小组计算方法课程实验.docx
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小组计算方法课程实验
牛顿法、不动点迭代
实验报告
Mathematica语言
一、收敛的迭代法（二分法不动点）求方程的根。
1）二分法构造过程
设方程f（x）=0在（a,b）内只有一实根，取[a,b]区间二等分的中点x0=（a+b）/2。
若f（x0）=0,则x0是f（x）=0的实根x*，输出近似根x0，终止；否则如果f（a）f（x0）<0成立,则根x*必在区间（a,x0）内,取a1=a,b1=x0；否则根x*必在区间（x0,b）内,取a1=x0,b1=b。
这样,得到新区间[a1,b1],其长度为[a,b]的一半,如此继续下去,进行k次等分后,得到一组不断缩小的区间序列：
[a,b],[a1,b1],…...,[ak,bk],…和对应区间的中点数列：
xk=（ak+bk）/2，k=0,1,2,….。
其中每个区间都含有根x*，满足：
[a,b][a1,b1]…..[ak,bk]…
且每个区间都是前一个区间长度的一半。
由于[ak,bk]的长度为（b-a）/2k，当k不断变大时,则有这些区间将收敛于一个点x*,该点即为所求的根。
当做到第k步时，有
为给定精度，此时xkx*即为满足要求的近似根。
2）二分法算法
1． 计算[a,b]区间的中点存放在变量x0中：
x0（a+b）/2
2． 如果函数值f（x0）=0,则x0是f（x）=0的实根x*，输出根x0,终止
3． 如果函数值f（a）f（x0）<0,则bx0，否则ax0
4． 如果b-a（为给定的精度）,则输出根的近似值（a+b）/2,终止，否则转1。
3）二分法程序（mathematica语言）
Clear[x]
f[x_]=Input[“键入函数f（x）=”];
a=Input[“键入左端点a=”];
b=Input[“键入右端点b=”];
Print[“a=”,a,“b=”,b,“f（x）=”,f[x]]
e1=10^（-10）;
eps=Input[“键入根的误差限eps=”];
n=0;
While[b-a>eps,
x=（a+b）/2;
n=n+1;
w=f[x];
If[Abs[w]p=f[a]*w//N;
If[p<0,b=x,a=x];
Print[“n=”,n,“x=”,x//N,“eps=”,b-a//N]
]
注：
本程序用于求非线性方程f（x）=0在区间[a,b]内的根，这里要求f（x）在区间[a,b]连续,且f（a）f（b）<0。
程序执行后，先通过键盘输入函数f（x）和区间左端点a和右端点b及根的精度要求e，程序即可给出每次二分的次数和对应的点列xk，其中最后输出的结果即为所求的根。
4）程序中变量说明
x：
存放初值x0和二分法中的xk
a:
存放含根区间的左端点ak
b:
存放含根区间的右端点bk
e1:
描述f（xk）=0的微小值,这里用|f（xk）|n:
存放二分次数
注：
语句If[p<0,b=x,a=x]中p的一定要是算出的数值，否则会出现错误。
本程序中用“p=f[a]*w//N”而不用“p=f[a]*w”就是这个原因。
补充Mathematica程序为：
二、用Newton法求方程的根
Newton迭代法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛的最快的方法，其涉及的近似处理方法很有代表性。
1）Newton迭代法构造过程
将方程f（x）=0线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代计算公式。
具体为：
设xk是f（x）=0的一个近似根，把f（x）在xk处作泰勒展开，得：
取前两项来近似代替f（x）（称为f（x）的线性化），则得近似线性方程：
设f（xk）0,令其解为xk+1,得:
上式称为求f（x）=0根的Newton（牛顿）迭代格式。
2）Newton迭代法算法
1.输入初值x0、迭代精度eps、函数f（x）和迭代最大次数Nmax
2.Fork=1,2,…,Nmax
1.1 如果|f（x0）|1.2 xx0-f（x0）/f（x0）
1.3 如果|x-x0|1.4 x0x
2.输出迭代失败，终止。
3）Newton迭代法程序
Clear[x,f,g];
f[x_]=Input["f[x]="];
g[x_]=D[f[x],x];
x0=Input["输入迭代初值"];
eps1=0.00000000001;
nmax=500;
eps=Input["输入精度控制eps="];
Do[u1=g[x0];
If[Abs[u1//N]x=x0-f[x0]/u1;
u1=Abs[x-x0]//N;
Print["x=",x,"n=",n,"eps=",u1];
If[u1{n,1,nmax}];
If[u1>eps,Print["迭代失败"]]
说明：
本程序用于求非线性方程f（x）=0在x0附近的根。
程序执行后，先通过键盘输入迭代函数f（x）和迭代初值x0及根的精度要求eps，程序即可给出每次迭代的次数和对应的点列xk，其中最后输出的结果即为所求的根。
如果迭代超出500次还没有求出满足精度的根则输出迭代失败提示。
4）程序中变量说明：
x0：
存放初值和迭代过程中的xk
x:
存放迭代过程中的xk+1
nmax:
存放迭代允许的最大次数
u1:
临时变量
注：
迭代最大次数可以修改为其他数字。
三、题目解答（Abs[x（k）-x（k-1）]<0.001）
题1。
（x-2）*Exp[x]=1,取x0=2.5.
解：
用Mathematica程序直接迭代结果为：
用牛顿不动点迭代法得到的结果为：
题2。
2*Cos[x]-3*x+12=0，取x0=4.
解：
用Mathematica程序直接迭代结果为：
用牛顿不动点迭代法得到的结果为：
题3。
3*x^2-Exp[x]=0，取x0=-1.
解：
用Mathematica程序直接迭代结果为：
用牛顿不动点迭代法得到的结果为：
题4.用Newton迭代法求方程xex–1=0的根，取x0=0.5,要求误差不超过10-3。
解：
用二分法求方程xex-1=0在[0，1]内的根，要求误差不超过10-3。
令f（x）=xex–1，因为f（0）=-1<0,f
（1）=e-1>0,所以可以用二分法。
执行二分法程序后，在输入的四个窗口中按提示分别输入
x*Exp[x]-1、0、1、0.001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，输出计算结果：
a=0b=1f（x）=-1+exx
n=1x=0.5e=0.5
n=2x=0.75e=0.25
n=3x=0.625e=0.125
n=4x=0.5625e=0.0625
n=5x=0.59375e=0.03125
n=6x=0.578125e=0.015625
n=7x=0.570312e=0.0078125
n=8x=0.566406e=0.00390625
n=9x=0.568359e=0.00195312
n=10x=0.567383e=0.000976562
此结果说明共二分10次，求得的近似根为x=0.567383，其误差为e=0.000976562。
执行Newton迭代法程序后在输入的三个窗口中按提示分别输入
x*Exp[x]-1、0.5、0.001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，输出计算结果：
x=0.57102n=1eps=0.0710204
x=0.567156n=2eps=0.00386487
x=0.567143n=3eps=0.0000122782
x=0.567143n=4eps=1.2347710-10
此结果说明迭代4次，求得误差为e=1.2347710-10的近似根，最后显示的近似根结果为x=0.567143，它只是部分表示，要看该近似根更详细的表示（如看其中前10位数）可以再键入命令N[x,10]后有近似根的为0.5671432904。
题5。
x^3-x^2-1=0，取x0=1.5.
解：
用Mathematica程序直接迭代结果为：
用牛顿不动点迭代法得到的结果为：
题6。
Exp[x]+10*x-2=0，取x0=0.
解：
用Mathematica程序直接迭代结果为：
用牛顿不动点迭代法得到的结果为：
实验小结与分析：
观察几道题的计算结果，二分法的迭代次数比牛顿迭代法的多，收敛速度较慢。
牛顿法一个主要优点：
当初始点充分靠近x*时，牛顿法收敛很快。
但是从程序中我们可以发现，牛顿迭代法要求导数，牛顿迭代法的计算量比二分法大。
最后，我们发现牛顿法是一个局部方法，仅当初始点x0充分靠近x*时，方法才是有效的，如果初始点x0远离x*，牛顿法将收敛很慢，甚至不收敛。
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