最新大学数学教学大纲.docx

1、最新大学数学教学大纲大学数学教学大纲大学数学教学计划 数学一 总学时 252微积分（上） 513=65 第一学期微积分（下） 517=85 第二学期教材：四川大学周成壁编高等数学第一，二册线性代数 317=51 第二学期教材：高等代数（上）王萼芳编概率统计 317=51 第三学期教材：概率论与数理统计浙江大学编数学二 总学时 222微积分（上） 413=52 第一学期微积分（下）417=68 第二学期教材：同济大学教研室编高等数学第四版线性代数 317=51 第二学期教材：高等代数（上）王萼芳编概率统计 317=51 第三学期教材：概率论与数理统计浙江大学编数学三 总学时 205微积分（上）

2、413=52 第一学期微积分（下） 317=51 第二学期教材：赵树源编微积分线性代数 317=51 第二学期教材：赵树源编线性代数概率统计 317=51 第三学期教材：袁荫棠编概率论与数理统计数学四 总学时 68 开课学期 教务室统一定教材：张顺燕编数学的思想、方法和应用北京大学出版社大学数学一教学实施大纲 微积分部分 微积分是理、工科许多专业的一门重要基础课。它为后续专业基础课及专业课提供必要的数学基础；在课程的实施过程中，既要注意和其他课程的配合，又要注意数学本身的系统性。同时，还要注意培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，培养学生解决实际问题的意识和能力；并结合数学的“辩证思维”特点，培养

3、学生唯物辨证的科学思维方法，提高学生的综合素质。为加深素质教育和提高考研及格率，我们的要求主要是在考研要求的基础上，结合我校的实际情况作必要的调整。本课程分两个学期，上学期由于军训只有十三周，周学时是5，共计65个学时。下学期按17周安排，周学时是6，共计102个学时。若18周，共计108个学时，总计167173学时。一、函数、极限、连续内容 函数的概念及表示方法、函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性、 反函数、复合函数和隐函数、 基本初等函数的性质及其图形、初等函数、 简单应用问题的函数关系建立、 数列极限和函数极限的定义和性质、函数左、右极限， 无穷小 、无穷大、 无穷小的比较、 极限的四

4、则运算 、极限存在的两个准则、单调有界准则和夹值准则、 两个重要的极限： =e ，函数连续的概念 、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）。考试要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示法。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数的概念，了解反函数和隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质和图形。5、会建立简单应用问题中的函数关系式。6、理解极限的概念，理解函数左、右函数的概念，及其极限存在和左、右极限之间的关系。7、掌握极限的性质及其四则运算。8、掌握极限存在的两个准则，并利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法

5、。9、理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。10、理解函数连续性的概念，会判别间断点的类型。11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。 具体操作细则（20学时）1.函数的概念及其表示法 函数的几种特性 2学时2.复合函数和反函数的概念 初等函数 3学时3.数列与极限、定义、性质和运算法 2学时4.数列收敛判别法 1.2 2学时5.收敛判别法 3 1学时6.函数极限定义、单侧极限、性质 2学时7.函数极限的运算、函数极限 的判别准则、重要极限 2学 时8.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质和“阶”的比较 2学时 9

6、.函数的连续和间断 2学时10.在闭区间上连续函数的性初等函数的连续性 2学时二、一元函数微分学内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性和连续之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 反函数、复合函、隐函数以及参数方程确定的函数的微分法 高阶导数的概念 某些简单函数的n阶导数 一阶微分形式的不变性 微分在近似计算中的应用 罗尔（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）定理 柯西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理 洛必达（LHospital）法则 函数极值及其求法 函数增减性和函数凹凸性判断 函数图形的拐点及其求法 渐进

7、线 描绘函数的图形 函数最大值、最小值的求法及其简单应用 弧微分 曲率的概念及计算 曲率半径 两曲线的交角 *方程近似解的二分法和切线法考试要求1、理解导数和微分的概念 ，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量，理解函数可导性和连续性之间的关系。2、掌握函数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。3、了解高阶导数的概念，会求简单函数 的n阶导数。4、会求分段函数的一阶和二阶导数。5、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函

8、数的导数。6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。7、了解并会用柯西中值定理。8、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。9、会用导数判断函数的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐进线，会描绘函数的图形。10、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。11、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。12、了解求方程近似解的二分法和切线法。具体操作细则（20学时）1、导数的定义、基本公式及运算法则 2学时2、复合函数的导数、反函数及隐函数的导数 3学时3、高阶导数及不可导的情形 2学时4

9、、微分的定义、公式、运算法则，高阶微分及应用 2学时5、中值定理及洛必达法则 3学时6、泰勒公式 2学时7、导数的应用、函数的增减及极值判断 3学时8、最值、渐进线和函数作图 2学时9、曲率和方程的近似解法 1学时三、一元函数积分学 内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质和基本积分公式 定积分的概念和性质 定积分的中值定理 变上限定积分及导数 牛顿莱布尼茨公式 不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法 有理函数 三角函数的有理式和简单无理函数的积分 定积分的近似计算法 定积分的应用考试要求1、理解原函数概念，理解定积分和不定积分的概念，理解定积分的中值定理。2、掌握不定积分的基本公式

10、，掌握定积分和不定积分的性质及换元积分法和分部积分法 。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单函数的积分。4、理解变上限积分是上限的函数和其求导定理，掌握牛顿莱布尼茨公式 。5、了解定积分的近似计算。6、掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平面截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力及函数的平均值等）。 具体操作细则（25学时）1、不定积分的概念、基本公式和运算法则 2学时2、积分法（第一、第二换元法）分部积分法 4学时3、有理分式的积分 2学时4、三角有理式和简单有理式的积分 2学时5、定积分的概念 2学时6、可积准则和定积分

11、的性质 2学时7、定积分和不定积分的联系 2学时8、定积分的计算和近似计算 3学时9、定积分的几何应用 3学时10、定积分的物理应用 3学时四、向量代数和空间解析几何内容向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积的概念及运算 向量的混合积 两向量垂直和平行的条件 两向量的交角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和曲线方程的概念 平面方程、直线方程及其求法 平面与平面、直线与平面、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空

12、间曲线在坐标面上的投射曲线方程。要求1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示。2、掌握向量的运算（线性运算、向量积、数量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。3、掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行运算的方法。4、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。5、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行与坐标轴的柱面方程。6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。具体操作细则（16学时）1、空间直角坐标系、

13、矢量加减法、数量乘矢量 2学时2、矢量分解、矢量乘积 2学时3、矢量的矢积混合积 2学时4、空间平面及方程 2学时5、空间直线及方程 2学时6、常见二次曲面1（球面、柱面、旋转面） 2学时7、常见二次曲面2（其它曲面）2学时8、坐标变换 2学时五、多元函数微分学内容多元函数的概念 二元函数的极限和连续的概念 有界闭域上连续函数的性质 偏导数 全微分的概念 全微分存在的必要条件和充分条件 全微分在近似计算中的作用 复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度的概念及其计算 空间曲线的切线及其法平面 曲面的切线及法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数极值和条件极值的概念 多元函数极值的必要

14、条件 二元函数极值的充分条件 极值的求法 拉格朗日乘数法 多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试 要求1、理解多元函数的概念。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。4、理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条

15、件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日数乘法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。具体操作细则（16学时）1、多元函数的概念、二元函数的极限 2学时2、二元函数的连续性、偏导数及高阶偏导数 2学时3、全微分 1学时4、复合函数的微分法、求导公式 2学时5、隐函数微分法及公式 2学时6、偏导数的应用 2学时7、方向导数、梯度、二元泰勒公式简介 2学时8、多元函数的极值（非约束与约束条件） 3学时六、多元函数积分学内容二重积分、三重积分的概念及性质 二重积分与三重积分的计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林公

16、式 平面曲线积分与路线无关的条件 已知全微分求原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯定理 斯托克斯公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用考试要求1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4、掌握计算两类曲线积分的方法。、5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，

17、了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。7、了解散度与旋度的概念，并会计算。8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积，体积，曲面面积，弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。具体操作细则（31学时） 重积分（13学时）1、二重积分的概念、性质 2学时2、二重积分在直角坐标系下的计算方法 2学时3、二重积分在极坐标下的计算法及二重积分的换元法 2学时4、三重积分的概念及直角坐标下的计算方法 2学时5、三重积分的变量替换（球、柱坐标） 2学时6、重积分的应用 2学时曲线、曲面积分、矢量分析及场论（18学时）1、第一类型曲线积分 的概念和计算方法

18、1学时2、第二类型曲线积分的概念和计算方法（包括二者的关系） 2学时3、格林公式和曲线积分与路径无关的条件 2学时4、第一类型曲面积分的概念和计算方法 2学时5、第二类型曲面积分的概念和计算方法 3学时6、高斯公式、斯托克斯公式 2学时7、矢量函数的连续性和微商 2学时8、数量场、矢量场、梯度、散度量 2学时9、旋度、二阶算子 2学时七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数 正项级数的比较审敛法 、比值审敛法、根值审敛法 交错级数的莱布尼茨定理 绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数的收敛半径、

19、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 函数可展开为泰勒级数的充分必要条件的麦克劳林展开式 幂级数在近似计算中的应用 函数的傅立叶系数与傅立叶级数 狄利克雷定理 函数在-1 ，+1上的傅立叶级数 函数在0，1上的正弦级数和余弦级数考试要求1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2、掌握几何级数与p级数的收敛性。3、会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4、会用交错级数的莱布尼茨定理。5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6、了解函数项级数的

20、收敛域及和函数的概念。7、掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法。8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10、掌握和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11、了解幂级数在近似计算上的简单应用。12、了解傅立叶级数的概念和函数展开为傅立叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-1，1上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在0，1上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅立叶级数的和的表达式。具体操作细则（20学时）1、常数项级数、Cauchy收敛准则 2学时2、正项级

21、数、敛散性判断 2学时3、任意项级数 2学时4、函数项级数的概念及性质、Cauchy准则 2学时5、强级数、和函数连续性、逐项积分、微分定理 2学时6、幂级数的性质和收敛条件 2学时7、幂级数的展开 2学时8、傅立叶级数及其收敛定理 2学时9、奇、偶函数的傅氏展开 2学时10、函数展开成正弦、余弦级数、函数在任意区间的展开 2学时八、广义积分和含参积分内容 无穷积分和无界函数的积分 含参积分要求 了解广义积分的概念并会计算广义积分具体操作细则（5） 1、无穷积分和瑕积分 3学时 2、函数和B函数 1学时 3、含参函数 1学时九、常微分方程考试内容常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始条件和

22、特解 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利（Bernouli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次性微分方程 欧拉（Euler）方程 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分分组 微分方程的幂级数解法 微分方程（或方程组）的简单应用问题考试要求1、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法3、会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4、会用降阶法解下

23、列方程：）。5、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程7、会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解8、了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组9、会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题具体操作细则（1420学时）1、微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程 3学时2、齐次、一阶线性方程（包括贝努里方程） 3学时3、全微分 方程和积分因子 * 2学时4、可降阶的二阶方程 2学时5、二阶线性方程解的性质 2学时6、二阶常系数线性方程1 2学时7、二阶常系数线性方程2及欧拉方程 2学时8、一般高阶微分方程解的结构和性质 * 2学时9、二阶方程的级数解* 2学时注：*表示理工科学生可以不同（如果课时太紧可以不讲）。