偏微分方程习题及答案.docx
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偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案
【篇一：
偏微分方程数值解法期末考试题答案】
题答案及评分标准
学年学期：
专业：
班级：
课程：
教学大纲：
使用教材：
教材作者：
出版社：
数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社
一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x）10、（o）
二、选择题（每小题2分，共10分）11、（d）12、（a）13、（c）14、（b）15、（c）
三、填空题（每小题2分，共20分）
?
2?
2
16、2?
2?
?
x1?
x2?
2
?
217、a=[459;23517;11231]18、y=exp（-t/3）*sin（3*t）?
xn
19、help20、zeros（m,n）21、inva（a）*b或者a/b22、a=sym（[cos（x-y）,sin（x+y）;exp（x-y）,（x-1）^3]）
?
（s）?
1?
（s）?
c[?
?
（s）]2?
023、a[?
2（s）]2?
2b?
2
24
?
?
?
?
v（?
）ed?
25、
i?
x
u（xj,tn?
1）?
u（xj,tn）
?
四、计算题：
（每小题12分，共36分）
?
u?
u
?
0（x?
r,t?
0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?
a
?
t?
x
格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式?
?
?
/h为网格比。
解：
在点（xj,tn）处，差分方程为
?
1un?
unjj
?
?
a
n
unj?
1?
uj
h
?
0（j?
0,?
1,?
2,
，n?
0,1,2,
）（8分）
便于计算的形式为
?
1nnn
?
?
?
/h（4分）un?
u?
a?
（u?
ujjj?
1j），
?
u?
2u
?
a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?
t?
x
计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，?
?
?
/h2为网格比。
解所给对流扩散方程的近似差分方程为
?
1nnun?
ununjjj?
1?
2uj?
uj?
1
?
a?
0（j?
0,?
1,?
2,，n?
0,1,2,）（8分）?
h2
便于迭代计算的格式为
?
1nnnn2
，（4分）?
?
?
/hun?
u?
a?
（u?
2u?
u）jjj?
1jj?
1
?
1nn
28、计算差分格式un（其中?
?
?
/h，a?
0）的增长?
unjj?
a?
（uj?
1?
uj），
因子，并根据vonneumann条件给出差分格式稳定性条件。
nnijkhn?
1nnn
解令uj?
ve，代入uj?
uj?
a?
（uj?
1?
uj），得到
vn?
1eijkh?
vneijkh?
a?
vn（1?
e?
ikh）eijkh
消去公因子有
vn?
1?
[1?
a?
（1?
e?
ikh）]vn（6分）
增长因子为
g（?
k）?
1?
a?
（1?
e?
ikh）?
1?
a?
（1?
coskh）?
a?
isinkh
所以有
kh2
如果a?
?
1，则有|g（?
k）|?
1，根据vonneumann条件，格式是稳定的。
（6分）
|g（?
k）|2?
[1?
a?
（1?
coskh）]2?
[a?
isinkh]2?
1?
4a?
（1?
a?
）sin2
五、证明题（12分）
29、把下列richardson格式改写为与其等价的二层差分格式，利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了vonneumann条件，从而证明此格式不稳定。
2?
1?
1nn
un?
un?
2a?
（unjjj?
1?
2uj?
uj?
1），?
?
?
/h证明把已知的三层格式化为二层差分方程组
n?
1nnnn?
?
uj?
vj?
2a?
（uj?
1?
2uj?
uj?
1）
?
n?
1n
?
?
vj?
uj
nnt
令unj?
[uj,vj]，则以上方程组可以改写为
n?
1nnn
?
?
?
?
?
?
?
?
uuuu?
2a?
0?
4a?
02a?
0?
?
?
?
?
?
jj?
1jj?
1n?
1
uj?
?
n?
1?
?
?
?
?
n?
?
?
10?
?
n?
?
?
00?
?
n?
（4分）00?
?
?
?
?
?
?
?
vj?
?
?
?
vj?
1?
?
?
?
vj?
?
?
?
vj?
1?
?
或
?
2a?
0?
n?
?
4a?
0?
n?
2a?
0?
n
u?
?
?
uj?
1?
?
10?
uj?
?
00?
uj?
100?
?
?
?
?
?
nikjh
令un，代入上式消去公因子eikjh，得到j?
vje
n?
1
j
?
2a?
0?
ni（j?
1）kh?
?
4a?
0?
nijkh?
2a?
0?
ni（j?
1）kh
ve?
?
?
?
?
vje?
vje?
?
00?
vje0010?
?
?
?
?
?
?
?
2a?
0?
ikh?
?
4a?
0?
?
2a?
0?
?
ikh?
nijkh?
?
?
e?
?
?
?
e?
vje（4分）?
?
?
?
10?
?
00?
?
?
00?
?
化简系数矩阵得到
?
?
2kh?
8a?
sin1?
vnvn?
1?
?
2?
?
10?
?
其特征值为
kh?
1,2?
?
4a?
sin22取正的为?
1，则有
kh
|?
1|?
1?
4a?
sin2
2
由此不满足vonneumann条件，所有richardson格式是不稳定的。
（4分）
n?
1ijkh
j
六、编程题（12分）：
30、用matlab的m文件的形式（function函数）写出以下迭代格式的计算程序。
?
1nn
?
?
?
/hun?
unjj?
a?
（uj?
1?
uj），初始条件为u（x,0）?
sin?
x,0?
x?
1，u（0,t）?
u（1,t）?
0,t?
0。
解设a为方程中的系数a，tao为时间步长?
，h为空间步长，n，m分别为时间和空间的最大计算步数。
function函数如下function[u]=jch（a,tao,h,n,m）%u=1;t=0.5;x=1;
lamda=tao/h;forj=1:
n
x（j+1）=x（j）+tao;forn=1:
m
t（n+1）=t（n）+h;ifj==1
u（j,n）=sin（pi*x（j））;else
ifn==1
u（j,n）=0;else
u（j,n）=（1-a*lamda）*u（j,n-1）+a*lamda*u（j-1,n-1）;%u（j,n）=0;endendendendend
【篇二：
《常微分方程》答案习题5.2】
2—0202412—03
?
t2
1.试验证?
?
t?
=?
?
2t
t?
?
1?
1?
?
x?
2?
x,x=?
1?
?
x2?
t?
?
是方程组x
?
0
=?
?
2
2?
?
t
，在任何不包含原点的区间a?
t?
b上
的基解矩阵。
?
t2?
?
解：
令?
?
t?
的第一列为?
1（t）=?
?
2t?
?
?
?
2t?
这时?
（t）=?
?
2?
?
?
?
1
?
0=?
?
2?
2?
t1?
2?
?
t?
?
1（t）故
?
1?
?
0?
?
1（t）是一个解。
同样如果以?
2（t）表示?
?
t?
第二列，我们有?
2（t）=?
?
?
?
?
0?
2?
?
2?
t
1?
2?
?
2?
t?
=
（t）这样?
2（t）也是一个解。
因此?
?
t?
是解矩阵。
又因为
det?
?
t?
=-t2故?
?
t?
是基解矩阵。
2.考虑方程组x=a（t）x（5.15）其中a（t）是区间a?
t?
b上的连续n?
n矩阵，它的元素为a（t）,i,j=1,2,…,n
ij
a）如果x1（t）,x2（t）,…,xn（t）是（5.15）的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式w[x1（t）,x2（t）,…,xn（t）]?
w（t）满足下面的一阶线性微分方程w=[a11（t）+a22（t）+…+ann（t）]w
b）解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：
w（t）=w（t0）e
x11
?
t[a11（s）?
a22（s）?
...ann（s）]ds
0t
t0,t?
[a,b]
x12x22.xn2
x12x22.xn2
..........
x1nx2n.xnn
x11
..........
x1nx2n.xnn
x11x12x22.?
2xn
..........
x1nx2n.?
xnn
解：
w（t）=
x21.xn1
+
x21.xn1
+…+
x21.?
1xn
=
a11x11?
a12x21?
..a1nxn1
x21.xn1
x11
a11x12?
a12x22?
...?
a1nxn2
x22.xn2
x12x22.
an1x21?
..?
annxn2
x11
x12x22.annxn2
..........
....................
a11x1n?
a12x2n?
...?
a1nxnn
x2n.xnn
x1nx2n.
an1xnn?
...?
annxnnx1nx2n.
+…+
x21.
an1x11?
...?
annxn1
=
a11x11x21.xn1
a11x12x22.xn2
..........
a11x1nx2n.xnnx11
x12x22.xn2
..........
+…+
x21.annxn1x1nx2n.xnn
整理后原式变为
annxnn
（a11+…+ann）
x21.xn1
=（a11+…+ann）w（t）
=（a11（t）+…+ann（t））w（t）
b）由于w（t）=[a11（t）+…+ann（t）]w（t）,即两边从t0到t积分lnw（t）=w（t0）e
?
t0[a11（s）?
...?
ann（s）]ds
t
dw（t）w（t）
w（t0）
=[a11（t）+…+ann（t）]dt=?
t
t
w（t）
-ln
[a11（s）?
...?
ann（s）]ds
即
t?
[a,b]
3.设a（t）为区间a?
t?
b上的连续n?
n实矩阵，?
?
t?
为方程x=a（t）x的基解矩阵，而x=?
（t）为其一解，试证：
a）对于方程y=-at（t）y的任一解y=?
（t）必有?
t（t）
?
（t）=常数；
b）?
（t）为方程y=-at（t）y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵c，使?
t（t）解a）[
?
t
?
（t）=c.
?
t
（t）
?
（t）]=
?
?
?
（t）+
?
t
t
?
（t）=
?
t
?
（t）+
?
t
（t）a（t）?
又因为?
=-at（t）[
?
t
（t），所以?
t
=-?
t（t）a（t）
?
t
（t）
?
（t）]=-（t）
?
（t）a（t）+（t）a（t）
?
（t）=0,
所以对于方程y=-at（t）y的任一解y=?
（t）必有?
t（t）b）“?
”假设为方程y=-at（t）y的基解矩阵，则[
?
?
t
?
（t）=常数
（t）
?
（t）]=[?
?
t
（t）]?
?
t?
+?
t
（t）
?
?
t
（t）=[-at（t）
?
（t）]?
?
t?
+
t
（t）at（t））?
?
t?
+
t
t
（t）[a（t）
?
（t）]=-（t）at（t）?
?
t?
+?
（t）at（t）
?
?
t?
=0,故?
（t）
?
（t）=c
?
“?
”若存在非奇异常数矩阵c，detc?
0,使?
t（t）则[
?
?
?
t
（t）=c，
t
（t）
?
?
t
（t）]=
?
t
t
?
（t）+
?
t
?
（t）=0，故?
t
（t）?
（t）=-
?
?
t
（t）
（t）a（t）
t
（t）=-
?
（t）a（t）所以?
（t）=-
?
t
（t）a（t）,（t）=-
（t）at（t）即?
（t）为方程y=-at（t）y的基解矩阵
4.设?
?
t?
为方程x=ax（a为n?
n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?
（0）=e），证明:
?
?
t?
?
?
1
（t0）=?
（t-t0）其中t0为某一值.
证明：
（1）?
?
t?
?
（t-t0）是基解矩阵。
（2）由于?
?
t?
为方程x=ax的解矩阵，所以?
?
t?
?
?
1（t0）也是x=ax的解矩阵，而当t=t0时，?
（t0）?
?
1（t0）=e,
?
（t-t0）=?
（0）
=e.故由解的存在唯一性定理，得?
?
t?
?
?
1（t0）=?
（t-t0）
5.设a（t）,f（t）分别为在区间a?
t?
b上连续的n?
n矩阵和n维列向量，证明方程组x=a（t）x+f（t）存在且最多存在n+1个线性无关解。
证明：
设x1,x2,…xn是x=a（t）x的n个线性无关解，
x
是
x=a（t）x+f（t）的一个解，则x1+x,x2+x,…,xn+x,x都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数ci,（i=1,2,…,n）使得?
ci（xi
i?
1n
?
x）
+cn?
1
x
=0,从而x1+x,x2+x,…,
xn+x,x在a?
t?
b上线性相关，此与已知矛盾，因此x1+x,x2+x,…,xn+x,x线性无关，所以方程组x=a（t）x+f（t）存在且最多存在n+1个线性无关解。
6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：
x?
a（t）x?
f1（t）
x?
a（t）x?
f2（t）
的解，则x1（t）?
x2（t）是方程组
x?
a（t）x?
f1（t）?
f2（t）
的解。
证明：
x
?
a（t）x?
f1（t）
（1）
x?
a（t）x?
f2（t）
（2）
分别将x1（t）,x2（t）代入
（1）和
（2）则x则x
1
?
a（t）x1?
f1（t）
x2?
a（t）x?
f2（t）
1
?
x2?
a（t）[x1（t）?
x2（t）]?
f1（t）?
f2（t）
[x1（t）?
x2（t）]?
a（t）[x1（t）?
x2（t）]?
f1（t）?
f2（t）
令x?
x1（t）?
x2（t）
x?
a（t）x?
f1（t）?
f2（t）
即证
7．考虑方程组x
?
2a?
?
?
0
1?
?
2?
?
ax?
f（t），其中
?
x1?
x?
?
?
?
x2?
2t2t
?
sint?
f（t）?
?
?
?
cost?
a）试验证
?
e2t
?
（t）?
?
?
0
tee
?
?
?
是x
?
ax
的基解矩阵；
?
1?
?
的解?
（t）。
?
1?
?
b）试求x?
ax?
f（t）的满足初始条件?
（0）?
?
证明：
a）首先验证它是基解矩阵
以?
1（t）表示?
（t）的第一列
?
2e2t
则?
1（t）?
?
?
0?
?
e2t
?
1（t）?
?
?
0?
?
?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
0?
?
1?
?
e2t?
?
?
2?
?
?
0
?
?
2
?
?
?
?
?
0?
?
1?
?
?
1（t）2?
?
故?
1（t）是方程的解
如果以?
2（t）表示?
（t）的第二列
?
e2t?
2te2t
我们有?
2（t）?
?
2t?
2e?
?
te2t
?
2（t）?
?
?
e2t?
?
?
2?
?
?
?
?
0?
?
?
?
?
?
1?
?
?
2（t）2?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
0?
?
1?
?
te2t
?
?
?
2t2?
?
e?
故?
2（t）也是方程的解从而?
（t）是方程的解矩阵又det?
（t）?
故?
（t）是x
e
2t
tee
2t2t
?
ax
?
e
4t
?
0
的基解矩阵；
的解
?
1?
b）由常数变易公式可知，方程满足初始条件?
（0）?
?
?
?
?
1?
?
（t）?
?
（t）?
?
1`
（0）?
?
?
（t）?
?
t
?
1
f（s）ds
而?
?
1
（t）?
?
e2t?
?
0?
e
?
tee
4t
2t
2t
?
?
?
?
?
1?
?
?
0?
2t
?
t?
?
2t
?
e1?
?
2t2t
?
（1?
t）e
?
?
（t）?
?
?
?
e2t?
2t
?
?
e?
?
?
?
?
0?
?
tee
?
t?
e?
?
?
?
0?
0?
?
?
2s
?
see
?
2s
?
2s
11?
1?
2t
（?
15t?
27）e?
cost?
sint?
?
?
?
sins?
252525?
?
?
?
ds?
?
?
?
coss?
3212t?
?
?
?
?
?
e?
cost?
sint?
?
555?
?
8、试求x
?
2
a?
?
?
0
?
ax?
f（t），其中1?
?
2?
?
x1?
x?
?
?
?
x2?
?
0?
f（t）?
?
2t?
?
e?
满足初始条件
【篇三：
偏微分方程数值解习题解答案】
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