高中三角函数习题解析.docx
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高中三角函数习题解析
专题:
三角函数
1.(2003上海春,15)把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是()
A.(1-y)sinx+2y-3=0B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0D.-(y+1)sinx+2y+1=0
1.答案:
C
解析:
将原方程整理为:
y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.
评述:
本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解,可直接化为:
(y+1)cos(x-)+2(y+1)-1=0,即得C选项.
2.(2002春北京、安徽,5)若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.答案:
B
解析:
sin2α=2sinαcosα<0∴sinαcosα<0
即sinα与cosα异号,∴α在二、四象限,
又cosα-sinα<0
∴cosα<sinα
由图4—5,满足题意的角α应在第二象限
3.(2002上海春,14)在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
3.答案:
C
解析:
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC,
∴sin(A-B)=0,∴A=B
4.(2002京皖春文,9)函数y=2sinx的单调增区间是()
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
4.答案:
A
解析:
函数y=2x为增函数,因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.
5.(2002全国文5,理4)在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x取值范围为()
A.(,)∪(π,)
B.(,π)
C.(,)
D.(,π)∪(,)
5.答案:
C
解法一:
作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标和,由图4—6可得C答案.
图4—6图4—7
解法二:
在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选C.(如图4—7)
6.(2002北京,11)已知f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图4—1所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是()
A.(0,1)∪(2,3)
B.(1,)∪(,3)
C.(0,1)∪(,3)
D.(0,1)∪(1,3)
6.答案:
C
解析:
解不等式f(x)cosx<0
∴∴0<x<1或<x<3
7.(2002北京理,3)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间(,π)上为减函数的是()
A.y=cos2xB.y=2|sinx|
C.y=()cosxD.y=-cotx
7.答案:
B
解析:
A项:
y=cos2x=,x=π,但在区间(,π)上为增函数.
B项:
作其图象4—8,由图象可得T=π且在区间(,π)上为减函数.
C项:
函数y=cosx在(,π)区间上为减函数,数y=()x为减函数.因此y=()cosx在(,π)区间上为增函数.
D项:
函数y=-cotx在区间(,π)上为增函数.
8.(2002上海,15)函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是()
8.答案:
C
解析:
由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]为非奇非偶函数.
选项A、D为奇函数,B为偶函数,C为非奇非偶函数.
9.(2001春季北京、安徽,8)若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
9.答案:
B
解析:
∵A、B是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°,
∴B>90°-A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选B.
10.(2001全国文,1)tan300°+cot405°的值是()
A.1+B.1-C.-1-D.-1+
10.答案:
B
解析:
tan300°+cot405°=tan(360°-60°)+cot(360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-.
11.(2000全国,4)已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是()
A.若α、β是第一象限角,则cosα>cosβ
B.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβ
C.若α、β是第三象限角,则cosα>cosβ
D.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ
11.答案:
D
解析:
因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反,所以可排除A、C,在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反,所以排除B.只有在第四象限内,正弦函数与正切函数的增减性相同.
12.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是()
12.答案:
D
解析:
因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当
x∈(0,)时,y=-xcosx<0.
13.(1999全国,4)函数f(x)=Msin(ωx+)(ω>0),在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+)在[a,b]上()
A.是增函数B.是减函数
C.可以取得最大值-D.可以取得最小值-m
13.答案:
C
解法一:
由已知得M>0,-+2kπ≤ωx+≤+2kπ(k∈Z),故有g(x)在[a,b]上不是增函数,也不是减函数,且当ωx+=2kπ时g(x)可取到最大值M,答案为C.
解法二:
由题意知,可令ω=1,=0,区间[a,b]为[-,],M=1,则
g(x)为cosx,由基本余弦函数的性质得答案为C.
评述:
本题主要考查函数y=Asin(ωx+)的性质,兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用(正用逆用);解法二取特殊值可降低难度,简化命题.
14.(1999全国,11)若sinα>tanα>cotα(-<α<,则α∈()
A.(-,-)B.(-,0)
C.(0,)D.(,)
14.答案:
B
解法一:
取α=±,±代入求出sinα、tanα、cotα之值,易知α=-适合,又只有-∈(-,0),故答案为B.
解法二:
先由sinα>tanα得:
α∈(-,0),再由tanα>cotα得:
α∈(-,0)
评述:
本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系,1995年、1997年曾出现此类题型,运用特殊值法求解较好.
15.(1999全国文、理,5)若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)可以是()
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
15.答案:
B
解析:
取f(x)=cosx,则f(x)·sinx=sin2x为奇函数,且T=π.
评述:
本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.
16.(1998全国,6)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是()
A.(,)∪(π,)
B.(,)∪(π,)
C.(,)∪(,)
D.(,)∪(,π)
16.答案:
B
解法一:
P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,有tanα>0,
A、C、D中都存在使tanα<0的α,故答案为B.
解法二:
取α=∈(),验证知P在第一象限,排除A、C,取α=∈(,π),则P点不在第一象限,排除D,选B.
解法三:
画出单位圆如图4—10使sinα-cosα>0是图中阴影部分,又tanα>0可得或π<α<,故选B.
评述:
本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用,突出考查了转化思想和转化方法的选择,采用排除法不失为一个好办法.
17.(1997全国,3)函数y=tan(π)在一个周期内的图象是()
17.答案:
A
解析:
y=tan(π)=tan(x-),显然函数周期为T=2π,且x=时,y=0,故选A.
评述:
本题主要考查正切函数性质及图象变换,抓住周期和特值点是快速解题的关键.
18.(1996全国)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是()
A.{x|2kπ-πB.{x|2kπ+C.{x|kπ-D.{x|kπ+18.答案:
D
解析一:
由已知可得cos2x=cos2x-sin2x<0,所以2kπ+<2x<2kπ+π,k∈Z.解得kπ+此题也可用降幂公式转化为cos2x<0).
解析二:
由sin2x>cos2x得sin2x>1-sin2x,sin2x>.因此有sinx>或sinx<-.由正弦函数的图象(或单位圆)得2kπ+评述:
本题考查三角函数的图象和基本性质,应注意三角公式的逆向使用.
19.(1995全国文,7)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是()
A.[-,]B.[-,]
C.[-,]D.[0,π]
19.答案:
Ass
解法一:
由已知得:
sin(x-)≤0,所以2kπ+π≤x-≤2kπ+2π,2kπ+≤x≤2kπ+,令k=-1得-≤x≤,选A.
解法二:
取x=,有sin,排除C、D,取x=,有sin=,排除B,故选A.
解法三:
设y=sinx,y=cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11,观察知答案为A.
解法四:
画出单位圆,如图4—12,若sinx≤cosx,显然应是图中阴影部分,故应选A.
评述:
本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象,属基本求范围题,入手容易,方法较灵活,排除、数形结合皆可运用.
20.(1995全国,3)函数y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是()
A.6πB.2πC.D.
20.答案:
C
解析:
y=4sin(3x+)+3cos(3x+)=5[sin(3x+)+cos(3x+)]=5sin(3x++)(其中tan=)
所以函数y=sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是T=.
故应选C.
评述:
本题考查了asinα+bcosα=sin(α+),其中sin=,cos=,及正弦函数的周期性.
21.(1995全国,9)已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于()
A.B.-C.D.-
21.答案:
A
解法一:
将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=
于是1-sin22θ=,sin22θ=,由已知,θ在第三象限,
故2kπ+π<θ<2kπ+
从而4kπ+2π<2θ<4kπ+3π
故2θ在第一、二象限,所以sin2θ=,故应选A.
解法二:
由2kπ+π<θ<2kπ+,有4kπ+2π<4kπ+3π(k∈Z),知sin2θ>0,应排除B、D,验证A、C,由sin2θ=,得2sin2θcos2θ=,并与sin4θ+cos4θ=相加得(sin2θ+cos2θ)2=1成立,故选A.