参考七年级数学上册第4章4.docx

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参考七年级数学上册第4章4

（参考）2019年七年级数学上册第4章4

4.3.3　余角和补角

情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣

图4－3－58

情景导入　举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇，是一座由白色云石建成的古塔．该塔发生倾斜但斜而不倒，比萨因此远近闻名．比萨斜塔始建于1173年，从地面到塔顶高55米，自建成以后曾发生多次倾斜，常人只凭眼睛也能察觉．意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，开创了实验物理的新时代，斜塔也因而更加闻名遐迩．意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜，但到目前为止未能成功．你知道斜塔的倾角是多少度吗？

你能用什么方法测量呢？

某位游客设计的测量斜塔倾角的方案是：

将斜塔看成一条线段OA在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B，画出直线OB，想办法测出了∠AOB＝85度，然后让学生思考：

（1）斜塔OA倾斜了多少度？

（2）斜塔OA与OC所成的角是多少度？

（3）斜塔OA与OB所成的另外一个角即∠AOD是多少度？

[说明与建议]说明：

从学生的兴趣着手，激发学生的探究欲望，给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，让学生注重观察生活，知道数学来源于生活，并服务于生活．建议：

让学生自由组合，相互讨论，活跃课堂气氛，从他们的兴趣入手，让学生无形中参与到课堂的活动中，在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质．

复习导入　（课件演示）计算：

（1）44°＋46°＝__90_°__；

（2）30°20′34″＋59°39′26″＝__90_°__；

（3）10°＋25°＋55°＝__90_°__；（4）96°＋84°＝__180_°__；

（5）58°45′＋121°15′＝__180_°__．

学生计算并回答，总结它们的特点．

[说明与建议]说明：

通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫．建议：

教师应关注：

计算的准确性，学生是否认真观察并思考．

[命题角度1]直接运余角与补角的概念求角的度数

在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算．注意互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一个是锐角，另一个是钝角；也可能两个角都是直角．

例　求35°42′角的余角和补角的度数．

解：

余角的度数为90°－35°42′＝54°18′；其补角的度数为180°－35°42′＝144°18′.

[命题角度2]根据余角、补角的性质说理的问题

余角、补角的性质是：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．这个性质也为说明两个角相等提供了思路．认真观察分析图形，挖掘出图形中隐含的数量关系是关键．

例1　已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？

说说理由．

解：

由∠1与∠2互补，∠3和∠4互补，得∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又∠1＝∠3，根据等角的补角相等，可知∠2＝∠4.

图4－3－59

例2　如图4－3－59，点E，O，A在同一直线上，∠AOB＝∠COD＝90°，那么图中与∠AOD互补的角为__∠DOE，∠BOC__．

[解析]因为∠DOE＋∠AOD＝180°，所以∠DOE与∠AOD互为补角．根据∠AOB＝∠COD＝90°，可得出∠DOE＝∠BOC，所以∠BOC＋∠AOD＝180°，所以∠BOC与∠AOD互为补角．这样，∠AOD的补角有两个分别是：

∠DOE，∠BOC.

[命题角度3]用角度表示方向

方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的．特殊的方位角如下：

　　例　如图4－3－60，OA表示什么方向的一条射线？

并画出表示下列方向的射线．

（1）北偏西60°；

（2）南偏东30°；（3）西南方向．

图4－3－60

　　　图4－3－61

[答案：

OA表示北偏东30°的射线　

（1）射线OB　

（2）射线OC　（3）射线OD（如图4－3－61所示）]

P138练习

1．图中给出的各角中，哪些互为余角？

哪些互为补角？

[答案]10°与80°互为余角；30°与60°互为余角；10°与170°互为补角；30°与150°互为补角；60°与120°互为补角；80°与100°互为补角．

2．一个角是70°39′，求它的余角和补角．

[答案]余角：

90°－70°39′＝19°21′，补角：

180°－70°39′＝109°21′.

3．∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？

[答案]设这个角为x°，则它的补角为180°－x°.根据题意，得3x＝180－x，解这个方程，得x＝45.所以∠α＝45°.

4．一个角是钝角，它的一半是什么角？

[答案]锐角．

P139习题4.3

复习巩固

1．如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？

[答案]6小时，12小时．

2．凭你的感觉画出30°，45°，90°，120°，135°的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？

[答案]略．

3．计算：

（1）48°39′＋67°31′；　　

（2）21°17′×5.

[答案]

（1）116°10′；

（2）106°25′.

4．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1________∠3；

如果∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1________∠3.

[答案]＝　>

5．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且∠DBC＝∠ECB＝31°，求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？

[答案]∠ABC＝2∠DBC＝2×31°＝62°，∠ACB＝2∠ECB＝2×31°＝62°.所以∠ABC＝∠ACB.

6．按图填空：

（1）∠AOB＋∠BOC＝________；

（2）∠AOC＋∠COD＝________；

（3）∠BOD－∠COD＝________；

（4）∠AOD－________＝∠AOB.

[答案]

（1）∠AOC；

（2）∠AOD；（3）∠BOC；（4）∠BOD.

7．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？

[答案]延长AO或BO，先量出∠AOB的补角的度数，再计算出∠AOB的度数．

8．按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：

（1）北偏西30°；

（2）南偏东60°；

（3）北偏东15°；

（4）西南方向（南偏西45°）．

[答案]

（1）如图所示，射线OA表示北偏西30°；

（2）如图所示，射线OB表示南偏东60°；

（3）如图所示，射线OC表示北偏东15°；

（4）如图所示，射线OD表示西南方向．

综合运用

9．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．

（1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？

[答案]

（1）∠BOD＝70°；

（2）∠AOB＝40°.

10．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？

如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）?

[答案]360°÷15＝24°；360°÷22≈16°22′.

答：

齿轮有15个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为24°；有22个齿时，其夹角约为16°22′.

11．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？

在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？

在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？

[答案]在

（1）中∠α与∠β互余；在

（2）（3）中∠α与∠β相等；在（4）中∠α与∠β互补．

12．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向．试在图中确定这艘船的位置．

[答案]如图所示，图中O点即为这艘船的位置．

13．

（1）互余且相等的两个角，各是多少度？

（2）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？

[答案]

（1）都是45°；

（2）90°.

拓广探索

14．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？

[答案]图略，每一个四边形的另一个角都等于135°.

规律：

四边形的四个内角的和为360°.

15．

（1）图

（1）中，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3，并计算∠1＋∠2＋∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？

（2）类似地，量出图

（2）中∠1，∠2，∠3，∠4，计算∠1＋∠2＋∠3＋∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？

综合

（1）

（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？

[答案]

（1）∠1＋∠2＋∠3＝360°.发现：

无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外角的和都为360°.

（2）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，发现：

无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和都为360°.

综合

（1）

（2）发现，多边形的外角和都为360°

[当堂检测]

1.下列说法:

（1）互余的两个角都是锐角;

（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互余;（4）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°;

（5）钝角只有余角、没有补角.其中正确的有（　）

A．一个B.两个C.三个D.四个

2.小明站在小颖的北偏东４０°，则小颖在小明的（　　　）

Ａ.东偏北４０°　Ｂ.东偏北５０°

Ｃ.南偏西５０°Ｄ.南偏西４０°

3.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β=_____,∠α的补角

∠γ=_____.

4.如图所示，，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC的余角是______________.

5.一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数.

参考答案：

1.Ｂ

2.Ｄ

3.50°29′129°31′

4.∠BOC或∠AOD

5.40°

[能力培优]

专题一角的个数与表示

1.下列说法中正确的个数是（　　）

①由两条射线组成的图形叫做角，②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，③角的两边是两条射线，④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3

个角；画2条射线，图中共有6

个角；画3条射线，图中共有10

个角，求画n条射线所得的角的个数．

专题二钟面上的角度问题

3.4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）

A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对

4.如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是9

时12

分．

5.周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重

合的，下午2点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条

直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？

几点钟回到家？

共用了多少时间？

专题三角的折叠与拼接

6.一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：

既不重叠又不留空隙）（　　）

A．75°B．105°C．120°D．125°

7．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE=35025′则∠ACB=_________.

8.如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和C′E重合，折痕是GE，你得到的∠GEF是直角吗？

为什么？

专题四角的和、差、倍、分

9.已知α、β是两个钝角,计算的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不

同的答案分别为24°、48°、76°、86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（）．

A．86°B．76°C．48°D．24°

10.计算：

11.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，

求∠AOC的度数.

12.已知∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数.

13.已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.

（1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数;

（2）在如图①中，若∠AOC=，直接写出∠DOE的度数（用含的代数式表示）;

（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.

①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在∠AOC的内部有一条射线OF,满足：

∠AOC－4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,试确定∠AOF与

∠DOE的度数之间的关系，说明理由.

专题五余角、补角、方位角

14．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（　　）

A．45°B．60°C．90°D．180°

15.如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是北偏东70°

；

（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°

；

（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是南偏西50°

；

（4）在

（1）、

（2）、（3）的条件下，∠COE=160°

．

16.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．

17.如图所示：

点O是直线AB上的一点，OE平分，OD平分。

求：

（1）的度数；

（2）图中互余的角有多少对？

请把它们写出来.（一定要仔细哦!

）

知识要点：

1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360°.

3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.

4.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.

5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.

温馨提示：

1.与角有关的注意事项：

（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.

（2）角的大小与边的长短粗细无关．

（3）放大镜不能改变角的度数.

（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”．

2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.

（1）度分秒加法：

度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；

（2）度分秒减法：

度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″；

（3）度分秒乘法：

计算结束后，满60进一；60″就相当于1′,60′就相当于1°.

（4）度分秒除法：

余1°就相当于60′，余1′就相当于60″．

3.余角与补角中的注意事项：

（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；

（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．

（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角.

（4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）×°”．

方法技巧：

1.在已知角内画n条射线所得的角的个数为：

1+2+3+…+（n+1）=.

2.时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题

的基本工具．

3.用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、

120°、135°、150°、165°、180°．共12个角.

4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角．

5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.

答案：

1.B解析:

①角是有公共端点的两条射线所构成的图形,故①错误；②角的大小与边的长短

无关，只与两条边张开的角度有关，故②正确；③角的两边是两条射线，故③正确；④把一

个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故④错误．

2.解：

因为在已知角内画1条射线，图中共有3个角，即1+2=3个角；在已知角内画2条射线，图中共有6个角，即1+2+3=6个角；在已知角内画3条射线，图中共有10个角，即1+2+3+4=10个角所以在已知角内画n条射线所得的角的个数为：

1+2+3+…+（n+1）=.

3.B解析：

因为4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：

30°×2=60°，时针转动4×30°=125°，所以4点10分时，分针与时针的夹角是125°－60°=65°.

4.9时12分解析：

由图可知，时针过1个大格线，走过×60=12分钟，所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分．

5.解：

设8点x分时针与分针重合，则：

6x－0.5x=180+60，解得：

x=．

所以约8点43分时莉莉出门去姥姥家．

设2点y分时，时针与分针方向相反．则：

6x－0.5x=180+60，解得：

y=．

所以约2点43分时莉莉回家.所以共用了6个小时．

6.D解：

一副三角板的度数分别为：

30°、60°、45°、45°、90°，因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．

7.144°35′解析：

因为∠ACD=∠BCE=90°,故∠ACE=∠ACD－∠DCE=90°－35025′=54035′.

所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+54035′=144°35′.

8.解析：

∠GEF是直角.理由如下：

由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，

所以∠1+∠2=900，所以∠GEF是直角．

9.C解析:

因为α、β是两个钝角，所以90°＜α＜180°,90°＜α＜180°．

所以180°＜α＋β＜360°，所以30°＜＜60°．所以C选项符合要求．

10.

（4）176°52′÷3=58°+172′÷3=58°+57′+60〞÷3=58°57′20〞.

11.解析：

若OC在∠AOB的内部，如图1，则∠AOC=∠AOB－∠BOC=60°－20°=40°;若OC在∠AOB的外部，如图2，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°.所以∠AOC的度数为40°或80°.

图1图2

12.解析：

设∠AOB=x°，所以∠COD=∠AOD=3∠AOB=3x°.

因为∠AOB=∠BOC，所以∠BOC=2x°.因为∠BOC+∠COD+∠AOD+∠AOB=360°，

所以3x+3x+2x+x=360.解得x=40.所以∠AOB=40°，∠COD=120°.

13.解析：

（1）因为∠AOC=30°，所以∠BOC=180°－30°=150°.

因为OE平分∠BOC，所以∠EOC=∠EOB=150°÷2=75°.

因为∠COD是直角，所以∠DOE=∠COD－∠EOC=90°－75°=15°.

（2）α.

（3）①∠DOE=∠AOC.

设∠DOE=x,则∠COE=90°－x，∠AOC=180－2∠COE=180－2（90－x）=2x.

所以∠DOE=∠AOC.

②4∠DOE－5∠AOF=180°，设∠DOE=x,∠AOF=y.则∠AOC=2x，∠BOE=90-x.

因为∠AOC－4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,所以2x－4y=2（90－x）+y，所以4x－5y=180.

所以4∠DOE－5∠AOF=180°.

14.C解析：

由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：

∠β-∠γ=90°．故选C．

15.解：

（1）∠AOC=∠AOB=90°-50°+15°=55°，OC的方向是北偏东15°+55°=70°；

（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°；

（3）OE是∠BOD的平分线，∠BOE=90°；OE的方向是南偏西50°；

（4）∠COE=90°+50°+20°=160°．

16.解：

设这个角的度数是x，则（180°-x）-3（90°-x）=10°，解得x=50°．答：

这个角的度数为50°.

17．解析:

（1）=90°.

因为O是直线AB上的一点，所以,

因为OE平分,所以

因为OD平分，所以,

所以，即.

（2）图中互余的角有4对.

例谈角在生活中的应用

学过有关角的基本知识后,能用来解决许多现实生活中所遇到的问题.下面举例谈谈角在生活中的应用.

一、钟表问题.

例1如图,是一块手表,下午2点针的时针、分针位置如图

所示,试求分针OA与时针OB所成的角的度数.

析解若把钟表看成一个周角,其中共有12个大格,

所以每大格度数为,又由图可知包含了其中的2

份,所以.

二、台球问题

例2如图,∠1=∠2,若∠3=,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时必须保证∠1为（）

A．B．C．D．

析解:

∵∠3=,∴∠2=,∵∠1=∠2,∴∠1=.故选C．

三、折纸问题

例3如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：

（1）∠FEC和∠GEC互为余角吗？

为什么？

（2）∠GEF是直角吗？

为什么？

（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？

还有哪些互为补角？

解析：

（1）由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互为余角．

（2）因为∠GEF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角．

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互为余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互为补角等

四、方位角问题

例3如图,在一张某地区的地图上,原标有学校、邮局、电影院三地,由于污损,电影院的具体位置已看不清,根据记忆,电影院位置在学校的北偏东的方向,在邮局的西北方向.根据上述信息,你能在图上确定电影院的位置吗?

如能,请画图说明.

解析根据题意,电影院位置在学校的北偏东的方向上,作图时,应以学校所在地为测点,往往在此处画上“十字型”,以正北方向的射线为始边,顺时针旋转,电影院就在所得的射线上;同理,在邮局的西北方向可作出另一条射线,这两条射线的交点,即为电影院所在的位置.如图,分别从学校画北偏东的射线和从邮局画西北方向的射线,两射线的交点就是电影院的位置.