高等数学下册试题及答案解析docx.docx
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高等数学（下册）试卷
（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、z=
loga（x2
y2）（a0）的定义域为D=
。
2、二重积分
ln（x2
y2）dxdy的符号为
。
|x||y|1
3、由曲线
y
lnx及直线
x
y
e1，y
1所围图形的面积用二重积分表示
为
，其值为
。
4
L的参数方程表示为
x
（t）
（
x
）,
则弧长元素
ds
。
、设曲线
y
（t）
5、设曲面∑为x2
y2
9介于z
0及z
3间的部分的外侧，则
（x2
y2
1）ds
。
6、微分方程dy
y
tan
y的通解为
。
dx
x
x
7、方程y（4）
4y
0的通解为
。
8、级数
1
的和为
。
n
1n（n
1）
二、选择题（每小题
2分，共计
16分）
1、二元函数z
f（x,y）在（x0,y0）处可微的充分条件是（
）
（A）f（x,y）在（x0,y0）处连续；
（B）fx（x,y），fy（x,y）在（x0,y0）的某邻域内存在；
（C）
z
fx（
x0,y0）
xfy（x0,y0）y当
（x）2
（
y）2
0时，是无穷小；
（D）lim
z
fx（x0,y0）x
fy（x0,y0）y
0。
2
2
x
0
（
x）
（y）
y
0
2、设u
yf（x）
xf（y）,其中f具有二阶连续导数，则
x
2u
y
2u
等于（
）
y
x
x2
y2
（A）x
y；
（B）x；
（C）y；
（D）0
。
3、设
：
x2
y2
z2
1,z
0,则三重积分I
zdV等于（
）
（A）42d
2d
1
3sincosdr；
r
0
0
0
2d
d
1
dr；
（B）
r2sin
0
0
0
2
2d
1
3sin
cos
dr；
（C）
d
r
0
0
0
2
d
1
3sin
cos
dr。
（D）
d
r
0
0
0
4、球面x2
y2
z2
4a2与柱面x2
y2
2ax所围成的立体体积
V=（
）
（A）42d
2acos
4a2
r2dr；
0
0
（B）42d
2acos
r4a2
r2dr；
0
0
（C）82d
2acos
r4a2
r2dr；
0
0
（D）
2d
2acos
r4a2
r2dr。
0
2
5、设有界闭区域D由分段光滑曲线
L所围成，L取正向，函数P（x,y）,Q（x,y）在D上
具有一阶连续偏导数，则
Pdx
Qdy（
）
L
（A）
（
P
Q）dxdy
D
y
x
（C）
（
P
Q）dxdy
D
x
y
；（B）（QP）dxdy；
Dyx
；（D）（QP）dxdy。
Dxy
6、下列说法中错误的是（
）
（A）
方程xy
2y
x2y
0
是三阶微分方程；
（B）
dy
x
dy
方程y
ysinx是一阶微分方程；
dx
dx
（C）
方程（x2
2xy3）dx
（y2
3x2y2）dy0是全微分方程；
（D）
方程dy
1x
2y是伯努利方程。
dx
2
x
7、已知曲线y
y（x）经过原点，且在原点处的切线与直线
2xy
60平行，而y（x）
满足微分方程y
2y
5y
0，则曲线的方程为y
（
）
（A）
exsin2x；
（B）ex（sin2xcos2x）；
（C）ex
（cos2xsin2x）；
（D）exsin2x。
8、设limnun
0,
则
un（
）
n
n1
（A）收敛；
（B）发散；
（C）不一定；
（D）绝对收敛。
三、求解下列问题（共计
15分）
1、（7分）设
f,g均为连续可微函数。
u
f（x,xy）,v
g（xxy），求
u,
u。
x
y
2、（8分）设u（x,t）
x
t
u,
u。
x
f（z）dz，求
t
x
t
四、求解下列问题（共计
15分）。
2
2
y
2
1、计算Idx
e
dy。
（7分）
0
x
2、计算I
（x2
y2）dV，其中
是由x2
y2
2z,z1及z
2所围成的空间
闭区域（8分）。
五、（13分）计算I
xdy
ydx
，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经
L
x
2
y
2
过原点O（0,0）的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意
x,y,f（x）满足方程f（xy）
f（x）f（y）
，且f（0）存在，求
1
f（x）f（y）
f（x）。
七、（8分）求级数
（1）n（x2）2n1
的收敛区间。
n1
2n1
高等数学（下册）试卷
（二）
一、填空题（每小题
3分，共计
24分）
1、设2sin（x
2y
3z）
x
2y
3z，则
z
z
。
x
y
3
9
xy
2、lim
xy
。
x
0
y
0
3、设I
2
2x
f（x,y）dy，交换积分次序后，
I
dx
。
0
x
4、设f（u）为可微函数，且
f（0）
0,则lim
13
f（x2
y2）d
。
t
0
t
x2
y2
t2
5、设L为取正向的圆周x2
y2
4，则曲线积分
y（yex
1）dx
（2yex
x）dy
。
L
6、设A
（x2
yz）i（y2
xz）j
（z2
xy）k，则divA
。
7、通解为y
c1ex
c2e2x
的微分方程是
。
8、设f（x）
1,
x
0
展开式中的an
1,
0
x
，则它的Fourier
。
二、选择题（每小题
2分，共计
16分）。
1、设函数f（x,y）
xy2
x2
y2
0
x2
y4
则在点（0，0）处（
）
0,
x2
y2
0
（A）连续且偏导数存在；
（B）连续但偏导数不存在；
（C）不连续但偏导数存在；
（D）不连续且偏导数不存在。
2、设u（x,y）在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足
2u
及
2u
2u
0，
0
x2
y2
xy
则（
）
（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；
（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；
（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；
（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。
3、设平面区域D：
（x
2）2
（y
1）2
1，若I1
（x
y）2d
，I2
（x
y）3d
D
D
则有（
）
（A）I1
I2；
（B）I1
I2；
（C）I
1
I2；
（D）不能比较。
4、设
是由曲面z
xy,y
x,x
1
及z
0所围成的空间区域，则
xy2z3dxdydz
=（
）
（A）1；
（B）1；
（C）1
；
（D）1。
361
362
363
364
5、设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
x
（t）
（
t
），
y
（t）
其中
（t）,
（t）在[,
]上具有一阶连续导数，且
2（t）
2（t）
0，则曲线积
分
f（x,y）ds
（
）
L
（A）
f（
（t）,
（t））dt；
（B）
f（
（t）,（t））
2（t）
2（t）dt
；
（C）
f（
（t）,
（t））
2（t）
2（t）dt；（D）
f（（t）,（t））dt。
6、设
是取外侧的单位球面
x2
y2
z2
1，
则曲面积分
xdydz
ydzdx
zdxdy=（
）
（A）0；
（B）
2
；（C）
；（D）
4
。
7、下列方程中，设
y1,y2是它的解，可以推知y1
y2也是它的解的方程是（
）
（A）yp（x）yq（x）0；（B）yp（x）yq（x）y0；
（C）yp（x）yq（x）yf（x）；（D）yp（x）yq（x）0。
8、设级数
an为一交错级数，则（
）
n1
（A）该级数必收敛；
（B）
该级数必发散；
（C）该级数可能收敛也可能发散；
（D）若an0（n
0），则必收敛。
三、求解下列问题（共计
15分）
1、（8分）求函数u
ln（x
y2
z2）在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数f（x,y）x2y（4x
y）在由直线x
y6,y0,x0所围成的闭
区域D上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计
15分）
1、（7分）计算I
dv
是由x0,y
0,z0及xyz1
3，其中
（1x
yz）
所围成的立体域。
2、（8分）设
f（x）为连续函数，定义
F（t）
[z2
f（x2
y2）]dv，
其中
（x,y,z）|0zh,x2
y2
t2，求dF。
dt
五、求解下列问题（
15分）
1、（8分）求
x
x
（esiny
my）dx（ecosym）dy
Aa
0
I
，其中
L是从
L
（
，）经
yaxx2到O（0，0）的弧。
2、（7分）计算I
x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中
是x2
y2
z2（0za）
的外侧。
六、（15分）设函数（x）具有连续的二阶导数，并使曲线积分
[3（x）2（x）xe2x]ydx（x）dy与路径无关，求函数（x）。
L
高等数学（下册）试卷（三）
一、填空题（每小题
3分，共计
24分）
1、设u
yzt2
dt，则
u
。
e
z
xz
、函数f（x,y）
xysin（x
2y）在点（，）处沿
l（1,2）
的方向导数
2
00
f
（0,0）=
。
l
3、设
为曲面z1
x2
y2,z0所围成的立体，如果将三重积分
I
f（x,y,z）dv化为先对
z再对y最后对x三次积分，则I=
。
4
、设f（x,y）为连续函数，则Ilim1
2
f（x,y）d
，其中
t0
t
D
D:
x2
y2
t2。
5
、（x2
y2）ds
，其中L:
x2
y2
a2。
L
6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果
函数P（x,y,z），Q（x,y,z），R（x,y,z）在
上具有一阶连续偏导数，
则三重积分与
第二型曲面积分之间有关系式：
，该关系
式称为
公式。
7
、微分方程y
6y
9y
x2
6x
9的特解可设为y*
。
8
、若级数
（1）n
1
p
。
np
发散，则
n
1
二、选择题（每小题
2分，共计
16分）
1
、设fx（a,b）存在，则lim
f（x
a,b）
x
f（a
x,b）=（
）
x
0
1
（A）fx（a,b）；（B）0；（C）2fx（a,b）；（D）
fx（a,b）。
2
2
、设z
xy2
，结论正确的是（
）
（A）
2z
2z
0；
（B）
2z
2z
0；
xy
yx
xy
yx
（C）
2z
2z
0；
（D）
2z
2z
0。
xy
yx
xy
yx
3、若f（x,y）为关于x的奇函数，积分域
D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2，f（x,y）
在D上连续，则
f（x,y）d
（
）
D
（A）0；（B）2
f（x,y）d
；（C）4
f（x,y）d
；（D）2
f（x,y）d。
D1
D1
D2
4、设
：
x2
y2
z2
R2，则（x2
y2）dxdydz=（
）
（A）8
R5；
（B）4
R5；
（C）8
R5；
（D）16
R5。
3
3
15
15
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线
L，在点（x,y）处的线密度为
（x,y），则曲线弧
Ｌ的重心的x坐标x为（）
（Ａ）x=1
x（x,y）ds；（B）x=
1
x（x,y）dx；
M
L
M
L
（C）x=x
（x,y）ds；
（D）x=
1
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