第8讲功和功率.docx

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第8讲功和功率

第8讲　功　功率

[考试标准]

知识内容

考试要求

说明

追寻守恒量——能量

b

1.不要求用功的定义式计算变力的功．

2.不要求用功率、力和速度的关系式解决力与速度不在一条直线上的问题．

3.不要求结合力和运动关系定量求解机车以恒定功率启动和匀加速启动的问题.

功

c

功率

c

【小纳考点精讲】

【考点1】追寻守恒量

1．物体由于运动而具有的能量叫做动能；相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能．

2．无论经历怎样的运动变化，能量总和保持不变，称之为守恒．

【考点2】功

1．做功的必要因素

力和物体在力的方向上发生的位移．

2．计算公式

（1）当恒力F的方向与位移l的方向一致时：

W＝Fl.

（2）当恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：

W＝Flcosα.

3．功的正负

（1）当0≤α<

时，W>0，力对物体做正功．

（2）当

<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．

（3）当α＝

时，W＝0，力对物体不做功．

【考点3】功率

1．定义：

功与完成这些功所用时间的比值．

2．物理意义：

描述做功的快慢．

3．公式

（1）P＝

，P为时间t内的平均功率．

（2）P＝Fv（力与速度在一条直线上）．

①v为平均速度，则P为平均功率．

②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．

4．额定功率与实际功率

（1）额定功率：

动力机械正常工作时输出的最大功率．

（2）实际功率：

动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．

【考点4】正、负功的判断

判断力是否做功及做正、负功的方法

判断根据

适用情况

根据力和位移的方向的夹角判断

常用于恒力做功的判断

根据力和瞬时速度方向的夹角判断

常用于质点做曲线运动

根据功能关系或能量守恒定律判断

常用于变力做功的判断

【例1】　（2018·温州市期中）载人飞行包是一种单人低空飞行装置，如图所示，其发动机使用汽油作为燃料提供动力，可以垂直起降，也可以快速前进，若飞行包（包括人）在竖直匀速降落的过程中（空气阻力不可忽略），下列说法正确的是（　　）

A．发动机对飞行包（包括人）做正功

B．飞行包（包括人）的重力做负功

C．空气阻力对飞行包（包括人）做负功

D．飞行包（包括人）所受的合力做负功

【小思点评】飞行包（包括人）在竖直匀速降落的过程中，发动机的动力向上，则发动机对飞行包（包括人）做负功，故A错误．高度下降，飞行包（包括人）的重力做正功，故B错误．空气阻力竖直向上，与位移方向相反，则空气阻力对飞行包（包括人）做负功，故C正确．飞行包匀速运动，所受合力为零，则飞行包（包括人）所受的合力不做功，故D错误。

【考点5】功的分析与计算

1．在求力做功时，首先要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的功．

2．恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积，或等于位移与在位移方向上的力的乘积．

3．若为变力做功，则要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解．

4．总功的计算：

（1）先求物体所受的合外力，再求合外力的功；

（2）先求每个力做的功，再求各功的代数和．

【例2】　如图所示，一个质量为m＝2kg的物体受到与水平面成37°角的斜向下的推力F＝10N的作用，在水平地面上移动了距离x1＝2m后撤去推力，此物体又滑行了x2＝1.6m的距离后停止运动，物体与地面间的动摩擦因数为0.2（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）推力F对物体做的功；

（2）全过程中摩擦力对物体做的功．

【小思点评】

（1）推力做功由W＝Flcosα得

WF＝Fx1cos37°＝10×2×0.8J＝16J.

（2）撤去推力前对物体受力分析如图所示，竖直方向

FN1＝mg＋Fsin37°＝26N

所以撤去推力前摩擦力做功

Wf1＝μFN1x1cos180°＝0.2×26×2×（－1）J＝－10.4J

撤去推力后FN2＝mg＝20N，

Wf2＝μFN2x2cos180°＝0.2×20×1.6×（－1）J

＝－6.4J

故Wf＝Wf1＋Wf2＝－16.8J.

【例3】　一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图4甲和乙所示，设在第1s内、第2s内、第3s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是（　　）

A．W1＝W2＝W3B．W1

C．W1

【小思点评】在第1s内，滑块的位移为x1＝

×1×1m＝0.5m，力F做的功为W1＝F1x1＝1×0.5J＝0.5J；第2s内，滑块的位移为x2＝

×1×1m＝0.5m，力F做的功为W2＝F2x2＝3×0.5J＝1.5J；第3s内，滑块的位移为x3＝1×1m＝1m，力F做的功为W3＝F3x3＝2×1J＝2J，W1

【例4】　如图所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力（　　）

A．一直不做功

B．一直做正功

C．始终指向大圆环圆心

D．始终背离大圆环圆心

【小思点评】因为大圆环光滑，所以大圆环对小环的作用力只有弹力，且弹力的方向总是沿半径方向，与速度方向垂直，则大圆环对小环的作用力一直不做功，故选项A正确，B错误；开始时大圆环对小环的作用力背离圆心，后来指向圆心，故选项C、D错误。

【考点6】　功率的理解和计算

【例5】　（2017·浙江11月选考·13）如图所示是具有登高平台的消防车，具有一定质量的伸缩臂能够在5min内使承载4人的登高平台（人连同平台的总质量为400kg）上升60m到达灭火位置．此后，在登高平台上的消防员用水炮灭火，已知水炮的出水量为3m3/min，水离开炮口时的速率为20m/s，则用于（　　）

A．水炮工作的发动机输出功率约为1×104W

B．水炮工作的发动机输出功率约为4×104W

C．水炮工作的发动机输出功率约为2.4×106W

D．伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率约为800W

【小思点评】若不计伸缩臂的质量，抬升登高平台的发动机输出功率P＝

＝400×10×60×

W＝800W，但伸缩臂具有一定质量，发动机输出功率应大于800W，故选项D错误；在1s内，喷出去水的质量为m′＝ρV＝103×

kg＝50kg，喷出去水的重力势能为Ep＝m′gh＝50×10×60J＝3×104J，水的动能为Ek＝

m′v2＝1×104J，所以1s内水增加的能量为4×104J，所以水炮工作的发动机输出功率为4×104W，选项B正确，A、C错误．

【例6】（2018·金华市、丽水市、衢州市十二校联考）跳绳是丽水市高中毕业生体育测试的项目之一，如图所示，高三的小李同学在某次测验过程中，一分钟跳180次，每次跳跃，脚与地面的接触时间为跳跃一次所需时间的

，g取10m/s2，则他克服重力做功的平均功率约为（　　）

A．20WB．35W

C．75WD．120W

【小思点评】小李同学跳一次的时间是：

t＝

s＝

s，他跳离地面向上做竖直上抛运动，到最高点的时间为：

t1＝

×

×（1－

）s＝0.1s，此过程中克服重力做功为：

W＝mg（

gt12）＝500×（

×10×0.01）J＝25J，跳绳时克服重力做功的功率为：

＝

＝

W＝75W，故C正确，A、B、D错误。

【例7】小明骑电动自行车沿平直公路行驶，因电瓶“没电”，故改用脚蹬车匀速前行．设小明与车的总质量为100kg，骑行过程中所受阻力恒为车和人总重的0.02倍，g取10m/s2.通过估算可知，小明骑此电动车做功的平均功率最接近（　　）

A．500WB．300W

C．100WD．200W

【小思点评】设人骑车的速度大小为5m/s，匀速行驶时，人和车的受力平衡，阻力的大小为Ff＝0.02mg＝0.02×1000N＝20N，此时的功率P＝Fv＝Ffv＝20×5W＝100W，C正确．

【例8】（多选）质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则（　　）

A．3t0时刻的瞬时功率为

B．3t0时刻的瞬时功率为

C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

【小思点评】根据题图中F—t图线，在0～2t0时间内的加速度a1＝

，2t0时刻的速度v2＝a1·2t0＝

t0，0～2t0时间内位移x1＝

·2t0＝

t02，故0～2t0时间内水平力做的功W1＝F0x1＝

t02；在2t0～3t0时间内的加速度a2＝

，3t0时刻的速度v3＝v2＋a2t0＝

t0，故3t0时刻的瞬时功率P3＝3F0v3＝

，在2t0～3t0时间内位移x2＝

·t0＝

，故2t0～3t0时间内水平力做的功W2＝3F0·x2＝

，因此在0～3t0时间内的平均功率P＝

＝

，故B、D正确．

1．质量为m的物体从倾角为α且固定的光滑斜面顶端由静止开始下滑，斜面高度为h，当物体滑至斜面底端时，重力做功的瞬时功率为（　　）

A．mg

B.

mg

sinα

C．mg

sinα

D．mg

答案　C

解析　由于斜面是光滑的，a＝gsinα，2a

＝v2，v＝

.如图所示，可知重力的方向和v方向的夹角θ为90°－α.则物体滑至底端时重力的瞬时功率为P＝mg

cos（90°－α）＝mg

sinα，故C正确．

2.如图1所示，人站在台阶式自动扶梯上，在匀速向上运动的过程中．下列说法中不正确的是（　　）

图1

A．人所受的重力做正功

B．人所受的重力做负功

C．梯面对人的支持力做正功

D．人所受的合外力不做功

答案　A

解析　由于人匀速向上运动，人所受到的合外力不做功；对人受力分析，受到竖直向下的重力，垂直于梯面向上的支持力，根据W＝Fx可知，重力做负功，支持力做正功，故B、C、D正确，A错误．

3．雄安新区规划范围涉及河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域．某人开小汽车从雄县到北京所花时间为45min.若这一过程中，燃烧汽油驱动发动机的有用功为1.62×108J，则在这一过程中，小汽车的平均功率为（　　）

A．40kW

B．60kW

C．80kW

D．100kW

答案　B

解析　由题意知，发动机的有用功为1.62×108J，使用的时间为：

t＝45min＝2700s

则平均功率：

＝

W＝60kW，故B正确．

4.如图2所示，质量分别为m1和m2的两个物体，m1

图2

A．W1>W2

B．W1

C．W1＝W2

D．条件不足，无法确定

答案　C

解析　由题意可得F1和F2是恒力，物体移动的位移相同，并且力与位移的夹角相等，所以由功的公式W＝Flcosθ可知，它们对物体做的功是相同的，所以C正确．

5．小宇同学住在创新公寓18层，他每天都得乘坐电梯上下楼，则在某一次从一楼乘电梯回家的整个过程中（　　）

A．受到的支持力的大小始终等于重力

B．所受支持力先做正功，后做负功

C．只经历了超重过程

D．既经历了超重过程，又经历了失重过程

答案　D

6.如图3所示，在投球游戏中，小明坐在可升降的椅子上，向正前方的圆桶水平抛出篮球．已知某次抛出的实际高度为2.0m，桶的高度为0.4m，到抛出点的水平距离为1.6m，球恰好落入桶内，小明对球做功约为（　　）

图3

A．0.2JB．2J

C．20JD．200J

答案　B

7．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（　　）

A．0B．－FhC．FhD．－2Fh

答案　D

解析　阻力与小球速度方向始终相反，故阻力一直做负功，W＝－Fh＋（－Fh）＝－2Fh，D正确．

8．（2018·名校协作体联考）如图4所示，拖拉机耕地时一般比在道路上行驶时速度慢，这样做的主要目的是（　　）

图4

A．节省燃料B．提高柴油机的功率

C．提高传动机械的效率D．增大拖拉机的牵引力

答案　D

9.（多选）如图5所示，重球用细绳跨过轻质光滑定滑轮与小球相连，细绳处于水平拉直状态．小球由静止释放运动到最低点的过程中，重球始终保持静止，不计空气阻力．下列说法正确的有（　　）

图5

A．细绳偏离竖直方向成θ角时，细绳拉力为mgcosθ

B．地面对重球的摩擦力一直增大

C．上述过程中小球重力的瞬时功率先增大后减小

D．细绳对小球不做功

答案　BCD

解析　设细绳与竖直方向的夹角为θ时细绳的拉力大小为FT，FT－mgcosθ＝m

，解得FT＝mgcosθ＋m

，A错误；随着θ减小，v增大，可以知道细绳拉力FT不断增大，则地面对重球的摩擦力一直增大，B正确；开始时小球竖直方向的分速度vy为零，小球到达最低点时竖直方向的分速度vy也为零，则知vy先增大后减小，重力瞬时功率为P＝mgvy，所以小球重力的瞬时功率先增大后减小，C正确；细绳的拉力始终与小球的速度垂直，对小球不做功，D正确．

10．（2018·杭州市期末）研究表明，人步行时重心升降的幅度约为脚跨一步距离的0.1倍．某同学体重为70kg，在水平地面上匀速步行的速度为5km/h，g取10m/s2，此过程中他的平均功率约为（　　）

A．5WB．50WC．100WD．200W

答案　C

解析　人步行时重心升降的幅度约为脚跨一步距离的0.1倍，设该同学在时间t内在水平地面上运动的距离为vt，此过程中重心上升的高度为Δh＝0.1vt，其重力为G＝700N，所以平均功率P＝

＝

＝0.1Gv＝0.1×700×

W≈97.2W，故C正确．

11.中国已成为世界上高铁系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最高、在建规模最大的国家．报道称，新一代高速列车（如图6）牵引功率达9000kW，持续运行速度为350km/h，则新一代高速列车沿全长约1300km的京沪线从北京到上海，在动力上耗电约为（　　）

图6

A．3.3×104kW·hB．3.3×105kW·h

C．3.3×106kW·hD．3.3×107kW·h

答案　A

解析　列车从北京到上海的时间为t＝

＝

≈3.71h，在动力上耗电约为W＝Pt＝9000kW×3.71h＝33390kW·h≈3.3×104kW·h，选项A正确．

12.（2017·浙江11月选考·10）如图7所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m．若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则克服重力做的功和相应的功率约为（　　）

图7

A．430J,7W

B．4300J,70W

C．720J,12W

D．7200J,120W

答案　B

解析　设每次俯卧撑中，运动员重心变化的高度为h，由几何关系可得，

＝

，即h＝0.24m．一次俯卧撑中，克服重力做功W＝mgh＝60×9.8×0.24J＝141.12J，所以1min内克服重力做的总功为W总＝NW＝4233.6J，功率P＝

＝70.56W，故选B.

13．如图8所示，小物块甲从竖直固定的

光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平．小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下．下列判断正确的是（　　）

图8

A．两物块到达底端时速度相同

B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同

C．两物块到达底端时动能相同

D．两物块到达底端时，乙重力做功的瞬时功率大于甲重力做功的瞬时功率

答案　D

14．（2019届树人中学期中）甲、乙两车从某地同时由静止开始沿直线同方向加速运动，甲车保持功率P恒定，乙车保持牵引力恒定，两车所受阻力均为恒力．则在此过程中（　　）

A．甲车的牵引力减小

B．在t时间内，甲车的牵引力做功为

Pt

C．乙车的功率减小

D．乙车牵引力所做的功等于动能的变化

答案　A

解析　对甲车，P一定，由P＝Fv知，随v增加，牵引力减小，t时间内牵引力做功为Pt，故A正确，B错误；对乙车，牵引力F′一定，由P′＝F′v′知随v′增加，功率P′增大，由于阻力做负功，乙车牵引力做的功大于动能的变化，故C、D错误．

15．（2018·台州市高三期末）如图9所示，中国版“野牛”级重型气垫船，自重达540吨，装有额定输出功率为8700kW的大功率燃汽轮机，最高时速为108km/h.假设气垫船航行过程中所受的阻力Ff与速度v成正比，即Ff＝kv.则下列说法正确的是（　　）

图9

A．该气垫船的最大牵引力为2.9×105N

B．从题中给出的数据，无法计算k值

C．在额定输出功率下以最高时速航行时，气垫船所受的阻力为2.9×105N

D．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为4350kW

答案　C

解析　在额定输出功率下以最高时速航行时，vm＝108km/h＝30m/s，根据P＝Fv得：

F＝

＝

N＝2．9×105N，此时匀速运动，则Ff＝F＝2.9×105N，若以恒定牵引力启动时，开始的牵引力大于匀速运动的牵引力，所以最大牵引力大于2.9×105N，故A错误，C正确；根据Ff＝kv得：

k＝

＝

N·s/m≈9.67×103N·s/m，故B错误；以最高时速一半的速度匀速航行时，牵引力F′＝k·

，解得F′＝1.45×105N，则P′＝F′v′＝1.45×105×15W＝2175kW，故D错误．

16．如图10所示，某起重机利用抓钩提升重物，当钢绳对抓钩的拉力为2.02×104N时，重物由静止开始竖直向上运动，历时3s．已知抓钩的总质量为20kg，重物的质量为2×103kg，重力加速度g＝9.8m/s2，求此过程中抓钩对重物做的功．

图10

答案　1.8×104J

解析　设重物上升的加速度为a，由牛顿第二定律得

F－（M＋m）g＝（M＋m）a

设抓钩对重物的摩擦力为Ff，有Ff－Mg＝Ma

3s末重物上升的高度h＝

at2

抓钩对重物做的功W＝Ffh

代入数据得W＝1.8×104J．