MATLAB数值数组及向量化运算.docx
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MATLAB数值数组及向量化运算
第2章数值数组及向量化运算
数值数组（NumericArray）和数组运算（ArrayOperations）始终是MATLAB的核心内容。
本章教学内容：
数组浮点算法的特点；一、二维数值数组的创建和寻访；常用标准数组生成函数和数组构作技法；数组运算和向量化编程；实现数组运算的基本函数；关系和逻辑操作。
2.1数值计算的特点和地位
【例2.1-1】已知
，求
。
（1）符号计算解法
symstx%定义符号变量
ft=t^2*cos（t）
sx=int（ft,t,0,x）
ft=
t^2*cos（t）
sx=
x^2*sin（x）-2*sin（x）+2*x*cos（x）
（2）数值计算解法
dt=0.05;
t=0:
dt:
5;%取一些离散点
Ft=t.^2.*cos（t）;
Sx=dt*cumtrapz（Ft）;%梯形法求定积分
t（end-4:
end）%end表示最后一个元素
Sx（end-4:
end）%Sx的最后5个元素
plot（t,Sx,'.k','MarkerSize',12）
xlabel（'x'）,ylabel（'Sx'）,gridon
ans=
4.80004.85004.90004.95005.0000
ans=
-20.1144-19.9833-19.7907-19.5345-19.2131
图2.1-1在区间[0,5]采样点上算得的定积分值
【例2.1-2】已知
，求
。
本例演示：
被积函数没有“封闭解析表达式”，符号计算无法解题！
（1）符号计算解法
symstx
ft=exp（-sin（t））
sx=int（ft,t,0,4）
ft=
exp（-sin（t））
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
>Insym.intat58
sx=
int（exp（-sin（t））,t=0..4）
（2）数值计算解法
dt=0.05;
t=0:
dt:
4;
Ft=exp（-sin（t））;
Sx=dt*cumtrapz（Ft）;
Sx（end）
plot（t,Ft,'*r','MarkerSize',4）
holdon
plot（t,Sx,'.k','MarkerSize',15）
holdoff
xlabel（'x'）
legend（'Ft','Sx'）
ans=
3.0632
图2.1-2在区间[0,4]中间的被积函数及其原函数的离散计算结果
小结：
（1）符号计算
长处——可以对包含变量字符、参数字符和数字的表达式进行推理、运算，并给出符号结果，与高等数学中的解析式比较接近；符号计算的短处——很多问题无解或求解时间过长。
（2）数值计算
在确定一组自变量采样点基础上，执行数值计算的表达式在已知的数值点上进行计算。
它适用范围比符号计算广，以有限的精度表现有限时间和范围内的函数关系。
2.2数值数组的创建和寻访
MATLAB把数组看作存储和运算的基本单元，而标量数据看作（1×1）的数组。
2.2.1一维数组的创建
1.递增/减型一维数组的创建
数组元素值的大小按递增或递减的次序排列，数组元素之间的“差”是“确定的”，即“等步长”。
（1）“冒号”生成法
x=a:
inc:
b；a—数组的第一个元素；inc—步长，默认值为1；最后一个元素小于等于b。
（2）线性（或对数）定点法
x=linspace（a,b,n）；产生线性等间隔（1×n）行数组，等价于x=a:
（b-a）/（n-1）:
b；
x=logspace（a,b,n）；产生对数等间隔（1×n）行数组，n—一维数组的长度。
2.通用型一维数组的创建
利用函数生成特殊形式数组。
【例2.2-1】一维数组的常用创建方法举例。
a1=1:
6
a2=0:
pi/4:
pi
a3=1:
-0.1:
0
a1=
123456
a2=
00.78541.57082.35623.1416
a3=
Columns1through6
1.00000.90000.80000.70000.60000.5000
Columns7through11
0.40000.30000.20000.10000
b1=linspace（0,pi,4）
b2=logspace（0,3,4）
b1=
01.04722.09443.1416
b2=
1101001000
c1=[2pi/2sqrt（3）3+5i]
c1=
Columns1through3
2.00001.57081.7321
Column4
3.0000+5.0000i
rand（'state',0）
c2=rand（1,5）%均匀随机数组
c2=
0.95010.23110.60680.48600.8913
2.2.2二维数组的创建
1.小规模数组的直接输入法
【例2.2-2】在MATLAB环境下，用下面三条指令创建二维数组C。
a=2.7358;b=33/79;
C=[1,2*a+i*b,b*sqrt（a）;sin（pi/4）,a+5*b,3.5+i]
C=
1.00005.4716+0.4177i0.6909
0.70714.82443.5000+1.0000i
数组的三个要素：
括号[]；逗号或空格；分号或回车键。
2.中规模数组的数组编辑器创建法
【例2.2-3】根据现有数据创建一个
的数组。
图2.2-1利用数组编辑器创建中规模数组
3.中规模数组的M文件创建法
【例2.2-4】创建和保存数组AM的MyMatrix.m文件。
（1）打开文件编辑调试器，并在空白填写框中输入所需数组（见图2.2-2）。
（2）在文件的首行，编写文件名和简短说明，以便查阅（见图2.2-2）。
（3）保存此文件，并且文件起名为MyMatrix.m。
（4）以后只要在MATLAB指令窗中，运行MyMatrix.m文件，数组AM就会自动生成于MATLAB内存中。
图2.2-2利用M文件创建数组
4.利用MATLAB函数创建数组
【例2.2-5】标准数组产生的演示。
ones（2,4）%产生全1元素数组zeros—产生全0元素数组
ans=
1111
1111
randn（'state',0）%产生正态分布随机数组；rand—产生均匀分布随机数组
randn（2,3）
ans=
-0.43260.1253-1.1465
-1.66560.28771.1909
D=eye（3）%产生单位数组
D=
100
010
001
diag（D）%产生对角数组
ans=
1
1
1
diag（diag（D））
ans=
100
010
001
randsrc（3,20,[-3,-1,1,3],1）%在指定字符集生成均匀随机数组；random—生成各种分布随机数组
ans=
Columns1through10
313-1-33-3-3-13
1313-111111
3-1-3-11-13-1-11
Columns11through20
-1-1-311-33-113
113-1-1-3-1-11-3
1-1-33-1-13-133
2.2.3二维数组元素的标识和寻访
【例2.2-6】本例演示：
数组元素及子数组的各种标识和寻访格式；冒号的使用；end的作用。
A=zeros（2,6）
A（:
）=1:
12
A=
000000
000000
A=
1357911
24681012
A（2,4）
A（8）
ans=
8
ans=
8
A（:
[1,3]）
A（[1,2,5,6]'）
ans=
15
26
ans=
1
2
5
6
A（:
4:
end）
ans=
7911
81012
A（2,1:
2:
5）=[-1,-3,-5]
A=
1357911
-14-38-512
B=A（[1,2,2,2],[1,3,5]）
B=
159
-1-3-5
-1-3-5
-1-3-5
L=A<3
A（L）=NaN
L=
100000
101010
A=
NaN357911
NaN4NaN8NaN12
格式
使用说明
全下标法
A（r,c）
A的r行c列上元素
A（r,:
）
A的r行全部列元素
A（:
c）
A的c列全部行元素
单下标法
A（:
）
“单下标全元素”，由A的各列按自左到右次序，首尾相连生成的“一维”数组
A（s）
“单下标”寻访，生成s指定的“一维”数组，s行数组（列数组），则A（s）就是长度相同的行数组（列数组）
逻辑标识法
A（L）
“逻辑1”寻访，由与A同样大小的“逻辑数组”L中的“1”元素选出A的对应元素
2.2.4数组构作技法综合
【例2.2-7】数组操作函数reshape,diag,repmat的用法；空阵[]删除子数组的用法。
a=1:
8
A=reshape（a,4,2）%在总元素不变的前提下，改变数组的行数或列数
A=reshape（A,2,4）
a=
12345678
A=
15
26
37
48
A=
1357
2468
b=diag（A）
B=diag（b）
b=
1
4
B=
10
04
D1=repmat（B,2,4）%按指定的行数2、列数4，把B作为模块铺放形成更大维数的数组
D1=
10101010
04040404
10101010
04040404
D1（[1,3],:
）=[]
D1=
04040404
04040404
【例2.2-8】函数flipud,fliplr,rot90对数组的操作体现着“矩阵变换”。
A=reshape（1:
9,3,3）
A=
147
258
369
B=flipud（A）%以数组“水平中线”为对称轴，交换上下对称位置上的数组元素
B=
369
258
147
C=fliplr（A）%以数组“垂直中线”为对称轴，交换左右对称位置上的数组元素
C=
741
852
963
D=rot90（A,2）%把数组逆时针旋转90度
D=
963
852
741
2.3数组运算
2.3.1数组运算的由来和规则
1.数组运算规则
（1）同维数组运算
，
，
（2）标量和数组运算
，
，
（3）函数的数组运算
，
结论：
数组运算是对单个元素进行运算。
2.数组运算符及数组运算函数
（1）运算符
＋，－，.*，./（.\）,.^（乘方运算），.'（表示非共轭转置），关系、逻辑运算符。
数组运算两个数组必须同维数，矩阵还必须乘法要求的维数；矩阵左除运算是MATLAB专门设计的一种运算。
（2）运算函数
三角、反三角函数；双曲、反双曲函数；指数、对数函数（exp,sqrt,log,log10）；园整、求余函数（round,fix,mod,floor）；模、角、虚实部（abs,angle,real,imag,conj）；符号函数（sign）。
2.3.2数组运算和向量化编程
【例2.3-1】欧姆定律：
，其中
分别是电阻（欧姆）、电压（伏特）、电流（安培）。
验证实验：
据电阻两端施加的电压，测量电阻中流过的电流，然后据测得的电压、电流计算平均电阻值。
（测得的电压电流具体数据见下列程序）。
（1）非向量化程序
clear
vr=[0.89,1.20,3.09,4.27,3.62,7.71,8.99,7.92,9.70,10.41];
ir=[0.028,0.040,0.100,0.145,0.118,0.258,0.299,0.257,0.308,0.345];
%--------------------
L=length（vr）;
fork=1:
L
r（k）=vr（k）/ir（k）;
end
%---------------------------
sr=0;
fork=1:
L
sr=sr+r（k）;
end
rm=sr/L
rm=
30.5247
（2）向量化程序
clear
vr=[0.89,1.20,3.09,4.27,3.62,7.71,8.99,7.92,9.70,10.41];
ir=[0.028,0.040,0.100,0.145,0.118,0.258,0.299,0.257,0.308,0.345];
r=vr./ir
rm=mean（r）
r=
31.785730.000030.900029.448330.678029.883730.066930.817131.493530.1739
rm=
30.5247
小结：
（1）采用“数组运算”（“向量化运算”）模式处理反复执行的标量运算，提高程序的执行性能；
（2）采用“向量或矩阵运算”模式去执行那些传统上靠多重循环标量运算完成的矩阵计算。
【例2.3-2】用间距为0.1的水平线和垂直线均匀分割
的矩形域，在所有水平线和垂直线交点上计算函数
的值，并图示。
（1）
clear
x=-5:
0.1:
5;
y=（-2.5:
0.1:
2.5）';
N=length（x）;
M=length（y）;
forii=1:
M
forjj=1:
N
X0（ii,jj）=x（jj）;
Y0（ii,jj）=y（ii）;
Z0（ii,jj）=sin（abs（x（jj）*y（ii）））;
end
end
（2）
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
Z=sin（abs（X.*Y））;
（3）
norm（Z-Z0）
ans=
0
（4）
surf（X,Y,Z）
xlabel（'x'）
ylabel（'y'）
shadinginterp
view（[190,70]）
图3.3-1指定域上的二元函数图形
2.4关系操作和逻辑操作
在程序流控制、逻辑推理中，需要“真”和“假”判断。
MATLAB约定：
非0看作“逻辑真”；数组运算结果中的1表示“真”、0表示“假”；“数值类”有关操作同样适用于关系和逻辑操作。
2.4.1关系操作
>（大于），>=（大于等于），<（小于），<=（小于等于），==（等于）~=（不等于）
【例2.4-1】关系运算示例。
A=1:
9,B=10-A
r0=（A<4）
r1=（A==B）
A=
123456789
B=
987654321
r0=
111000000
r1=
000010000
【例2.4-2】关系运算应用。
t=-3*pi:
pi/10:
3*pi;
y=sin（t）./t;
tt=t+（t==0）*eps;
yy=sin（tt）./tt;
subplot（1,2,1）,plot（t,y）,axis（[-9,9,-0.5,1.2]）,
xlabel（'t'）,ylabel（'y'）,title（'残缺图形'）
subplot（1,2,2）,plot（tt,yy）,axis（[-9,9,-0.5,1.2]）
xlabel（'tt'）,ylabel（'yy'）,title（'正确图形'）
Warning:
Dividebyzero.
图2.4-1采用近似极限处理前后的图形对照
2.4.2逻辑操作
&（与），|（或），~（非），xor（异或）
【例2.4-3】逻辑操作和关系操作。
本例演示：
逻辑、关系操作的组合；xor的作用。
（1）逻辑、关系操作的组合
A=[-2,-1,0,0,1,2,3]
L1=~（A>1）%判断A中，哪些元素不大于1
L2=（A>0）&（A<2）%判断A中，哪些元素大于0且小于3
A=
-2-100123
L1=
1111100
L2=
0000100
（2）xor的作用
A,B=[0,-1,1,0,1,-2,-3]
C=xor（A,B）%当A,B数组中，两个对应元素中仅一个为0时，给出1。
否则为0。
A=
-2-100123
B=
0-1101-2-3
C=
1010000
【例2.4-4】试绘制如图2.4-2最下那幅子图所示的“正弦波
的削顶半波整流波形”，削顶发生在每个周期的
之间。
clear,t=linspace（0,3*pi,500）;y=sin（t）;
z1=（（t2*pi））.*y;
w=（t>pi/3&t<2*pi/3）+（t>7*pi/3&t<8*pi/3）;
wn=~w;
z2=w*sin（pi/3）+wn.*z1;
subplot（4,1,1）,plot（t,y,':
r'）,axis（[0,10,-1.5,1.5]）
ylabel（'y'）,gridon
subplot（4,1,2）,plot（t,z1,':
r'）,axis（[0,10,-0.2,1.5]）,ylabel（'z1'）
subplot（4,1,3）,plot（t,wn,':
r'）,axis（[0,10,-0.2,1.5]）,ylabel（'wn'）
subplot（4,1,4）,plot（t,z2,'-b'）,axis（[0,10,-0.2,1.5]）,ylabel（'z2'）
xlabel（'t'）
图2.4-2逐段解析函数的产生
2.4.3常用逻辑函数
含0数组判断：
all,any
生成逻辑数组：
false,true,logical
数据对象判断：
isempty,isprime,isfinite,isreal,isinf,isletter,isnan,isspace
数据类型判断：
isa,ischar,isglobal,ishandle,islogical,isnumeric
作业2
1．要求在闭区间
上产生具有10个等距采样点的一维数组。
试用两种不同的指令实现。
〖答案〗
2．由指令rand（'state',0）,A=rand（3,5）生成二维数组A，试求该数组中所有大于0.5的元素的位置，分别求出它们的“全下标”和“单下标”。
〖答案〗
3．在时间区间[0,10]中，绘制
曲线。
要求分别采取“标量循环运算法”和“数组运算法”编写两段程序绘图。
〖答案〗
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