哪些量是在不断变化。
这对解题很关键。
等式左边底数的特点是,个位数字都5,是个不变的量,十位数字与对应的序号一致,分别是1、2、3、4…………;
等式右边的特点是:
第一个数字与对应的序号是一致的,括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和;第三个数字又是一个固定的常数100;第四个数字是常数5的平方,也是固定不变的。
通过分析,我们知道在这里对应的序号是问题的根本。
而第n个等式的序号为n,所以第n个等式应该是:
(10n+5)2=n(n+1)×100+52。
例10、观察下列等式:
第一行 3=4-1
第二行 5=9-4
第三行 7=16-9
第四行 9=25-16
… … 按照上述规律,第n行的等式为____________
解析:
等式的左边的特点是:
奇数3、5、7、9…,
这些奇数可以用对应的序号表示,3=2×1+1,5=2×2+1,7=2×3+1,9=2×4+1,
其中1、2、3、4等恰好是对应的序号,所以,第n个奇数为2n+1,这样,我们就把等式左边的规律找出来了;
等式右边的特点是:
被减数为4、9、16、25、…恰好是22,32,42,52,…等对应的幂,幂的底数与对应的序号的关系是:
底数=对应序号+1,这样,我们就又找到了一部分规律,
第n个被减数为(n+1)2;
减数分别为1、4、9、16…恰好是12,22,32,42,…等对应的幂,幂的底数与对应的序号的关系是:
底数=对应序号,这样,我们就又找到了一部分规律,第n个减数为n2;
所以,本题的变化规律为:
2n+1=(n+1)2-n2。
例11、观察下列各式:
请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来。
解:
仔细观察我们发现,等式的左边的特点是:
被开方数中,第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数,第二个加数是一个分数,且分子都是1,是固定不变的,这就是一条规律;分母分别是3、4、5、6………,这些数与第一个加数的关系是:
分母=第一个加数+2,这是第二规律;
等式的右边的特点是:
二次根式的系数分别是2、3、4、5、………,这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是:
二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1,这是右边的第一个规律;而被开方数也是一个分数,且分子是1,保持不变,这是一条规律,分数中的分母与左边分数中分母一样。
这是第二条规律。
这样的话,因为,第n个等式中的第一个加数为n,所以,第n个等式为:
=(n+1)
。
4、幂指数型数字问题探找规律
例12、已知:
21=2,22=4,23=8,24=16、25=32,…………………,
仔细观察,式子的特点,根据你发现的规律,则22008的个位数字是:
A)2B)4C)6D)8
解析:
仔细观察,不难发现,当幂的指数能被4整除时,这个数的个位数字是6,当被4除,余数是3时,这个数的个位数字为8,当被4除,余数是2时,这个数的个位数字为4,当被4除,余数是1时,这个数的个位数字为2,所以,问题解决的关键,就是看幂的指数被4除的情形就可了。
我们知道2008是能被4整除的,所以,22008的个位数字是6,
所以,选C。
5、排列型数字问题探找规律
例13、把正整数1,2,3,4,5,……,按如下规律排列:
1
2,3,
4,5,6,7,
8,9,10,11,12,13,14,15,
… … … …
按此规律,可知第n行有 个正整数
解析:
仔细观察各行数字的个数,不难发现,第一行有1个数字,第二行有2个数字,第三行有4个数字,第四行有8个数字,再用我们前面所用的方法,我们就不容易找到变化的规律了。
我们不妨换一种思路。
利用幂指数的思想试一试。
由于第一个数字是1,联想到任何不是零的数的任何次幂都是1,所以,指数0=序号1-1,又因为第二行有2个数字,第三行有4个数字,第四行有8个数字,这些数字都是偶数,所以底数一定是偶数,是2、或4或6等等,但是,第二个数为2,指数等于2-1=1,所以,底数为2,这样,我们就找到规律,第n行中的数字个数为
。
例14、将正整数按如图所示的规律排列下去。
若用有序实数对(
,
)表示第
排,从左到右第
个数,如(4,3)表示实数9,则(7,2)表示的实数是 。
解析:
仔细观察各行数字的个数,不难发现,第一行有1个数字,第二行有2个数字,第三行有3个数字,第四行有4个数字,……第n行有n个数字,这是第一条变化规律;我们再来观察一下,每一行最后的一个数字的特点,不难发现,第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2,第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行数字2+第三行数字个数3;因此,第n行的最后一个数字=1+2+3+4+…………+n=
,
所以,第六行最后的数字为:
=
=21,所以,第七行的第一个数字为22,第二个数字位23,因为(7,2)的意义就是第七行第二个数的意思,所以,(7,2)表示的实数是 23。
6、图表型数字问题探找规律
例15、观察表1,寻找规律.表2是从表1中截取的一部分,其中
的值分别为()。
表1 表2
1
2
3
4
……
2
4
6
8
……
3
6
9
12
……
4
8
12
16
……
……
……
……
……
……
16
20
30
A.20,25,24B.25,20,24C.18,25,24D.20,30,25
解析:
仔细观察图表的结构,发现第n行,第m列的交叉处的数恰好是n与m的积。
结合表1,就知道数c在六行,四列的交叉处,所以c的数值为6×4=24;a在四行,五列的交叉处,所以a的数值为4×5=20;b在五行,五列的交叉处,所以b的数值为5×5=25;
所以,选A。
董义刚