最新大学数学教学大纲.docx

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最新大学数学教学大纲

大学数学教学大纲

《大学数学》教学计划

数学一总学时252

微积分（上）5

13=65第一学期

微积分（下）5

17=85第二学期

教材：

四川大学周成壁编《高等数学》第一，二册

线性代数3

17=51第二学期

教材：

《高等代数》（上）王萼芳编

概率统计3

17=51第三学期

教材：

《概率论与数理统计》浙江大学编

数学二总学时222

微积分（上）4

13=52第一学期

微积分（下）4

17=68第二学期

教材：

同济大学教研室编《高等数学》第四版

线性代数3

17=51第二学期

教材：

《高等代数》（上）王萼芳编

概率统计3

17=51第三学期

教材：

《概率论与数理统计》浙江大学编

数学三总学时205

微积分（上）4

13=52第一学期

微积分（下）3

17=51第二学期

教材：

赵树源编《微积分》

线性代数3

17=51第二学期

教材：

赵树源编《线性代数》

概率统计3

17=51第三学期

教材：

袁荫棠编《概率论与数理统计》

数学四总学时68开课学期教务室统一定

教材：

张顺燕编《数学的思想、方法和应用》北京大学出版社

大学数学一教学实施大纲

微积分部分

微积分是理、工科许多专业的一门重要基础课。

它为后续专业基础课及专业课提供必要的数学基础；在课程的实施过程中，既要注意和其他课程的配合，又要注意数学本身的系统性。

同时，还要注意培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，培养学生解决实际问题的意识和能力；并结合数学的“辩证思维”特点，培养学生唯物辨证的科学思维方法，提高学生的综合素质。

为加深素质教育和提高考研及格率，我们的要求主要是在考研要求的基础上，结合我校的实际情况作必要的调整。

本课程分两个学期，上学期由于军训只有十三周，周学时是5，共计65个学时。

下学期按17周安排，周学时是6，共计102个学时。

若18周，共计108个学时，总计167—173学时。

一、函数、极限、连续

内容

函数的概念及表示方法、函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性、反函数、复合函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、简单应用问题的函数关系建立、数列极限和函数极限的定义和性质、函数左、右极限，无穷小、无穷大、无穷小的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则、单调有界准则和夹值准则、两个重要的极限：

=e，

函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）。

考试要求：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数的概念，了解反函数和隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质和图形。

5、会建立简单应用问题中的函数关系式。

6、理解极限的概念，理解函数左、右函数的概念，及其极限存在和左、右极限之间的关系。

7、掌握极限的性质及其四则运算。

8、掌握极限存在的两个准则，并利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9、理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

10、理解函数连续性的概念，会判别间断点的类型。

11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

具体操作细则（20学时）

1.函数的概念及其表示法函数的几种特性2学时

2.复合函数和反函数的概念初等函数3学时

3.数列与极限、定义、性质和运算法2学时

4.数列收敛判别法1.22学时

5.收敛判别法31学时

6.函数极限定义、单侧极限、性质2学时

7.函数极限的运算、函数极限的判别准则、重要极限2学时

8.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质和“阶”的比较2学时

9.函数的连续和间断2学时

10.在闭区间上连续函数的性初等函数的连续性2学时

二、一元函数微分学

内容

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性和连续之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算反函数、复合函、隐函数以及参数方程确定的函数的微分法高阶导数的概念某些简单函数的n阶导数一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用罗尔（Rolle）定理拉格朗日（Lagrange）定理柯西（Cauchy）中值定理泰勒（Taylor）定理洛必达（L’Hospital）法则函数极值及其求法函数增减性和函数凹凸性判断函数图形的拐点及其求法渐进线描绘函数的图形函数最大值、最小值的求法及其简单应用弧微分曲率的概念及计算曲率半径两曲线的交角*方程近似解的二分法和切线法

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量，理解函数可导性和连续性之间的关系。

2、掌握函数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。

3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的一阶和二阶导数。

5、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。

7、了解并会用柯西中值定理。

8、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

9、会用导数判断函数的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐进线，会描绘函数的图形。

10、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

11、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。

12、了解求方程近似解的二分法和切线法。

具体操作细则（20学时）

1、导数的定义、基本公式及运算法则2学时

2、复合函数的导数、反函数及隐函数的导数3学时

3、高阶导数及不可导的情形2学时

4、微分的定义、公式、运算法则，高阶微分及应用2学时

5、中值定理及洛必达法则3学时

6、泰勒公式2学时

7、导数的应用、函数的增减及极值判断3学时

8、最值、渐进线和函数作图2学时

9、曲率和方程的近似解法1学时

三、一元函数积分学

内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质和基本积分公式定积分的概念和性质定积分的中值定理变上限定积分及导数牛顿—莱布尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法有理函数三角函数的有理式和简单无理函数的积分定积分的近似计算法定积分的应用

考试要求

1、理解原函数概念，理解定积分和不定积分的概念，理解定积分的中值定理。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握定积分和不定积分的性质及换元积分法和分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单函数的积分。

4、理解变上限积分是上限的函数和其求导定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5、了解定积分的近似计算。

6、掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平面截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力及函数的平均值等）。

具体操作细则（25学时）

1、不定积分的概念、基本公式和运算法则2学时

2、积分法（第一、第二换元法）分部积分法4学时

3、有理分式的积分2学时

4、三角有理式和简单有理式的积分2学时

5、定积分的概念2学时

6、可积准则和定积分的性质2学时

7、定积分和不定积分的联系2学时

8、定积分的计算和近似计算3学时

9、定积分的几何应用3学时

10、定积分的物理应用3学时

四、向量代数和空间解析几何

内容

向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积的概念及运算向量的混合积两向量垂直和平行的条件两向量的交角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和曲线方程的概念平面方程、直线方程及其求法平面与平面、直线与平面、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投射曲线方程。

要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、向量积、数量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

3、掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行与坐标轴的柱面方程。

6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

具体操作细则（16学时）

1、空间直角坐标系、矢量加减法、数量乘矢量2学时

2、矢量分解、矢量乘积2学时

3、矢量的矢积混合积2学时

4、空间平面及方程2学时

5、空间直线及方程2学时

6、常见二次曲面1（球面、柱面、旋转面）2学时

7、常见二次曲面2（其它曲面）　　2学时

8、坐标变换2学时

五、多元函数微分学

内容

多元函数的概念二元函数的极限和连续的概念有界闭域上连续函数的性质偏导数全微分的概念全微分存在的必要条件和充分条件全微分在近似计算中的作用复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度的概念及其计算空间曲线的切线及其法平面曲面的切线及法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数极值和条件极值的概念多元函数极值的必要条件二元函数极值的充分条件极值的求法拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用

考试要求

1、理解多元函数的概念。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。

4、理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日数乘法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

具体操作细则（16学时）

1、多元函数的概念、二元函数的极限2学时

2、二元函数的连续性、偏导数及高阶偏导数2学时]

3、全微分1学时

4、复合函数的微分法、求导公式2学时

5、隐函数微分法及公式2学时

6、偏导数的应用2学时

7、方向导数、梯度、二元泰勒公式简介2学时

8、多元函数的极值（非约束与约束条件）3学时

六、多元函数积分学

内容

二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路线无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯定理斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求

1、理解二重积分、]三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4、掌握计算两类曲线积分的方法。

、

5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

7、了解散度与旋度的概念，并会计算。

8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积，体积，曲面面积，弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

具体操作细则（31学时）

重积分（13学时）

1、二重积分的概念、性质2学时

2、二重积分在直角坐标系下的计算方法2学时

3、二重积分在极坐标下的计算法及二重积分的换元法2学时

4、三重积分的概念及直角坐标下的计算方法2学时

5、三重积分的变量替换（球、柱坐标）2学时

6、重积分的应用2学时

曲线、曲面积分、矢量分析及场论（18学时）

1、第一类型曲线积分的概念和计算方法1学时

2、第二类型曲线积分的概念和计算方法（包括二者的关系）2学时

3、格林公式和曲线积分与路径无关的条件2学时

4、第一类型曲面积分的概念和计算方法2学时

5、第二类型曲面积分的概念和计算方法3学时

6、高斯公式、斯托克斯公式2学时

7、矢量函数的连续性和微商2学时

8、数量场、矢量场、梯度、散度量2学时

9、旋度、二阶算子2学时

七、无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法交错级数的莱布尼茨定理绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法函数可展开为泰勒级数的充分必要条件

的麦克劳林展开式幂级数在近似计算中的应用函数的傅立叶系数与傅立叶级数狄利克雷定理函数在[-1，+1]上的傅立叶级数函数在[0，1]上的正弦级数和余弦级数

考试要求

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数与p级数的收敛性。

3、会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4、会用交错级数的莱布尼茨定理。

5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法。

8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、掌握和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11、了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12、了解傅立叶级数的概念和函数展开为傅立叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-1，1]上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在[0，1]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅立叶级数的和的表达式。

具体操作细则（20学时）

1、常数项级数、Cauchy收敛准则2学时

2、正项级数、敛散性判断2学时

3、任意项级数2学时

4、函数项级数的概念及性质、Cauchy准则2学时

5、强级数、和函数连续性、逐项积分、微分定理2学时

6、幂级数的性质和收敛条件2学时

7、幂级数的展开2学时

8、傅立叶级数及其收敛定理2学时

9、奇、偶函数的傅氏展开2学时

10、函数展开成正弦、余弦级数、函数在任意区间的展开2学时

八、广义积分和含参积分

内容无穷积分和无界函数的积分含参积分

要求了解广义积分的概念并会计算广义积分

具体操作细则（5）

1、无穷积分和瑕积分3学时

2、

函数和B函数1学时

3、含参函数1学时

九、常微分方程

考试内容

常微分方程的概念微分方程的解、通解、初始条件和特解变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程伯努利（Bernouli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次性微分方程欧拉（Euler）方程包含两个未知函数的一阶常系数线性微分分组微分方程的幂级数解法微分方程（或方程组）的简单应用问题

考试要求

1、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念

2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法

3、会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

4、会用降阶法解下列方程：

）。

5、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程

7、会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解

8、了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组

9、会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题

具体操作细则（14—20学时）

1、微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程3学时

2、齐次、一阶线性方程（包括贝努里方程）3学时

3、全微分方程和积分因子*2学时

4、可降阶的二阶方程2学时

5、二阶线性方程解的性质2学时

6、二阶常系数线性方程12学时

7、二阶常系数线性方程2及欧拉方程2学时

8、一般高阶微分方程解的结构和性质*2学时

9、二阶方程的级数解*2学时

注：

*表示理工科学生可以不同（如果课时太紧可以不讲）。