单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计.docx
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单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计
学号：
课程设计
题目
单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计
学院
自动化学院
专业
自动化
班级
姓名
指导教师
2012
年
12
月
23
日
课程设计任务书
学生姓名：
专业班级：
指导教师：
工作单位：
题目:
单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计初始条件：
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
要求完成的主要任务:
（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
（1）研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u为输入，
为输出）；
（2）要求系统输出动态性能满足
试设计串联超前校正装置。
（3）用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。
（4）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：
任务
时间（天）
指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料
2
分析、计算
2
编写程序
1
撰写报告
2
论文答辩
1
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
目录
摘要1
1单级移动倒立摆的建模2
1.1微分方程的推导2
1.2数学模型线性化3
2倒立摆系统的串联超前校正5
2.1未校正系统输出动态性能5
2.2系统的串联校正6
2.3校正后系统的稳定性分析7
2.4校正前系统与校正后系统的比较9
设计心得及体会10
参考文献11
本科生课程设计成绩评定表12
摘要
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：
如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
本次课程设计主要考察对课堂理论知识把握的牢固程度和将理论知识、数学建模及软件应用相综合应用的技巧。
通过对给定的物理模型进行分析和求解，进而使用自动控制中所要求的知识，串联超前校正装置，使系统响应符合题目给定的要求。
这次课程设计要求的绘图软件为MATLAB，使用的校正方式为串联超前校正。
关键字：
倒立摆串联超前校正MATLAB
1单级移动倒立摆的建模
系统建模可以分为两种：
机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。
1.1微分方程的推导
在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统
设输入作用力为u，输出为摆角θ
写原始方程式。
设摆杆中心A的坐标为
，于是
，
画出系统隔离体受力图如图1，图中V为小车和摆杆在垂直方向上的相互作用力，H为小车和摆杆在水平方向的相互作用力，θ为摆杆与垂直向上方向的夹角，取顺时针为正，l代表杆摆动轴心和杆质心的距离。
摆杆围绕中心转动方程：
（1）
式中J为摆杆围绕重心A的转动惯量。
摆杆重心A沿x轴方向运动方程为：
即：
（2）
摆杆重心A沿y轴方向运动方程为：
即
（3）
小车沿x轴方向运动方程式为：
（4）
方程
（1）~（4）为车载倒立摆系统方程组。
因为还有sinθ和cosθ项，所以为非线性微分方程组，且中间变量不易相消。
1.2数学模型线性化
当θ很小时（
），非线性三角函数可近似为
。
故可对方程组进行线性化，带入
，
，方程式
（1）~（4）可用线化方程表示为：
将方程组化简消掉中间变量V、H、x得：
（5）
此为二阶线性化偏量微分方程
在零初始条件下，对方程（5）中各项做拉普拉斯变换，可得s的代数方程：
（6）
以作用力u为输入，摆角为θ输出并代入转动惯量
求得传递函数：
（7）
代入M（小车的质量）=1kg，m（倒立摆的质量）=0.1kg;L（倒立摆的长度）=1m到式（7）
得：
2倒立摆系统的串联超前校正
2.1未校正系统输出动态性能
原系统结构图如图2所示，设输入为单位阶跃响应
图2simulink环境单位阶跃响应结构图
用MATLAB做出单位阶跃响应曲线如下图3
图3单位阶跃响应曲线
用MATLAB做出传递函数的根轨迹图图4,MATLAB程序如下
n=[-0.7317]%设置分子参数
d=[10-8.0488]%设置分母参数
Rlocus（n,d）%作根轨迹图
图4根轨迹
用matlab做伯德图图5，MATLAB程序如下
G=tf（[-0.7317],conv（[10-8.0488],[1]））%设置函数参数
bode（G）%作伯德图
图5伯德图
由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。
2.2系统的串联校正
超前校正就是在前向通道中串联传递函数为
，a>1的校正装置，其中参数a、T为可调，从超前校正的零、极点可以位于s平面负实轴上的任意位置，从而产生不同的校正效果。
超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统稳定性等。
串联超前校正装置后闭环传递函数
同时用劳斯判据来判定新的校正后的传递函数。
表1劳斯表
可得，新的传递函数可以通过改变变量的方法使其在串联超前校正装置后稳定
即是当a和T两个变量取以上范围的时候，可以是系统稳定。
为了符合设计要中所需要达到的参数范围，我进行了小范围的假设和调节设a=2的时候，同时使G`（s）的形式更加接近于典型的二阶系统，又因为
，可以先进行几何化简
2.3校正后系统的稳定性分析
图6simulink仿真
用MATLAB做出新的单位阶跃响应曲线如下图7
图7校正后阶跃响应曲线
由系统校正后单位阶跃响应曲线（设在t=1s时输入单位阶跃信号）可得，设计要求
用matlab做出校正后传递函数的根轨迹图如下图8，MATLAB程序如下
n=[256]%设置分子参数
d=[1864]%设置分母参数
rlocus（n,d）%作根轨迹图
图8校正后根轨迹图
用matlab做出伯德图如下图9，MATLAB程序如下
G=tf（256,[1864]）%设置函数参数
bode（G）%作波特图
图9校正后波特图
分别为系统校正后的闭环根轨迹和波特图，由这两张图可看出系统已处于稳定状态。
2.4校正前系统与校正后系统的比较
通过在前通道串联超前校正装置，我得到了一个稳定的倒立摆系统，超前校正装置的串入，使得系统的动态过程的超调量下降由原来的不稳定时的无穷到校正后的
同时调节时间缩短至1s，前通道串联超前校正装置校正成功，满足设计所限制范围内。
引入超前校正装置对原系统的稳态精度没有影响。
设计心得及体会
一分耕耘，一分收获。
这是我大学以来第一次自动控制原理课程设计，这其中充满了挑战和乐趣。
让我成长了很多，同时也使自己的前进方向更加明确。
一直以来，我个人都对MATLAB很感兴趣，渴望自己能学会使用驾驭这款软件，提高自己的技能。
可总因为种种原因和自己不够刻苦而未能取得进步，这次课程设计再一定程度上恰好提供了契机，让我得以专心研究MATLAB的使用方法。
从二维图形到三维图形的设计，从波特图到Simulink仿真，不得不说，这其中充满了挑战，也充满了快乐，让我看到自己点点滴滴的进步，感受课社和大学学习的真正意义及安排这种科学修养的老师的良苦用心。
在这次课程设计初，我和很多同学一样，对如何开始而苦恼。
但是与其举步不前，不如勇敢尝试，我温习了大学物理学的知识，对研究课题进行牛顿力学建模，然而所得到的结果还不够完善。
于是，我参考了一些单级摆建模的专业书籍，完成了单级移动倒立摆在理想情况下的模型建立。
在设计超前校正装置时，我的思路又陷入了僵局，对于校正方法以及反馈环节的选择不值如何是好，在和同学讨论后，选择了比例微分校正方法，多次修改实验参数后，总算做出了符合要求的装置及波形图。
最后，我要感谢在学习和设计过程中的老师，因为你们的指导，我才得以避过许多弯曲的道路，比较有效率的完成了这次课程设计，同时也从中感受到了课程设计的乐趣。
再次感谢你们，让我的大学生活多一份宝贵的纪念和回忆。
参考文献
[1]胡寿松《自动控制原理（第五版）》北京，科学出版社，2007
[2]王万良《自动控制原理》北京，高等教育出版社，2008
[3]王晓元，廖红，赵黎，刘想宁《大学物理学（上）》武汉，武汉理工大学出版社，
2008
[4]夏玮《MATLAB控制系统仿真与实例详解》北京，人民邮电出版社，2008
[5]周品，赵新芬《MATLAB数学建模与仿真》北京，国防工业出版社，2008
本科生课程设计成绩评定表
姓名
性别
专业、班级
课程设计题目：
单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计
课程设计答辩或质疑记录：
成绩评定依据：
评定项目
评分成绩
1．选题合理、目的明确（10分）
2．设计方案正确、具有可行性、创新性（20分）
3．设计结果（20分）
4．态度认真、学习刻苦、遵守纪律（15分）
5．设计报告的规范化、参考文献充分（不少于5篇）（10分）
6．答辩（25分）
总分
最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定）
指导教师签字：
年月日
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