数值分析第三次实习报告.docx
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数值分析第三次实习报告
学生学号
实验课成绩
武汉理工大学
学生实验报告书
实验课程名称：
数值分析（第三次实习）
开课名称：
计算机科学与技术学院
指导老师姓名：
熊盛武
学生姓名：
学生专业班级：
软件工程0803班
2009——2010学年第一学期
一、实习目的：
（1）通过编程计算实践，体会和理解复化梯形公式和复化Simpson公式。
（2）通过编程计算实践，搞清变步长梯形公式的计算流程。
（3）通过编程计算实践，掌握和提高Romberg算法流程的控制技术。
（4）通过各种方法对同一题目的求解，体会各种方法的精度差异。
二、实习步骤：
（1）分别画出复化梯形公式，复化Simpson公式，变步长梯形公式和Romberg公式的算法流程图。
（2）分别用复化梯形公式和复化Simpson公式通过编程计算积分，并分析和比较算法的效率差异和精度差异。
（3）用变步长梯形公式通过编程计算积分，并分析算法精度与二分法次数之间的关系。
（4）用Romberg公式通过编程计算积分，并分析算法精度与二分法次数之间的关系。
三、算法流程图：
（一）复化梯形求算法积流程图
（三）变步长梯形求积算法流程图
（二）复化Simpson求积算法流程图
（四）Romberg公式求积流程图
四、编程计算积分
（一）复化梯形：
（1）复化梯形算法描述
（1）输入求积区间a,b和区间等分数n
（2）计算步长hh=（b-a）/n
（3）对于i=0到i=n-1计算节点函数值f（a+i*h）
（4）计算积分值T=T+2*temp;
Tn=（f（a）+f（b）+T）*h/2;
（5）输出积分值
（2）复化梯形求积程序源代码
#include
#include
doublef（doublet）
{
return1/（1+t*t）;
}
usingnamespacestd;
intmain（）
{
inti,n;
doubleh,a,b,T,temp,Tn;
cout<<"请输入求积区间:
"<cin>>a>>b;
cout<<"请输入区间等分数:
"<cin>>n;
h=（b-a）/n;
temp=0;
T=0;
for（i=1;i{
temp=f（a+i*h）;
T=T+2*temp;
}
Tn=（f（a）+f（b）+T）*h/2;
cout<<"经过复化梯形求积所得积分值T"<"<return0;
}
（3）调试过程，实验结果及分析：
1/（x*x）在区间[0,1]上8等分后,程序运行结果如下:
对区间等分后求每个子区间上的积分值，然后将每个子区间的积分值相加，就得到整个积分区间上的积分值，梯形公式具有一次代数精度。
（二）复化Simpson：
（1）复化Simpson算法描述
（1）输入求积区间a,b和区间等分数n
（2）计算步长hh=（b-a）/n
（3）对于i=0到n-1计算节点函数值temp1=f（a+i*h）;
temp2=f（a+（i+0.5）*h）;S1=S1+2*temp1;S2=S2+4*temp2;
（4）计算积分值Sn=（f（b）-f（a）+S1+S2）*h/6;
（5）输出积分值.
（2）复化Simpson算法程序源代码
#include
#include
doublef（doublet）
{
return1/（1+t*t）;
}
usingnamespacestd;
intmain（）
{
inti,n;
doubleh,a,b,S1,S2,temp1,temp2,Sn;
cout<<"请输入求积区间:
"<cin>>a>>b;
cout<<"请输入区间等分数:
"<cin>>n;
h=（b-a）/n;
temp1=0;
temp2=0;
S1=0;
S2=0;
for（i=0;i{
temp1=f（a+i*h）;
temp2=f（a+（i+0.5）*h）;
S1=S1+2*temp1;
S2=S2+4*temp2;
}
Sn=（f（b）-f（a）+S1+S2）*h/6;
cout<<"经过复化Simpson求积所得积分值S"<"<return0;
}
（3）调试过程，实验结果及分析：
1/（x*x）在区间[0,1]上8等分后,程序运行结果如下:
复化Simpson求积公式具有三次代数精度，因此在区间和区间等分数相同时，所取得的积分值结果比梯形公式更加精确。
和梯形公式一样都是利用线性组合来计算积分的近似值。
（三）变步长梯形求积：
（1）变步长梯形求积算法描述
（1）输入求积区间a,b和区间等分数n
（2）计算步长hh=（b-a）/n
（3）积分运算Fori=1ton-1;
temp1=f（a+i*h）;T0=T0+2*temp1;
（4）输出经过N-1次变步长所得积分值Tn
（5）判断是否等分每个子区间后再求出积分值，是输入1，否输入0
Ifdir=0goto步骤9.
（6）等分后积分N++;n=2*n;h=（b-a）/n;temp=0;Fori=1ton/2
temp2=f（a+（2*i-1）*h）;
temp=temp+temp2;
T[n-1]=T[n/2-1]/2+temp*h;Tn=T[n-1
（7）输出经过N-1次变步长所得积分值Tn
（8）判断是否等分每个子区间后再求出积分值，是输入1，否输入0
Ifdir=1goto步骤6.
（9）输出经过N-1次变步长所得积分值Tn
（10）结束。
（2）变步长梯形求积程序源代码
#include
#include
doublef（doublet）
{
return1/（1+t*t）;
}
usingnamespacestd;
intmain（）
{
inti,n,N,dir;
doubleh,a,b,T0,temp,temp1,temp2,temp3,T[180];
cout<<"请输入求积区间:
"<cin>>a>>b;
cout<<"请输入区间等分数:
"<cin>>n;
h=（b-a）/n;
temp=0;
temp1=0;
temp2=0;
temp3=0;
T0=0;
N=1;
for（i=1;i{
temp1=f（a+i*h）;
T0=T0+2*temp1;
}
T[n-1]=（f（a）+f（b）+T0）*h/2;
cout<<"经过"<"<loop:
if（N>1）
{temp=0;
for（i=1;i<（n/2+1）;i++）
{
temp2=f（a+（2*i-1）*h）;
temp=temp+temp2;
}
T[n-1]=T[n/2-1]/2+temp*h;
cout<<"经过"<"<}
cout<<"是否需要继续二等分每个子区间,如果是，请输入:
1如果否，请输入:
0"<cin>>dir;
while（dir>0）
{
N++;
n=2*n;
h=（b-a）/n;
gotoloop;
}
if（dir<1）
cout<<"经过"<"<return0;
}
（3）调试过程，实验结果及分析：
1/（x*x）在区间[0,1]上2等分后,程序运行结果如下
变步长梯形求积中对于n等分后Tn不满足精度要求可以等分每个子区间来求T2n的值此时只需计算新增节点的函数值，因而计算量变小了，程序运行速度也提高了。
（四）Romberg：
（1）Romberg公式求积算法描述
（1）输入求积区间a,b和区间等分数n
（2）计算步长hh=（b-a）/n
（3）计算Tn
（4）利用Tn分别求出T2n,T4n,T8n
（5）利用Tn,T2n,T4n,T8n分别求出Sn,S2n,S4n.
（6）利用Sn,S2n,S4n分别求出Cn,C2n..
（7）利用Cn,C2n求出Rn.
（2）Romberg公式求积程序源代码
#include
#include
doublef（doublet）
{
return1/（1+t*t）;
}
usingnamespacestd;
intmain（）
{
inti,j,n;
doubleh,a,b,T0,temp,temp1,temp2,temp3,T[180],S[180],C[180],R[180];
cout<<"请输入求积区间:
"<cin>>a>>b;
cout<<"请输入区间等分数:
"<cin>>n;
h=（b-a）/n;
temp=0;
temp1=0;
temp2=0;
temp3=0;
T0=0;
for（i=1;i{
temp1=f（a+i*h）;
T0=T0+2*temp1;
}
T[n-1]=（f（a）+f（b）+T0）*h/2;
for（j=0;j<3;j++）
{
temp=0;
n=2*n;
h=（b-a）/n;
for（i=1;i<（n/2+1）;i++）
{
temp2=f（a+（2*i-1）*h）;
temp=temp+temp2;
}
T[n-1]=T[n/2-1]/2+temp*h;
}
S[n/8-1]=（4*T[n/4-1]-T[n/8-1]）/3;
S[n/4-1]=（4*T[n/2-1]-T[n/4-1]）/3;
S[n/2-1]=（4*T[n-1]-T[n/2-1]）/3;
C[n/4-1]=（16*S[n/2-1]-S[n/4-1]）/15;
C[n/8-1]=（16*S[n/4-1]-S[n/8-1]）/15;
R[n/8-1]=（64*C[n/4-1]-C[n/8-1]）/63;
cout<<"经过Romberg公式所得积分值R"<return0;
}
（3）调试过程，实验结果及分析：
1/（x*x）在区间[0,1]上2等分后,程序运行结果如下:
Romberg积分公式在积分结果中加入了事后误差估计值进行补偿，因而积分计算的收敛加速，并且仅采用梯形求积法不断折半步长，就可以逐步加工出Sn,S2n,S4n,Cn,C2n,Rn等精度较高的积分结果。
第三次试验小结
1、通过试验进一步学习了积分和微分的数值计算方法，其基本原理主要是逼近论，即设法构造某个简单函数近似表示，然后对求积或求导得到的积分或导数的近似值。
基于差值原理，推导出数值积分和数值微分的基本公式。
2、插值型求积公式有公式和公式两类。
前者取等距节点，算法简单而且容易编制程序。
但是，由于其收敛性和稳定性都没有保证，所以，常用的低阶复化公式。
3、公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。
公式还可以通过选择恰当的权函数，用于计算奇异积分和广义积分，也可以是一些复杂的积分计算简化。
公式的主要缺点是节点与系数无规律。
所以高阶公式不便于上机使用。
实际应用中可以把低阶公式进行复化。
4、算法是在积分区间逐次二分的过程中，通过对梯形值进行外推加速处理，从而获得高精度的积分近似值。
它具有自动选取步长的特点，便于在计算机上使用。
外推的思想在数值微分，微分方程数值解等方法中也可以得到应用。
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