第17课时 数据的收集.docx
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第17课时数据的收集
第17课时数据的收集、整理、描述和分析
复习目标
1、了解普查和抽样调查的区别
2、能正确指出总体、个体、样本和样本容量，会用样本估计总体，并根据统计结果作出合理的判断和预测。
3、理解平均数、中位数、和众数的意义会求一组数的平均数、中位数和众数；理解加权平均数的概念，会计算加权平均数；能用样本平均数估计总体平均数。
4、理解极差和方差的意义，会求一组数据的极差和方差，能用样本方差去估计总体方差。
5、理解频数、频率的概念；了解频率分布的意义和作用，利用频数和频率去解决实际问题。
6、会用条形统计图、扇形统计图、折线统计图和频数分布直方图描述数据，并能通过统计图获取相关信息。
教学过程
一、知识网络
1、数据的收集
我们经常用普查和抽样调查这两种方法来调查考察对象，常用用语有总体、个体、样本以及频数与频率。
（1）普查
为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。
（2）抽样调查
人们从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大，受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查，或调查具有破坏性时，不允许普查，这时我们往往会用抽样调查来估计总体。
在实际调查活动中感受抽样的必要性的同时，要体会抽样方式的差异或对结论的影响，认识到为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意哪些样本的代表性和广泛性。
（3）频数与频率：
实验中，某种事件（情况、对象）重复出现的次数叫做这个事件出现的频数。
实验中，某事件的频数与实验的总次数的比值叫做这事件的频率。
频率的大小反映了事件发生的可能性大小；数据组中某个数的频率，也就是这个数的权数，所以，一个数据的频率越大，它对这个数据组的加权平均数的影响越大。
（4）总体、个体、样本、样本容量：
与所研究的问题有关的所有对象组成一个总体；每一个对象叫做个体；从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数量叫做样本容量。
说明：
（1）总体、个体、样本定义中的考察对象是一种数量指标，如灯泡的使用寿命。
（2）样本容量是指样本中的数目，因此不带单位。
（3）在统计里，之所以要用样本去估计总体的情况，基于两点：
一是很多情况下的总体包含的个体数目玩玩很多，甚至无限，不可能一一加以考察；二是有些从总体中抽取的个体的试验带有破坏性，因而抽取的个体不允许太多。
（4）对于简单的随机样本，可以用样本的百分比去估计总体的百分比，用样本的平均数去估计总体的平均数，用样本的方差去估计总体方差
2、数据的整理和描述
描述数据常用条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布表（或频数分布直方图），条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，频数分布表能反映在各组中的各数据的分布个数；
我们在收集到一些数据后，数据的个数比较多且连续取值时，我们通常将数据分组，然后再绘制频数分布直方图.制作频数分布表和频数分布直方图的一般步骤：
1、计算最大值和最小值的差；2、决定组距（每组两个端点之间的距离称为组距）和组数；3、决定分点：
比原数据多一位小数，可确保每个数据（皆为整数）都属于且只属于一组；4、画频数分布表；5、画频数分布直方图；
3、数据的分析
（1）集中趋势
平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
加权平均数：
数据
的权数为
，数据
的权数为
，…数据
的权数为
，则这组数据的加权平均数为：
；（权为某个数据的个数占总数据个数的比例；权数是一组非负数，所有数据的权数之和为1）
中位数：
将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
众数：
一组数据中出现次数最多的那个数，一组数据中可能众数不止一个，也可能没有。
平均数、中位数、众数的相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现于三个方面：
都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。
平均数、中位数、众数的不同点：
（1）、代表不同
平均数：
反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。
中位数：
像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数：
反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。
（2）、特点不同
平均数：
与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。
主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。
中位数：
与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。
众数：
与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，
一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有。
（3）、作用不同
平均数：
是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。
平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。
因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
中位数：
作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。
但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数：
作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。
。
在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
（2）波动大小
极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。
极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。
如甲射击成绩的极差为10-4=6（环）。
乙射击成绩的极差为9-5=4（环）。
用方差和极差来描述数据的离散程度时，极差计算方便，但只与数据的最大值和最小值有关，而方差可以较全面地反映数据的离散程度。
方差多用于描述某项技术的稳定性、重复测量时的精确程度、特殊人群身高的整齐程度等。
方差：
一组数据中的各数与其平均数的偏离的平方的平均值，称为这组数据的方差。
即几个数据
的平均数为m，则该n个数据的方差等于：
二、例题
（一）、见《单科王》P51-52
（二）、补充例题：
1、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，图1-6是其中的甲、乙路段台阶的示意图，请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？
为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。
分析：
本题重点考查了对平均数、极差与方差的有关知识的理解与应用能力。
要想解决本题中提出的问题，首先要弄明白以下几个问题：
（1）从哪些角度考虑两段台阶路的相同点和不同点？
由于给出了两段台阶路中每层台阶的不同高度，而“平均数”是最为常用的一个评判指标，所以我们可以先来考虑这两段台阶平均数的不同，当“平均数”还难以刻画这两组数据时，我们就可以通过方差来考虑这两段台阶的“波动情况”。
（2）怎样判断哪段台阶路走起来更舒服呢？
要想判断哪段台阶路走起来更舒服，实际上就是考查数据的波动程度，因此我们需要在考查平均数的基础上，再来考虑方差对数据的影响，方差越大说明数据波动越大，越不舒服，方差越小越舒服。
解：
（1）X甲=
=15，
X乙=
=15。
相同点：
甲台阶与乙台阶的各阶高度参差不齐，但两段台阶路段高度的平均数相同。
不同点：
两段台阶高度的中位数、方差和极差均不相同。
（2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小。
（3）使台阶的各阶高度方差越小越好，每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0。
2.为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数,满分为100分）进行统计.请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题:
频率分布表
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
合计
（1）填充频率分布表中的空格;
（2）初全频率分布直方图;
（3）在该问题中的样本容量是多少?
答:
_________________.
（4）全体参赛学生中,竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多?
（不要求说明理由）.
答:
________________.
（5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀,则该校成绩优秀的约为多少人?
答:
________________.
3、某农户在山上种了苹果树44株，现进入第三年收获，收获时，先随意采摘5株果树上的苹果，称得每株果树上的苹果重量如下：
（单位：
千克）35，35，34，39，37．
（1）根据样本平均数估计，这年苹果的总产量约是多少？
（2）若市场上苹果售价为5元/千克，则这年该农户卖苹果的收入约达到多少元？
（3）已知该农户第一年卖苹果收入为5500元，根据以上估计，试求第二年、第三年卖苹果收入的年平均增长率．
解：
（1）样本平均数为
（千克），于是可以估计出这年苹果的总产量约为：
（千克）．
（2）这年该农户卖苹果的收入约为：
（元）．
（3）设第二年、第三年卖苹果收入的年平均增长率为x，
则有
，解得
（舍负）．答略．
三、总结
见知识网络
四、训练
《单科王》P53-55
第18课时概率
复习目标
1、了解概率的含义，通过实验获得事件发生的概率，知道大量重复实验的概率可以作为事件发生的概率的估计值。
2、运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
3、在学习中培养概率观念，能够用随机的观念观察和分析问题，能够运用概率辨别一些公平性问题。
教学过程
一、知识网络
1、确定性现象和随机现象：
在一定条件下有确定结果的现象称为确定性现象；在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果（不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。
随机现象中，可能发生的事件叫作随机事件；生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，
2、概率的定义及其计算
（1）概率：
在随机现象中，一个事件发生的可能性大小叫作这个事件的概率。
（2）常见事件的概率
必然事件：
在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。
必然事件发生的概率为1，即p（必然事件）=1；
不可能事件：
在一定条件下不会好的事件称为不可能事件。
不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
不确定事件：
如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1
3、概率的计算方法：
（1）用实验中频率估计概率：
在随机现象中，一个随机事件发生与否，事先无法预料，表面上看似无规律可循，但当我们大量重复试验时，这个事件发生的频率重呈稳定性（稳定到某一个数值），因此，做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率（平稳时的频率）作为这个事件的概率的估计值。
用频率估计概率，一般求得的是概率的近似值，特别是次数不够大时，这个概率的近似值存在着一定的误差。
频率与概率的关系：
频率与概率这是两个不同的概念。
概率是伴随随机事件客观存在的，概率是一个确定的数，与每次试验无关。
而频率是通过试验得到的。
当实验次数充分大时，频率在概率附近摆动。
可以通过观察随机试验次数的不断增加时频率值在哪个数附近摆动，据此估计概率值。
但是频率值不等于概率值。
所以，在掷硬币的试验中，正面向上的概率是
，这是客观存在的，但试验100次出现正面向上的次数可能是50次，还可能是45次，56次等等，其频率值不等于概率值。
（2）理论概率的计算：
在随机现象中，出现的各种可能的结果共有n种，如果出现其中每一种结果的可能性大小一样，那么出现每一种结果的概率都是
，如果事件A包含m种可能的结果，那么出现这个事件的概率记作P（A）。
=
运用概率定义，一定要是出现每一种结果的可能性大小一样。
在用分析法进行简单时件的概率计算时，常用列表法或树状图法计算概率。
在教学中强调以下几点：
（一）、用列表法列举由两个步骤组成的某一事件的所有可能结果的方法：
（1）把第一列第一行一分为二，左下角习惯表示第一次操作的可能结果，右上角表示第二次操作的可能结果；
（2）第一步操作的可能结果有几种，所以表格画几行，第二步操作的可能结果有几种，所以表格画几列；（3）用数对（a，b）填写表格，其中a是第一次投出的数，b是第二次投出的数。
（4）通过表格计数，确定公式P（A）=
中m和n的值；（5）利用公式P（A）=
计算事件的概率。
（二）、画树形图求概率的基本步骤：
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序：
一个随机事件的试验是分几个独立的步骤进行，树枝相应分为几级；每一步有几种基本结果，树状图中同一级就有几条树枝；
（2）按顺序配对：
列举一次试验的所有可能结果；
（3）明确随机事件，数出
；
（4）计算随机事件的概率
．
（三）如何选用列表法和树状图法求概率？
当一次随机试验需要两步完成并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可采用列表法（当然也可用树状图法）．
当一次随机试验需要三步完成（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
4、游戏公平性的判断：
在某个游戏中，如果双方所执行的不确定事件发生的概率不相同，则游戏对对方不公平，游戏公平是指双方获胜的可能性相同；
二、例题
例1、甲、乙两位同学玩掷飞镖的游戏，他们分别用如图所示的两个靶子，甲用的等边三角形的靶子被其三条角平分线分割成A，B，C三部分，乙用的圆形靶子被互相垂直的直径和半径也分割成A，B，C三部分。
试问
（1）在三角形靶子中飞镖随机地掷在区域A，B，C的概率是多少？
（2）在圆形靶子中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
分析：
本题实际是进一步考查概率知识与几何知识的一个综合应用，由于等边三角形三线合一，所以三条角平分线将等边三角形分成面积相等的三部分，而对于互相垂直的圆的直径和半径来说，直径将面积二等分，半径将面积四等分。
1.P（落在区域A）=
，P（落在区域B）=
，P（落在区域C）=
。
2．P（没投在区域C）=
。
例2.小明、小亮、小红三个人从编号1，2，3的卡片中各抽一张，谁抽到1号卡片，谁就得到一张电影票，抽签前三人有些争议：
小明认为谁先抽谁赢的概率大，谁最后抽则谁赢的概率小，所以他要求先抽；小亮认为不分先后赢的概率一样大，所以他无所谓；小红认为最先抽的人赢的概率较大，后面两个人赢的概率一样，所以她也要先抽，请你谈谈对此事的看法，并说明道理。
分析：
你认为他们三个人谁的说法正确呢？
本题应怎样解决呢？
实际上，本题重点考查了对概率知识的理解，利用概率知识来解释一些事件发生的概率，从而解决生活中的实际问题，虽然在三张签中只有抽到1号卡片的人才能去看电影，但我们都知道第一个抽签的人有
的概率会抽到1号签，对第二个人来说，虽然只剩两张签，看上去抽中的概率是
，但是他是在第一个人抽剩下的
个机会中去抽签的，所以他也有
的概率会抽到1号签，同样的第三个人是在最后剩下的机会中去抽取的因此抽中的概率是相等的，都是
。
解：
抽签是不分先后的，每人抽中的概率是相等的，都是
。
P（第一个抽到1号签）=
。
P（第二个抽到1号签）=
×
=
。
P（第三个抽到1号签）=
×
×1=
。
例3.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗?
分析：
为了知道配成紫色与配不成紫色的概率是否相同,我们可以想一想当分别转动两个转盘会有哪些结果可能发生呢？
由于这是一个两步实验的随机事件发生的概率的计算,我们不妨借助列表格（列举法和画树状图）来分析一下。
解答：
法一：
列表格
；因为
红
蓝
蓝
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
所以P（配成紫色）=5/9，P（配不成紫色）=4/9
法二：
列举法：
因为转动转盘共出现九种结果，即：
（红，红），（红，蓝），（红，蓝），（红，红），（红，蓝），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝）（蓝，蓝），而其中配成紫色的有五种结果，所以P（配成紫色）=5/9，P（配不成紫色）=4/9
法三：
画树状图：
开始
转盘1
红红蓝
转盘2红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝
（红，红）（红，蓝）（红，蓝）（红，红）（红，蓝）（红，蓝）（蓝，红）（蓝，蓝）（蓝，蓝）
所以P（配成紫色）=5/9，P（配不成紫色）=4/9
点评：
本题通过对配紫色游戏的分析,我们加深了对理论概率计算的理解.一般地,两步或两步以上实验的随机事件发生的概率的计算,我们往往会借助列表法、列举法以及树状图来进行分析.
建议：
我们在学习这部分知识时，往往会利用树状图、列表格和列举法，计算一些随机事件发生的概率，在理论的研究了一些简单的随机事件发生的可能性（概率）后，利用概率计算结果对一些现象作出了合理的解释，对一些游戏活动的公平性做出了自己的评判。
拓广：
若配成紫色小明得1分，否则小亮得1分，得分高者获胜.你认为这个游戏对双方公平吗？
为什么？
若不公平，应怎样修改得分规则或转盘才能使游戏对双方公平？
分析：
这是个极富有挑战性的游戏，此游戏的目的是使学生通过亲自操作、分析试验数据，体会事件发生的概率，以及游戏规则的公平性，进一步体会如何评判某件事情是否“合算”，并利用它对一些游戏活动的公平性作出评判。
要知道，游戏的公平性是指双方获胜的可能性相等。
一般地，我们往往会通过修改游戏双方得分情况或游戏工具来使游戏对双方公平。
解答：
因为P（配成紫色）=5/9，所以P（配不成紫色）=4/9，因此游戏不公平。
可以通过修改小明和小亮的得分规则使游戏对双方公平：
配成紫色小明得4分，否则小亮得5分。
当然方法不唯一，也可以通过修改转盘使游戏对双方公平，如第一个转盘全为红色，将第二个转盘二等分，一半蓝色，一半红色等。
例4、集市上有一个人在设摊“模彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装红球1只，白球20只，且每一只白球上都写有号码（1～20号）而且这21只球除颜色外其余完全相同，规定：
每次只摸一只球，摸前交1元钱且在1~20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。
（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？
说明你的理由。
（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？
分析：
这个游戏你愿意玩吗？
要知道，本题重点考查了如何用概率知识解释一些生活中事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，并能结合具体实际问题，利用简单的概率计算来判断游戏的公平性。
虽然如果我们赢的话，可以用1元钱换回5元钱（或10元钱），净赚4元钱（或9元钱），但是袋中共有21只球，而我们只有一个机会写中号码或摸到红球，而剩下的19个机会我们是要输的，所以，每次的平均收益为
（4+9）－
=－
＜0这个游戏对“摸彩”者是不公平的。
解：
（1）P（摸到红球）=P（摸到同号球）=
，故没有利，
（2）每次的平均收益为
（4+9）－
=－
＜0，故每次平均损失
元。
点评：
本题设计了一个具体情境，力图让学生在具体情境中感受“合算”，并掌握一定的判断方法，提高其决策能力，从而对现实生活中的一些类似的现象进行评判。
对于这种平均收益的思考，它本质上是降低了难度的数学期望，为了促进学生的理解，我们应给予适当的理解，
由于判断一件事情的“合算”与否在现实生活中广泛存在，同时也是概率一个极为重要的应用，因此我们应借助一定的工具，来评判某项活动是否“合算”。
建议在学习这部分知识时，对生活中呈现的素材应有自己的观点，并将自己的观点清晰而有条理地表述出来，合理理解、估算“平均收益”。
例5、袋中有除颜色外其余完全相同的红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小明现又放入5个黑球后，小颖通过多次的摸球实验后，发现摸到红色、黄色、白色及黑色的频率分别为25%，30%，10%，5%，试估计袋中红色、黄色、蓝色及
白色球各有多少个？
分析：
为了估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色各有多少个，我们就需要先估计出袋中现有球数，因为袋中原来并无黑球，而放入黑球后，摸出黑球的概率为5%，我们可利用“样本容量=
，这一统计知识来估计出袋中现有的球数，从而估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色球数。
解：
小明放入5个黑球后的频率为5%，由此可估计出此时袋中共有球5÷5%=100（个），所以有红色球100×25%=25（个），黄球100×30%=30（个），白球100×10%=10（个），蓝球为100×（1-25%-30%-10%-5%）=30（个）。
[点评]一般地，为了更好的应用统计知识与概率知识来分析问题、解决问题，我们会根据统计知识求出所有事件总的可能出现的结果，再根据频率与概率知识求出该事件可能出现的结果，这里需在注意的是，这是个利用“平均水平”求出的理论上的估计值。
要知道，从数学的角度来说，统计与概率这两个学科互为基础，它们是一个密不可分的整体。
概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础上的，而统计又离不开概率的理论支撑，统计推断、估计、假设检验等统计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论的严密性，具体来说，用实验的方法估计随机事件发生的概率等活动本身就是一个统计活动，而本题的估计方法的理论依据则是概率问题。
由于有关概率统计的教学素材都来自现实生活。
我们在学习这部分知识时要注重在实验中体会频率的稳定性，感受实验频率与理论概率之间的关系，并形成对概率的全面理解，发展初步的辩证思维能力。
拓广袋中有红球数只，你能设计一个方案来估计袋中红球的数量吗？
本题进一步考查概率初步知识的理解和应用，体会概率与统计之间的关系，解决一些实际问题，我们可以将统计知识中用样本估计总体的思想与概率知识中一步试验的随机事件发生的概率的理论计算相结合，来解决这个模拟试验的设计。
实际上，本题是要求学生能在现实生活中灵活应用统计概率知识，进一步体会概率与统计之间的联系，以提高应用意识。
为估计袋中红球的只数，可以取出20只红球给它们分别作上标记，然后放回，待有标记的红球完全混合于袋中后，再随机取出40只红球，并以其中有标记的红球占所取出的红球的比例作为整个袋中的有标记的红球占所有红球的比例，从而可估计出袋中红球总的数量。
例6、一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白
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