第11课时一次函数.docx
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第11课时一次函数
第11课一次函数
方法指导
1．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤为：
（1）设出一次函数解析式的一般形式y＝kx＋b（k≠0）；
（2）将x，y的对应值代入解析式y＝kx＋b中，得到含有待定系数的方程或方程组；
（3）求出待定系数k、b的值；
（4）将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中．
2．两个区别
（1）正比例函数和一次函数的区别
正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是说：
如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数．
（2）正比例和正比例函数的区别
成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例．
3．一次函数与方程（组）的关系
（1）一次函数y＝kx＋b的表达式可转化为二元一次方程kx－y＋b＝0；
（2）一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标_______是方程kx＋b＝0的解；
（3）一次函数y＝kx＋b与y＝k1x＋b1的图象交点的横、纵坐标是方程组
的解．
4．一次函数与一元一次不等式的关系
（1）函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方；
（2）函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＜0的解集，即函数图象位于x轴的下方．
真题回顾
【例】（2016·四川攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
【考点】一次函数的应用．
【分析】
（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；
（3）根据小英家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．
【解答】解：
（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元．
，
解得：
，
答：
每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．
（2）当0≤x≤14时，y=2x；
当x＞14时，y=14×2+（x﹣14）×3.5=3.5x﹣21，
故所求函数关系式为：
y=
；
（3）∵26＞14，
∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元，
答：
小英家5
月份水费69吨．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．
变式训练
1．某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
x（单位：
台）
10
20
30
y（单位：
万元∕台）
60
55
50
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图15－5所示的函数关系，该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：
利润＝售价－成本）
适应训练
2．（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：
00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：
30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？
排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
3.（2014·绍兴）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车．图15－6中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
（1）A比B晚出发几小时？
B的速度是多少？
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
课外作业
4．（2016·山东省滨州市·10分）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：
30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：
30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h．设爸爸骑行时间为x（h）．
（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）请在同一个平面直角坐标系中画出
（1）中两个函数的图象；
（3）请回答谁先到达老家．
5.（2015·广安）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
目的地
车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A
村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x
的函数解析式．
（3）在
（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出
使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
6.（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：
00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：
30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？
排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
【参考答案】
变式训练
1．某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
x（单位：
台）
10
20
30
y（单位：
万元∕台）
60
55
50
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图15－5所示的函数关系，该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：
利润＝售价－成本）
解析：
（1）设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
根据题意，得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝－
x＋65（10≤x≤70）；
（2）设该机器的生产数量为x台，
根据题意，得x
＝2000，
解得x1＝50，x2＝80.
∵10≤x≤70，∴x＝50.
答：
该机器的生产数量为50台；
（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元/台）的关系式为
z＝ma＋n.则由题知
解得
∴z＝－a＋90.
当z＝25时，a＝65.
设该厂第一个月销售这种机器的利润为w万元，
则w＝25×
＝625（万元）．
适应训练
2．（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：
00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：
30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？
排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
【考点】一次函数的应用．
【分析】
（1）暂停排水时，游泳池内的水量Q保持不变，图象为平行于横轴的一条线段，由此得出暂停排水需要的时间；由图象可知，该游泳池3个小时排水900（m3），根据速度公式求出排水速度即可；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0），再求出（2，450）在直线y=kt+b上，然后利用待定系数法求出表达式即可．
【解答】解：
（1）暂停排水需要的时间为：
2﹣1.5=0.5（小时）．
∵排水数据为：
3.5﹣0.5=3（小时），一共排水900m3，
∴排水孔排水速度是：
900÷3=300m3/h；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）．
∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900﹣450=450，
∴（2，450）在直线Q=kt+b上；
把（2，450），（3.5，0）代入Q=kt+b，
得
，解得
，
∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050．
3.（2014·绍兴）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车．图15－6中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
（1）A比B晚出发几小时？
B的速度是多少？
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
解：
（1）A比B晚出发1h，B的速度是
＝20（km/h）．
（2）由图知，A的速度是
＝45（km/h）．设在B出发后xh，
两人相遇，则
20x＝45（x－1）．
解得x＝1.8.
答：
在B出发后1.8h，两人相遇．
课外作业
4．（2016·山东省滨州市·10分）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：
30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：
30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h．设爸爸骑行时间为x（h）．
（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）请在同一个平面直角坐标系中画出
（1）中两个函数的图象；
（3）请回答谁先到达老家．
【考点】一次函数的应用．
【分析】
（1）根据速度乘以时间等于路程，可得函数关系式，
（2）根据描点法，可得函数图象；
（3）根据图象，可得答案．
【解答】解；
（1）由题意，得y1=20x（0≤x≤2）
y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；
（2）由题意得；
（3）由图象得到达老家．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用描点法是画函数图象的关键．
5.[2015·广安]为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
目的地
车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A
村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x
的函数解析式．
（3）在
（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出
使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
解：
（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意，
得
解得
∴大货车用8辆，小货车用7辆；
（2）y＝800x＋900（8－x）＋400（10－x）＋600[7－（10－x）]
＝100x＋9400（0≤x≤8，且x为整数）；
（3）由题意得12x＋8（10－x）≥100，
解得x≥5，
又∵0≤x≤8，
∴5≤x≤8，且x为整数，
∵y＝100x＋9400，
∴k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，
最小值为y＝100×5＋9400＝9900（元）．
答：
使总运费最少的调配方案是：
5辆大货车、5辆小货车前往
A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
6.（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：
00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：
30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间？
排水孔排水速度是多少？
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
【考点】一次函数的应用．
【分析】
（1）暂停排水时，游泳池内的水量Q保持不变，图象为平行于横轴的一条线段，由此得出暂停排水需要的时间；由图象可知，该游泳池3个小时排水900（m3），根据速度公式求出排水速度即可；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0），再求出（2，450）在直线y=kt+b上，然后利用待定系数法求出表达式即可．
【解答】解：
（1）暂停排水需要的时间为：
2﹣1.5=0.5（小时）．
∵排水数据为：
3.5﹣0.5=3（小时），一共排水900m3，
∴排水孔排水速度是：
900÷3=300m3/h；
（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）．
∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900﹣450=450，
∴（2，450）在直线Q=kt+b上；
把（2，450），（3.5，0）代入Q=kt+b，
得
，解得
，
∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050．
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