湖南省顶级名校届高三第一次月考数学理试题.docx
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湖南省顶级名校届高三第一次月考数学理试题
2019届高三月考试卷
（一）
数 学（理科）
时量：
120分钟满分：
150分
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（D）
A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题
【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题.故选D.
2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若（3a＋λb）⊥a，则实数λ的值为（B）
A.B．－C.D．－
【解析】由已知，（3a＋λb）·a＝0，即3a2＋λb·a＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－，选B.
3．下列说法中正确的是（C）
A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10
B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60
C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N（4，0.25）（单位：
cm），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外
径为5.6cm，则这批零件不合格
D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病
【解析】对于A，若x1，x2，…，xn的平均数为5，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；
对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．
对于C，因为μ＝4，σ＝0.5，则（u－3σ，u＋3σ）＝（2.5，5.5），因为5.6?
（2.5，5.5），则这批零件不合格，所以说法正确．
对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：
“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.
4．已知（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是（A）
A．－84B．84
C．－24D．24
【解析】由已知，2n＝128，得n＝7，所以Tr＋1＝C（2x2）7－r＝（－1）r·27－rCx14－3r.
令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含项的系数为（－1）527－5C＝－84，选A.
5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是（A）
A．f（b）＞0，且f（a）＋f（c）＞0
B．f（b）＞0，且f（a）＋f（c）＜0
C．f（b）＜0，且f（a）＋f（c）＞0
D．f（b）＜0，且f（a）＋f（c）＜0
【解析】由已知，f（b）＞f（0）＝0.因为a＋c＝2b＞0，则a＞－c，从而f（a）＞f（－c）＝－f（c），
即f（a）＋f（c）＞0，选A.
6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为（C）
A.B.C.D.
【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈；
当x∈（0，2]时，y＝2x＋1∈（1，5]．
所以当y∈时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C.
7．已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：
（B）
①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）在区间上是减函数；③函数f（x）的图象关于直线x＝对称；④函数f（x）的图象可由函数y＝
sin2x的图象向左平移个单位得到．其中正确结论的个数是
A．1B．2
C．3D．4
【解析】f（x）＝sin2x＋cos2x＝sin.
①因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论错误．
②当x∈时，2x＋∈，则f（x）在区间上是减函数，结论正确．
③因为f＝为f（x）的最大值，则f（x）的图象关于直线x＝对称，结论正确．
④设g（x）＝sin2x，则g＝sin2＝sin＝cos2x≠f（x），结论错误，选B.
8.已知命题p：
若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：
?
x>0，使（x－1）·2x＝1，则下列命题中为真命题的是（A）
A．p∧qB．（綈p）∧q
C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）
【解析】若a＞2且b＞2，则<且<，得＋<1，即<1，从而a＋b＜ab，所以命题p为真．因为直线y＝x－1与函数y＝的图象在（0，＋∞）内有唯一交点，则方程x－1＝有正数解，即方程（x－1）·2x＝1有正数解，所以命题q为真，选A.
9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为（D）
A．5B．4
C．3D．2
【解析】令|x|＝a，|y|＝b，则且z＝2a－b.作可行域，平移直线l：
b＝2a－z，由图知，当直线l过点（1，0）时，直线l的纵截距最小，从而z为最大，且zmax＝2×1－0＝2，选D.
10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD.将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A―BD―C，则四面体ABCD的外接球的体积为（B）
A.πB.π
C．2πD．3π
【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB.
因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径．
在Rt△BDC中，BC＝＝，则球半径R＝.
所以外接球的体积V＝π＝π，选B.
11．设双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲线上存在点M满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则双曲线的离心率为（C）
A
．6B．3C.D.
【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|＝|MF2|，则A为OF2的中点，所以|AF2|＝，|AF1|＝.设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m.在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－c2.
在Rt△MAF2中，|MA|2＝m2－，则4m2－c2＝m2－，即3m2＝2c2.
因为|MF1|－|MF2|＝2a，则m＝2a，所以3×（2a）2＝2c2，即c2＝6a2，所以e＝＝，选C.
12．对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，A?
Xn，且A≠?
.记I（A）为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I（A）的和记为S（n），则S（2018）＝（D）
A．2018×22018＋1B．2018×22017＋1
C．2017×22017＋1D．2017×22018＋1
【解析】对于集合Xn，满足I（A）＝1的集合A只有1个，即{1}；满足I（A）＝2的集合A有2个，即{2}，{1，2}；满足I（A）＝3的集合A有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；
满足I（A）＝n的集合A有2n－1个，所以S（n）＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1.
由错位相减法，得S（n）＝（n－1）2n＋1，所以S（2018）＝2017×22018＋1，选D.
二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知cos＝，则sin＝__－__．
【解析】sin＝sin＝cos2＝2cos2－1＝－.
14．如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为____．
【解析】因为＝，则＝4，所以＝m＋.
因为B，P，D三点共线，则m＋＝1，所以m＝.
15．已知函数f（x）＝|2x－1|－a，若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）＝f（x2）＝－1，则a的取值范围是__（1，2）__．
【解析】令f（x）＝－1，则|2x－1|＝a－1.据题意，直线y＝a－1与函数y＝|2x－1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1
，且Sn＝4－an（n∈N*），则数列{an}的通项公式是an＝____．
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，则an＝an－1，
即＝，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则＝，即an＝.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
60分．
17．（本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.
（1）若BC＝2，求∠CBD的大小；
（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．
【解析】
（1）在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，则
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2×＝12，所以BD＝2.（3分）
在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝2，BD＝2，由＝，得
sin∠CDB＝＝＝，则∠CDB＝45°.（5分）
所以∠CBD＝60°－∠CDB＝15°.（6分）
（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°－θ.
在△BCD中，因为＝＝4，则BC＝4sin（60°－θ）．（8分）
所以S＝BD·BC·sin∠CBD＝4sin（60°－θ）sinθ＝4sinθ
＝3sin2θ－2sin2θ＝3sin2θ－（1－cos2θ）＝3sin2θ＋cos2θ－
＝2sin（2θ＋30°）－.（11分）
因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，故S的取值范围是（0，]．（12分）
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点．
（1）求证：
AD⊥PB；
（2）若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积．
【解析】
（1）在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC＝2.
因为D为BC的中点，则BD＝CD＝.（2分）
因为＝（＋），则2＝（＋）2＝（2＋2＋2·）
＝（4＋16＋2×2×4×cos120°）＝3，所以AD＝.（4分）
因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD.（
5分）
因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB.（6分）
（2）解法一：
因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE.
则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．（8分）
在Rt△DAE中，由已知，∠AED＝45°
，则AE＝AD＝.（9分）
在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝＝.（10分）
因为AB×AP＝PB×AE，则2a＝×，即
4a2＝3（4＋a2），解得a2＝12，所以PA＝a＝2.（11分）
所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin120°×2＝4.（12分）
解法二：
分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设PA＝a，则点B（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，a）．
所以＝（－2，，0），＝（－2，0，a）．（8分）
设平面PBC的法向量为m＝（x，y，z），则
即
取x＝，则y＝2，z＝，所以m＝.（9分）
因为n＝（0，1，0）为平面PAB的法向量，则|cos〈m，n〉|＝cos45°＝，即＝.
所以＝，解得a2＝12，所以PA＝a＝2.（11分）
所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin120°×2＝4.（12分）
19．（本小题满分12分）
有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：
甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
（ⅰ）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
（ⅱ）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？
说明你的理由．
【解析】
（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，则P（A）＝＝.（3分）
（2）（ⅰ）设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则
当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X
＝39×6＝234；当n＝40时，X＝40×6＝240；
当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.
所以X的分布列为
X
228
234
240
24
7
254
p
（7分）
E＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝238.6.（9分）
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，（10分）
所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元
，（11分）
因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．（12分）
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且直线y＝x与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？
若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【解析】
（1）因为抛物线y2＝4x的焦点为（，0），则c＝，所以a2－b2＝3.（2分）
因为直线bx－ay＝0与圆（x－5）2＋y2＝5相切，则＝，即a2＝4b2.（4分）
解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程是＋y2＝1.（5分）
（2）设直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线l的方程代入椭圆方程，得x2＋4（kx＋m）2＝4，即（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.（7分）
由已知，k2＝k1k2＝＝，则k2x1x2＝（kx1＋m）（kx2＋m），
即km（x1＋x2）＋m2＝0，所以－＋m2＝0，即（1－4k2）m2＝0.
因为m≠0，则k2＝，即k＝±，从而x1＋x2＝?
2m，x1x2＝2m2－2.（10分）
所以|OA|2＋|OB|2＝x＋y＋x＋y＝x＋（kx1＋m）2＋x＋（kx2＋m）2
＝（k2＋1）（x＋x）＋2km（x1＋x2）＋2m2＝（k2＋1）[（x1＋x2）2－2x1x2]＋2km（x1＋x2）＋2m2.
＝[4m2－2（2m2－2）]－2m2＋2m2＝5为定值．（12分）
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ex－a（x－1），a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若存在x0∈（1，＋∞），使f（x0）＜0，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）有两个不同零点x1，x2，证明：
x1＋x2＞x1x2.
【解析】
（1）解法一：
f′（x）＝ex－a.（1分）
①若a≤0，因为ex>0，则f′（x）>0，此时f（x）在R上单调递增．
当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f
（1）＝e＞0，不合题意．（2分）
②若a＞0，由f′（x）>0，得ex>a，即x＞lna，则f（x）在（lna，＋∞）上单调递增，在（－∞，lna）上单调递减，所以f（x）min＝f（lna）＝elna－a（lna－1）＝a（2－lna）．（4分）
据题意，则lna＞2，即a>e2，所以a的取值范围是（e2，＋∞）．（5分）
解法二：
当x∈（1，＋∞）时，由f（x）＜0，得ex.（1分）
设g（x）＝（x>1），据题意，当x∈（1，＋∞）时，a＞g（x）能成立，则a>g（x）min.（2分）
因为g′（x）＝＝（x>1），（3分）
则当x＞2时，g′（x）>0，g（x）单调递增；当1＜x＜2时，g′（x）<0，g（x）单调递减．（4分）
所以g（x）m
in＝g
（2）＝e2，故a的取值范围是（e2，＋∞）．（5分）
（2）由题设，f（x1）＝f（x2）＝0，即则ex1·ex2＝a2（x1－1）（x2－1），
即ex1＋x2＝a2（x1x2－x1－x2＋1）．（7分）
要证x1＋x2＞x1x2，只要证ex1＋x2不妨设x1＜x2，由
（1）可知，a>e2，且x1＜lna＜x2，从而2lna－x2＜lna.
因为f（x）在（－∞，lna）上单调递减，所以只要证f（x1）>f（2lna－x2），即证f（x2）>f（2lna－x2）．（9分）
设h（x）＝f（x）－f（2lna－x），则
h′（x）＝f′（x）＋f′（2lna－x）＝ex－2a＋e2lna－x＝ex＋－2a≥2－2a＝0，
所以h（x）在R上单调递增．因为x2＞lna，则h（x2）>h（lna）＝f（lna）－f（lna）＝0，
即f（x2）－f（2lna－x2）>0，即f（x2）>f（2lna－x2），所以原不等式成立．（12分）
（二）选考题：
共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），点P在曲线C1上，其极角为，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．
【解析】
（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，x＝
ρcosθ代入，得
曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.（3分）
由得x＋2y＝3，所以直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.（5分）
（2）由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为（2，2）．（7分）
设点Q（2cosα，sinα），则PQ的中点M的坐标为.（8分）
点M到直线l的距离d＝＝≤.
所以点M到直线l的距离的最大值为.（10分）
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）若当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．
【解析】
（1）因为f（x）＝|x＋a|＋|x－2|≥|（x＋a）－（x－2）|＝|a＋2|，（3分）
当且仅当（x＋a）（x－2）≤0时取等号，则f（x）min＝|a＋2|.
令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.（5分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.
由f（x）≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.
所以（－x－2）max≤a≤（－x＋2）min.（8分）
因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，（－x－2）max＝－3；
当x＝2时，（－x＋2）min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．（10分）
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