实数 公开课教案.docx

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实数公开课教案

2.6实数

第一环节：

复习引入新课

内容：

问题：

（1）什么是有理数？

有理数怎样分类？

（2）什么是无理数？

带根号的数都是无理数吗？

意图：

回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。

效果：

学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。

通过举例明确了无理数的表现形式，也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。

第二环节：

实数概念和分类

内容1：

把下列各数分别填入相应的集合内：

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

…

有理数集合

…

无理数集合

知识整理：

有理数和无理数统称为实数。

意图：

通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。

效果：

学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。

内容2：

1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？

…

正数集合

…

负数集合

2．0属于正数吗？

0属于负数吗？

知识整理：

无理数和有理数一样，也有正负之分。

1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：

2．另外从实数的概念也可以进行如下分类：

意图：

在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。

上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。

提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。

效果：

让学生讨论回答，形成共识：

实数也可以分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求。

第三环节：

实数的相关概念

内容1：

1．在有理数中，数a的相反数是什么？

绝对值是什么？

当a不为0时，它的倒数是什么？

2．

的相反数是什么？

的倒数是什么？

，0，—π的绝对值分别是什么？

意图：

从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。

效果：

学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。

内容2：

想一想：

1．3—π的绝对值是。

2．想一想：

a是一个实数，它的相反数是，它的绝对值是，当a≠0时，它的倒数是。

知识整理

（1）相反数：

a与—a互为相反数；0的相反数仍是0；

（2）倒数：

当a≠0时，a与

互为倒数（0没有倒数）；

（3）绝对值：

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

即：

意图：

加深学生对相关概念的理解。

效果：

学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识。

第四环节：

实数运算

内容：

1.在有理数范围内，能进行哪些运算？

（加、减、乘、除、乘方），用哪些运算律？

2.判断下列各式成立吗？

意图：

从复习入手，类比有理数中的相关运算及运算律，得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。

效果：

学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律。

第五环节：

探究——实数与数轴上点之间的对应关系

内容1：

如图所示，认真观察，探讨下列问题：

0

1

2

-1

-2

A

B

议一议：

（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？

它介于哪两个整数之间？

（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

知识整理

（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的；

（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

意图：

探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。

效果：

经过学生的探讨，认识到了数轴上点A表示的数是

，它是一个无理数，这表明有理数不能将整个数轴填满。

进而观察到点A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。

第六环节：

课堂练习

内容：

1．判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数；

（2）无理数都是无限小数；

（3）带根号的数都是无理数。

2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

（1）

；

（2）

；（3）

．

3．在数轴上作出

对应的点。

意图：

通过以上练习，检测学生对实数相关知识的掌握情况。

效果：

第1，2题学生能较好地完成，在解决第第3题时遇到了一定的困难，通过回顾

的作法，学生相互讨论、交流，确定了作长、宽分别为2和1的长方形，其对角线为即为

，从而能在数轴上作出相应的点。

第七环节：

归纳小结

内容：

议一议，本节课我们学习了哪些知识？

意图：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。

效果：

学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。

六、反思

实数作为有理数的扩张，其具体研究内容和有理数完全类似，因此学习中，本课时设计中，十分关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计中一个十分显著的特点。

实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。

此外，根据学生的认知状况，借助类比学习实数有关知识，还可以有一些不同的尝试，如果学生整体认知水平较高，可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序，并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序，思考在各个具体内容如何研究等问题，然后再打开书本比照学习。

当然也可以首先提出一些思考的问题，让学生自学，整理有关框架，并和旧的框架建立联系等。

教无定法，关键在于适应你的学生状况。

4．4　一次函数的应用

第1课时　确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；（重点）

2．会确定一次函数的表达式．（重点）

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？

你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？

学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：

确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．

解析：

本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：

由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：

利用正比例函数的定义确定表达式：

自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：

确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．

解析：

先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：

设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴

解得

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：

“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：

根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：

设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

，即正比例函数的表达式为y＝

x.∵OA＝

＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－

）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝

.∴一次函数的表达式为y2＝

x－

.

方法总结：

根据图象确定一次函数的表达式的方法：

从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克

售价y/元

1

8＋0.4

2

16＋0.8

3

24＋1.2

4

32＋1.6

5

40＋2.0

　　…

　　…

解析：

从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：

由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2　平方根

第1课时　算术平方根

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；（重点）

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；（重点）

3．了解算术平方根的性质．（难点）

一、情境导入

上一节课我们做过：

由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？

二、合作探究

探究点一：

算术平方根的概念

【类型一】求一个数的算术平方根

求下列各数的算术平方根：

（1）64；

（2）2

；（3）0.36；（4）

.

解析：

根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．

解：

（1）∵82＝64，∴64的算术平方根是8；

（2）∵（

）2＝

＝2

，∴2

的算术平方根是

；

（3）∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；

（4）∵

＝

，又92＝81，∴

＝9，而32＝9，∴

的算术平方根是3.

方法总结：

（1）求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求

与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．

（2）求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

【类型二】利用算术平方根的定义求值

3＋a的算术平方根是5，求a的值．

解析：

先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.

解：

因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.

方法总结：

已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

探究点二：

算术平方根的性质

【类型一】含算术平方根式子的运算

计算：

＋

－

.

解析：

首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．

解：

＋

－

＝7＋5－15＝－3.

方法总结：

解题时容易出现如

＝

＋

的错误．

【类型二】算术平方根的非负性

已知x，y为有理数，且

＋3（y－2）2＝0，求x－y的值．

解析：

算术平方根和完全平方式都具有非负性，即

≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

解：

由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.

方法总结：

算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即

≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.

三、板书设计

算术平方根

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：

讲清概念，加强训练，逐步深化．

4．4　一次函数的应用

第1课时　确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；（重点）

2．会确定一次函数的表达式．（重点）

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？

你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？

学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：

确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．

解析：

本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：

由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：

利用正比例函数的定义确定表达式：

自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：

确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．

解析：

先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：

设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴

解得

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：

“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：

根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：

设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

，即正比例函数的表达式为y＝

x.∵OA＝

＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－

）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝

.∴一次函数的表达式为y2＝

x－

.

方法总结：

根据图象确定一次函数的表达式的方法：

从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克

售价y/元

1

8＋0.4

2

16＋0.8

3

24＋1.2

4

32＋1.6

5

40＋2.0

　　…

　　…

解析：

从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：

由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．