数值分析第三次实习报告.docx

1、数值分析第三次实习报告学生学号实验课成绩 武汉理工大学 学 生 实 验 报 告 书 实验课程名称： 数 值 分 析( 第三次实习) 开 课 名 称：计算机科学与技术学院 指导老师姓名： 熊盛武 学 生 姓 名： 学生专业班级：软件工程0803班 2009 2010学年 第 一 学期一、实习目的：（1）通过编程计算实践，体会和理解复化梯形公式和复化Simpson公式。（2）通过编程计算实践，搞清变步长梯形公式的计算流程。（3）通过编程计算实践，掌握和提高Romberg算法流程的控制技术。（4）通过各种方法对同一题目的求解，体会各种方法的精度差异。二、实习步骤：（1）分别画出复化梯形公式，复化Si

2、mpson公式，变步长梯形公式和Romberg公式的算法流程图。（2）分别用复化梯形公式和复化Simpson公式通过编程计算积分，并分析和比较算法的效率差异和精度差异。（3）用变步长梯形公式通过编程计算积分，并分析算法精度与二分法次数之间的关系。（4）用Romberg公式通过编程计算积分，并分析算法精度与二分法次数之间的关系。三、算法流程图：（一）复化梯形求算法积流程图（三）变步长梯形求积算法流程图（二）复化Simpson求积算法流程图（四）Romberg公式求积流程图四、编程计算积分（一）复化梯形： （1）复化梯形算法描述（1）输入求积区间a,b和区间等分数n（2）计算步长h h=(b-a)

3、/n（3）对于i=0到i=n-1计算节点函数值f(a+i*h)（4）计算积分值T=T+2*temp;Tn=(f(a)+f(b)+T)*h/2;（5）输出积分值（2）复化梯形求积程序源代码 #include#includedouble f(double t) return 1/(1+t*t);using namespace std;int main() int i,n; double h,a,b,T,temp,Tn; cout请输入求积区间:ab; cout请输入区间等分数:n; h=(b-a)/n; temp=0; T=0; for(i=1;in;i+) temp=f(a+i*h); T=T+

4、2*temp; Tn=(f(a)+f(b)+T)*h/2;cout经过复化梯形求积所得积分值Tn为: Tnendl;return 0;（3）调试过程，实验结果及分析： 1/（x*x）在区间0,1上8等分后,程序运行结果如下:对区间等分后求每个子区间上的积分值，然后将每个子区间的积分值相加，就得到整个积分区间上的积分值，梯形公式具有一次代数精度。（二）复化Simpson：（1）复化Simpson算法描述（1）输入求积区间a,b和区间等分数n（2）计算步长h h=(b-a)/n（3）对于i=0到n-1 计算节点函数值temp1=f(a+i*h); temp2=f(a+(i+0.5)*h); S1=

5、S1+2*temp1; S2=S2+4*temp2;（4）计算积分值 Sn=(f(b)-f(a)+S1+S2)*h/6;（5）输出积分值.（2）复化Simpson算法程序源代码#include#includedouble f(double t) return 1/(1+t*t);using namespace std;int main() int i,n; double h,a,b,S1,S2,temp1,temp2,Sn; cout请输入求积区间:ab; cout请输入区间等分数:n; h=(b-a)/n; temp1=0; temp2=0; S1=0; S2=0; for(i=0;in;i

6、+) temp1=f(a+i*h); temp2=f(a+(i+0.5)*h); S1=S1+2*temp1; S2=S2+4*temp2; Sn=(f(b)-f(a)+S1+S2)*h/6;cout经过复化Simpson求积所得积分值Sn为: Snendl;return 0;（3）调试过程，实验结果及分析： 1/（x*x）在区间0,1上8等分后,程序运行结果如下:复化Simpson求积公式具有三次代数精度，因此在区间和区间等分数相同时，所取得的积分值结果比梯形公式更加精确。和梯形公式一样都是利用线性组合来计算积分的近似值。（三）变步长梯形求积：（1）变步长梯形求积算法描述（1）输入求积区间a

7、,b和区间等分数n （2）计算步长h h=(b-a)/n（3）积分运算 For i=1 to n-1;temp1=f(a+i*h);T0=T0+2*temp1;（4）输出经过N-1次变步长所得积分值Tn（5）判断是否等分每个子区间后再求出积分值，是输入1，否输入0 If dir=0 goto 步骤9.（6）等分后积分N+; n=2*n; h=(b-a)/n; temp=0;For i=1to n/2temp2=f(a+(2*i-1)*h); temp=temp+temp2;Tn-1=Tn/2-1/2+temp*h; Tn=Tn-1（7）输出经过N-1次变步长所得积分值Tn（8）判断是否等分每个

8、子区间后再求出积分值，是输入1，否输入0 If dir=1 goto 步骤6.（9）输出经过N-1次变步长所得积分值Tn（10）结束。（2）变步长梯形求积程序源代码#include#includedouble f(double t) return 1/(1+t*t);using namespace std;int main() int i,n,N,dir; double h,a,b,T0,temp,temp1,temp2,temp3,T180; cout请输入求积区间:ab; cout请输入区间等分数:n; h=(b-a)/n; temp=0; temp1=0; temp2=0; temp3=

9、0; T0=0; N=1; for(i=1;in;i+) temp1=f(a+i*h); T0=T0+2*temp1; Tn-1=(f(a)+f(b)+T0)*h/2; cout经过n等分后积分值Tn为:Tn-11) temp=0; for(i=1;i(n/2+1);i+) temp2=f(a+(2*i-1)*h); temp=temp+temp2; Tn-1=Tn/2-1/2+temp*h; cout经过N-1次变步长所得积分值Tn为: Tn-1endl;cout是否需要继续二等分每个子区间,如果是，请输入:1 如果否，请输入:0dir;while(dir0) N+; n=2*n; h=(b

10、-a)/n;goto loop;if (dir1) cout经过N-1次变步长所得积分值Tn为: Tn-1endl;return 0;（3）调试过程，实验结果及分析： 1/（x*x）在区间0,1上2等分后,程序运行结果如下变步长梯形求积中对于n等分后Tn不满足精度要求可以等分每个子区间来求T2n的值此时只需计算新增节点的函数值，因而计算量变小了，程序运行速度也提高了。（四）Romberg：（1）Romberg公式求积算法描述（1）输入求积区间a,b和区间等分数n（2）计算步长 h h=(b-a)/n（3）计算 Tn（4）利用 Tn分别求出T2n,T4n,T8n（5）利用 Tn,T2n,T4n,

11、T8n分别求出Sn,S2n,S4n. （6）利用 Sn,S2n,S4n分别求出Cn,C2n.（7）利用 Cn,C2n求出Rn.（2）Romberg公式求积程序源代码#include#includedouble f(double t) return 1/(1+t*t);using namespace std;int main() int i,j,n; double h,a,b,T0,temp,temp1,temp2,temp3,T180,S180,C180,R180; cout请输入求积区间:ab; cout请输入区间等分数:n; h=(b-a)/n; temp=0; temp1=0; temp

12、2=0; temp3=0; T0=0; for(i=1;in;i+) temp1=f(a+i*h); T0=T0+2*temp1; Tn-1=(f(a)+f(b)+T0)*h/2; for(j=0;j3;j+) temp=0; n=2*n; h=(b-a)/n; for(i=1;i(n/2+1);i+) temp2=f(a+(2*i-1)*h); temp=temp+temp2; Tn-1=Tn/2-1/2+temp*h; Sn/8-1 =(4*Tn/4-1-Tn/8-1)/3; Sn/4-1 =(4*Tn/2-1-Tn/4-1)/3; Sn/2-1 =(4*Tn-1-Tn/2-1)/3; C

13、n/4-1=(16*Sn/2-1-Sn/4-1)/15; Cn/8-1=(16*Sn/4-1-Sn/8-1)/15; Rn/8-1=(64*Cn/4-1-Cn/8-1)/63; cout经过Romberg公式所得积分值Rn/8为Rn/8-1endl; return 0;（3）调试过程，实验结果及分析： 1/（x*x）在区间0,1上2等分后,程序运行结果如下:Romberg积分公式在积分结果中加入了事后误差估计值进行补偿，因而积分计算的收敛加速，并且仅采用梯形求积法不断折半步长，就可以逐步加工出Sn,S2n,S4n,Cn,C2n,Rn等精度较高的积分结果。 第三次试验小结1、通过试验进一步学习了

14、积分和微分的数值计算方法，其基本原理主要是逼近论，即设法构造某个简单函数近似表示，然后对求积或求导得到的积分或导数的近似值。基于差值原理，推导出数值积分和数值微分的基本公式。2、插值型求积公式有公式和公式两类。前者取等距节点，算法简单而且容易编制程序。但是，由于其收敛性和稳定性都没有保证，所以，常用的低阶复化公式。3、公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。公式还可以通过选择恰当的权函数，用于计算奇异积分和广义积分，也可以是一些复杂的积分计算简化。公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶公式进行复化。4、算法是在积分区间逐次二分的过程中，通过对梯形值进行外推加速处理，从而获得高精度的积分近似值。它具有自动选取步长的特点，便于在计算机上使用。外推的思想在数值微分，微分方程数值解等方法中也可以得到应用。