整理多元微分习题课.docx
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整理多元微分习题课
多元函数微积分复习课
在实际生活中，会遇到依赖于两个或两个以上自变量的多元函数•本章在一元函数微积分的基础上介绍多元函数微积分•多元函数微积分和一元函数微积分有很多相似的问题，也有很多不同的问题，需要大家在学习中注意.
一、内容提要
1.二元函数
（1）二元函数：
设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律f，使每一个点
（x,y）•D都对应于惟一确定的值z,则称z为D上的二元函数.记做z=f（x,y）,其中x与y称为自变量，函数z也称为因变量，D称为该函数的定义域.
自变量多于一个的函数统称为多元函数•
（2）二元函数的几何意义：
函数z二f（x,y）的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在xOy坐标面上的投影.
2.二元函数的极限与连续
（1）二元函数的极限
设函数z二f（x,y）在点Po（Xo，yo）的某个邻域内有定义（在点Po（Xo,yo）处可以无定义），如果当点P（x,y）以任意方式趋向于点P0（x0,y0）时，相应的函数值f（x,y）无限接近于一个确
定的常数A，则称当（x,y）》（xq.vq）时，函数f（x,y）以A为极限，记作
limf（x,y）=A或f（x,y）rA（^―x0,y—y0）.
X—勺
—y。
（2）二元函数的连续性
1在一点连续的两个等价的定义
定义1设有二元函数z=f（x,y）,如果limf（x,y）=f（xQ,yo）,则称二元函数z=f（x,y）
—Q
y%。
在点Pq（xq,yo）处连续.
定义2设=f（x^x,y。
•勺）-f（XQ,y。
）（称忌为函数f（x,y）的全增量）,若lim「z=Q,则称二元函数z二f（x,y）在点Pq（xq,yo）处连续.
y,q.
2如果f（x,y）在区域D内的每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续.
续点或间断点
3.偏导数
（1）二元函数z=f（x,y）的两个偏导数定义如下:
二fy（x,y）=l.iym0
f（x,y：
y）-f（x,y）
（2）偏导数的计算
因为这里只有一个
从偏导数的定义可以看出，求z二f（x,y）的偏导数并不需要用新方法,
自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的，所以仍旧可用一兀函数的微分法
.求’时,
x
只要把y暂时看作常量而对x求导数；求’时，只要把x暂时看作常量而对y求导数.
4.高阶偏导数
（1）z=f（x,y）的四个二阶偏导数如下：
二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
（2）混合偏导数与次序无关的定理
如果函数z=f（x,y）的两个混合偏导数在点（x,y）连续，则在点（x,y）处，有
-2-2
:
Z:
Z
.:
x.:
y;:
yx
5.全微分
（1）定义
（2）全微分在近似计算中的应用
.：
z：
dz二fx（Xo,yo）.：
xfy（Xo,yo）.：
y.
f（X。
x%小:
f（Xo,yo）fx（Xo,y°）.：
xfy（x°,y°）.：
y.
6.复合函数的偏导数
设函数u=（x,y）,：
-■（x,y）在点（x,y）处有偏导数，函数z=f（u,：
）在相应点（u,：
）处有
连续偏导数，则复合函数z二f［「（x,y）1（x,y）］在点（x,y）处有偏导数，且
z
z
:
:
u
:
z
cu
；x
u
:
:
X
dx>
X
z
:
z
u
：
z
y
u
y
eV
：
:
y
7•隐函数的偏导数
设方程F（x,y,z）=0确定了z是x,y的函数z=z（x,y），且FX（x,y,z）,Fy（x,y,z），
Fz（x,y,z）连续及Fz（x,y,z）=0,则
czFxCzFy
:
xFz:
yFz
8.二元函数的极值与驻点
（1）极值存在的必要条件
设函数z=f（x,y）在点F0（xo,yo）的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果
F0（Xo,yo）是极值点，则必有fx（Xo,y0）=0,fy（xo,y0）=0.
即可导函数的极值点必定为驻点，但是函数Z=f（x,y）的驻点却不一定是极值点.
（2）极值存在的充分条件
设函数z二f（x,y）在点Fo（xo,yo）的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且Fo（xo,yo）是驻
点.设A=fxx（xo,yo），B-fxy（x。
，％）,C—fyy（xo,yo），贝V
1当B-AC：
：
：
0时，点F0（xo,yo）是极值点，且当A：
：
：
0时，点Po（x°,y°）是极大值点;当A0时，点F0（xo,yo）是极小值点；
2当B-AC0时，点F0（x0,y0）不是极值点；
3当B2-AC=0时，点F0（x°,y。
）有可能是极值点也可能不是极值点•
（3）条件极值与拉格朗日乘数法
求函数u=f（x,y,z）在满足约束条件“x,y,z）=0下的条件极值，其常用方法是拉格朗日
乘数法，具体步骤如下：
1构造拉格朗日函数F（x,y,z,J=f（x,y,z）（x,y,z）,
其中■为待定常数，称其为拉格朗日乘数.
2求四元函数F（x,y,z,■）的驻点，即列方程组
£=fx（x,y,z）+A5\（x,y,z）=0,
*Fy=fy（x,y,z）+〉Wy（x,y,z）=0,
Fz=fz（x,y,z）-\（x,y,z^0,
F.二（x,y,z）-0,
求出上述方程组的解x,y,z,，,那么驻点（x,y,z）有可能是极值点；
3判别求出的点（x,y,z）是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定
对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果
9.二重积分
（1）定义
设二元函数z=f（x,y）是定义在有界闭区域D上的连续有界函数，如果极限
n
li^f（i,ip-i存在，且该极限的值与区域D的分割方法和（\,i）的选取无关，则称此
极限为函数z=f（x,y）在闭区域D上的二重积分，记为..f（x,y）d；「，即
D
n
..f（x,y）d二=lim「f（i,.
DiT
（2）几何意义
Iif（x,y）d匚表示曲面z=f（x,y）在区域D上所对应的曲顶柱体各部分体积的代数和.
D
（3）二重积分的性质
线性：
设ki,k2为常数，则有
!
!
kf（x,y）_k2g（x,y）d：
；=匕f（x,y）d二_k?
g（x,y）d匚.
DDD
可加性：
设积分区域D可分割成为D1、D2两部分，则有
f（x,y）d-：
Ilf（x,y）d.■亠iif（x,y）^.
DD[D?
积分的比较性质：
若f（X,y）_g（x,y），其中（x,y）.D，贝U
f（x,y）d•iig（x,y）d二.
DD
积分的估值性质：
设m乞f（x,yHM，其中（x,y）•D，而m,M为常数，则
m；「_f（x,y）d；丁_M；「（其中二表示区域D的面积）•
D
积分中值定理：
若f（x,y）在有界闭区域D上连续，则在D上至少存在一点「，）D,
使得
f（x,y）d：
；f（,K•
D
10.二重积分的计算
（1）二重积分在直角坐标系下的计算
直角坐标系下的面积元素？
d；「-dxdy.
①若D为：
“（xj—y—2（x）,a^x^b,则
b曳
f（x,y）dxdy二adx；
D1（
②若D：
'「（y）岂x「：
2（y）,c乞y乞d,则
（2）二重积分在极坐标系下的计算
x=rcos日极坐标系下的面积元素db=rdrdT，极坐标与直角坐标的关系丿.
.y=rsin日
①设区域D为：
r1（v，则
P臥日
11f（rcos^,rsinRrdrdv-dr（）f（rcosv,rsinv）rdr.
D-
②设区域
D为：
0wrwr（v）,awvwF；，贝U
l：
'心
!
!
f（rcos乙rsinRrdrdv-d0f（rcosv,rsin"rdr.
D
③设区域D为：
Owrf（rcosyrsinr）rdrdv-dr；旧f（rcost,rsin旳rdr•
D
11.二重积分的应用
二重积分在几何学中可用于求空间中立体的体积，在物理学中可用于求平面薄片的质量、
重心、转动惯量等.
二、解题指导
1.二元函数定义域
例1求下列函数的定义域并画出定义域的图形
解
（1）要使函数有意义，需满足条件
|4x-y2_0
八0,
定义域如图2所示.
小结多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同•即先考虑三种情况：
分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义•再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域•如果多元函数是几个函数的
代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分
2•多元函数的偏导数
22
例2设z=xxy，求zx（1,2）•
解法一求函数在一点处的偏导数是指函数的偏导函数在一点处的值.可先将y看作常
数，对x求偏导数zx（x,y^2xy2，然后代入x=1,y=2，从而Zx（1,2）=212^6•
解法二先将二元函数转化为一元函数，再对x求导数，由于z（x,2）=x2・4x，则
zx（x,2）=2x4，从而Zx（1,2）=214=6.
说明以上两种解法中解法一较为常用，解法二较简单.
222
-Z:
z：
u；z；vxu2xx
=2uInv
（2）（T）=In（2x-y）2
-■y:
u:
y:
v:
yyvy3y（2x-y）
解法二利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数
例4设z=x2f（$,sin..xy），求—,—.
x;x:
y
解此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则
令uJ
x
2
v二SIn、,xy,则z二xf（u,v），于是
.:
z_
=
;x
22Sfcu丄厨dv
：
2xf（u,v）+xfx（u,v）=2xf（u,v）+x[—']
u:
x.v:
x
2cfy丄/—1
=2xf（u,v）+x[（齐cos.xyy]
x內2Jxy
_：
z_22ff;V2f1；：
f一
=xfy（u,v）=x[]=x[cosixy
y；u打:
v:
y：
ux；-v
（丄兰1,xcos
x:
-U2\y
小结求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式•其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系
3.隐函数的偏导数
例5设e」y-2z•e，=0，求空,2.
&dy
解法一用公式法，设F（x,y,z）=e」y-2z•e』=0,
dby）-2dzde・0,
-e"yd（xy）-2dz-e^dz二0,
-e^y（ydxxdy）-（2e）dz=0,
_xy
因此Z一墮—,昱一竺—•次2+e^Sy2+e^
小结用公式法求隐函数的偏导数时，将F（x,y,z）看成是三个自变量x,y,z的函数，即x，y，z处于同等地位.方程两边对x求偏导数时，x，y是自变量，z是x，y的函数，它们的地位是不同的•
4.函数的极值与最值
例6求函数f（x,y）=x‘-4x2-2xy-y2•1的极值.
分析求函数极值问题可以用列表的方法，比较清晰，一目了然.
解
（1）求偏导数fx（x,y^3x2-8x2y,fy（x,y）=2x-2y
fxx（x,y）=6x—8,fXy（x,小二fyx（x,y）=2,fyy（x,y）--2；
（3）列表判定极值点
驻点（x°,y°）
A
B
C
△—B2—AC的符号
结论
（0,0）
—8vO
2
-2
一
极大值f（0,0）=1
（2,2）
4
2
-2
+
f（2,2）不是极值
例7某公司要用不锈钢板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱•问水箱的长、宽、高
如何设计，才能使用料最省？
解法一用条件极值求问题的解•
设长方体的长，宽，高分别为x,y,z.依题意，有
xyz=8,S二2（xyyzzx）
令f（x,y,z,■）=2（xyyzzx）+-（xyz「8）,
fx=2（y+z）+入yz=0fy=2（x+z）+入xz=0fz=2（yx）xy=0f.二xyz-8=0
才能使用料最省
解法二将条件极值转化为无条件极值
设长方体的长，宽，高分别为x,y,z.依题意，有
xyz=8,s=2（xyyzzx）
88
消去z，得面积函数s二2（xy-―）,x0,y0,xy乞8.
xy
Sx=2（y一2）=0由:
得驻点（2,2）,
Sy=2（X-—2）=0
y
根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（2,2）为S（x,y）的最小值点，即
当水箱的长、宽、高分别为2cm时，才能使用料最省
小结求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般
都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断
5.二重积分
2
例8计算
x
xy二1所围成•
dxdy其中D由直线y=2,y二x和曲线
dy
1
4）dyy
1彳
-<2
1c
-ix
由此得
222
xxx
dxdy=dxdy+dxdy
□yDiyd2y
12x2
严”1
1
1x[In2Inx]dx+x2[ln2-Inx]dx
-1
49
=72.
显然，先对y积分后对x积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.
9已知I
1y22-y
=°dy°f（x,y）dx+rdy0f（x,y）dx改变积分次序.
因此
1y22-y
I=0dy0f（x,y）dx+dy0f（x,y）dx
12-x2
=J0dxJxf（x,y）dy.
例10计算二重积分（J一響—2，其中区域D=Qx,y）1兰x2+y2兰4〉d1+x+y
解该积分区域为环形（图6）,利用极坐标，区域的边界曲线是
222222
例11求球体xy-z_4a被圆柱面x-y=2ax（a0）所截得的立体的体积
（图7）
解由对称性，所截的部分是以
D为底的曲顶柱体体积的4倍，而曲顶柱体顶面的方程是
222
z二4a-x-y.
因此
V二411v4a2-x2-y2dxdy，
D
利用极坐标，便得
V=411■>4a2-r2rdrd二
2心一4a2-r2rdr
D
=40心0
JC
323
a
3
23323二2
0（1—sinrda（）.
0323
小结在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜
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