推荐五年级下册讲义 12讲 行程综合二教师含答案奥数板块北师大版.docx
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推荐五年级下册讲义12讲行程综合二教师含答案奥数板块北师大版
行程问题
（二）
【名师解析】
在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：
一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
【例题精讲】
例1、甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一次遇到乙后1
分钟遇到丙，再过3
分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的
，湖的周长为600米，求丙的速度。
练习、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到乙后1
分钟第一次遇到丙；再过3
分钟第二次遇到乙。
已知甲速与乙速的比为3：
2，湖的周长为2000米，求三人的速度。
例题2：
甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。
他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。
每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的
，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了
，乙跑第二圈时速度提高了
。
已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。
这条椭圆形跑道长多少米？
练习、小明绕一个圆形长廊游玩。
顺时针走，从A处到C处要12分钟，从B处到A处要15分钟，从C处到B处要11分钟。
从A处到B处需要多少分钟（如图34-3所示）？
例题3、绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。
小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。
两人出发多少时间第一次相遇？
练习、在400米环行跑道上，A，B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。
那么甲追上乙需要多少秒？
例4、一个游泳池长90米。
甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。
找这样往、返游，两人游10分钟。
已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。
在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？
练习、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。
从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟。
两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？
例5、甲、乙两地相距60千米。
张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。
张明经过多少时间到达乙地？
练习、A、B两地相距90千米。
一辆汽车从A地出发去B地，前一半时间平均每小时行60千米，后一半时间平均每小时行40千米。
这辆汽车经过多少时间可以到达B地？
【选讲】两列火车相向而行。
甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。
两车相错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他车窗时共用了14秒。
求乙车的车长。
练习、长135米的列车以每秒12米的速度行驶，后面开长126米的另一列车，每秒行驶17米。
求这列车从车头遇到前面的车到完全超过前面的车用了多少秒？
[综合精练]
1、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。
从同一地点同时背向绕水池而行。
兄每秒走1.3米。
妹每秒走1.2米。
他们第10次相遇时，兄还要走多少米才能归到出发点？
2、如图34-1所示，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。
求这个圆的周长。
3、摩托车与小汽车同时从A地出发，沿长方形的路两边行驶，结果在B地相遇。
已知B地与C地的距离是4千米。
且小汽车的速度为摩托车速度的
。
这条长方形路的全长是多少千米（如图34-4所示）？
4、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。
甲速是乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。
环形跑道有多少米？
5、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。
往、返一次共用去4小时。
汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行驶30千米，那么甲、乙两站相距多少千米？
6、龟、兔进行10000米跑步比赛。
兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟，谁先到达终点？
7、一游泳池道长100米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。
甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？
8、马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米。
马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。
某一时刻，汽车追上了甲，6秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑的乙，又经过了2秒钟，汽车离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？
9、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环行跑道行走。
甲每分钟走80米，乙蔑分钟走50米。
两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？
10、在300米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。
甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4.4米。
两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？
【挑战竞赛】A地位于河流的上游，A地位于河流的下游.每天早上，甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行.从12月1日开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米。
由于天气原因，今天（12月6日）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与12月2日相比，将变化多少千？
行程问题
（二）
【名师解析】
在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：
一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
【例题精讲】
例1、甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一次遇到乙后1
分钟遇到丙，再过3
分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的
，湖的周长为600米，求丙的速度。
答案：
甲、乙的速度和：
600÷（1
+3
）=120（米/分）
甲速：
120÷（1+
）=72（米/分）
乙速：
120—72=48（米/分）
甲、丙的速度和：
600÷（1
+3
+1
）=96（米/分）
丙的速度：
96—72=24（千米/分）
练习、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到乙后1
分钟第一次遇到丙；再过3
分钟第二次遇到乙。
已知甲速与乙速的比为3：
2，湖的周长为2000米，求三人的速度。
答案：
甲、乙的速度和：
2000÷（1
+3
）＝400
甲速：
400×
＝240米/分
乙速：
400×
＝160米/分
甲、丙的速度和：
2000÷（1
+3
+1
）＝320米/分
丙速：
320－240＝80米/分
例题2：
甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。
他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。
每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的
，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了
，乙跑第二圈时速度提高了
。
已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。
这条椭圆形跑道长多少米？
答案：
列式为
1：
=3：
2
2÷3×2=1
[3×（1+
）：
2]=2：
1
（3—1
）×2=3
[3×（1+
）]：
[2×（1+
）]=5：
3
（5—3
）×
=
190÷（3-
）×5=400（米）
练习、小明绕一个圆形长廊游玩。
顺时针走，从A处到C处要12分钟，从B处到A处要15分钟，从C处到B处要11分钟。
从A处到B处需要多少分钟（如图34-3所示）？
答案：
绕一圈所需的时间：
（12+15+11）÷2＝19分
从A到B处所需的时间：
19－15＝4分
例题3、绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。
小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。
两人出发多少时间第一次相遇？
答案：
小王
时间
1小时5分
2小时10分
3小时15分
行程
4千米
8千米
12千米
小张
时间
1小时
2小时
3小时
行程
5千米
10千米
15千米
12+15=27，比24大，从上表可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间。
出发后2小时10分，小张已走了10+5÷（50÷10）=11（千米），此时两人相距24—（8+11）=5（千米）。
由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这5千米所需的时间是5÷（4+6）=0.5（小时），而2小时10分+0.5小时=2小时40分。
小张50分钟走的路程：
6÷60×50=5（千米）
小张2小时10分后共行的路程：
10+5÷（50÷10）=11（千米）
两人行2小时10分后相距的路程：
24—（8+11）=5（千米）
两人共同行5千米所需时间：
5÷（4+6）=0.5（小时）
相遇时间：
2小时10分+0.5小时=2小时40分
练习、在400米环行跑道上，A，B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。
那么甲追上乙需要多少秒？
1、答案：
每跑100米，乙比甲多用时间：
100÷4－100÷5＝5秒
甲追上乙要多跑100米需20秒，休息4次：
20÷5＝4次
100×4＝400米
100×5＝500米
停了4次，共用的时间：
20×5+40＝140秒
例4、一个游泳池长90米。
甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。
找这样往、返游，两人游10分钟。
已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。
在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？
答案：
设甲的速度为a，乙的速度为b，a：
b的最简比为m：
n，那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。
若m＞n，且m、n都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了2m次；若m＞n，且m为奇数（或偶数），n为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙（或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m—1）次。
甲速：
乙速=3：
2，由于3＞2，且一奇数一偶数，一个周期内共相遇（2×3—1=）5次，共跑了[（3+2）×2=]10个全程。
10分钟两人合跑周期的个数为：
60×10÷[90÷（2+3）×10]=3
（个）
3个周期相遇（5×3=）15（次）；
个周期相遇2次。
一共相遇：
15+2=17（次）
练习、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。
从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟。
两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？
答案：
【（
+
）】×48－1÷2+1＝16次
例5、甲、乙两地相距60千米。
张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。
张明经过多少时间到达乙地？
答案：
因为前一半时间与后一半时间相同，所以可假设为两人同时相向而行的情形，这样我们可以求出两人合走60千米所需的时间为[60÷（1+0.8）=]33
分钟。
因此，张明从甲地到乙地的时间列算式为
60÷（1+0.8）×2=66
（分钟）
练习、A、B两地相距90千米。
一辆汽车从A地出发去B地，前一半时间平均每小时行60千米，后一半时间平均每小时行40千米。
这辆汽车经过多少时间可以到达B地？
答案：
90÷（60+40）×2＝1.8小时
【选讲】两列火车相向而行。
甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。
两车相错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他车窗时共用了14秒。
求乙车的车长。
答案：
练习、长135米的列车以每秒12米的速度行驶，后面开长126米的另一列车，每秒行驶17米。
求这列车从车头遇到前面的车到完全超过前面的车用了多少秒？
答案：
[综合精练]
1、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。
从同一地点同时背向绕水池而行。
兄每秒走1.3米。
妹每秒走1.2米。
他们第10次相遇时，兄还要走多少米才能归到出发点？
答案：
兄、妹二人共行一周的时间：
30÷（1.3+1.2）＝12秒
第10次相遇时妹所行的圈数：
1.2×10×12÷30＝4.8圈即4圈又24米
再行的米数：
30－24＝6米。
2、如图34-1所示，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。
求这个圆的周长。
答案：
A到D的距离：
80×3＝240米
A到B（半周长）距离：
240－60＝180米
圆的周长：
180×2＝360米
3、摩托车与小汽车同时从A地出发，沿长方形的路两边行驶，结果在B地相遇。
已知B地与C地的距离是4千米。
且小汽车的速度为摩托车速度的
。
这条长方形路的全长是多少千米（如图34-4所示）？
答案：
4×2÷
＝40千米
4、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。
甲速是乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。
环形跑道有多少米？
答案：
100÷（2－1）×（3+1）＝400米
5、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。
往、返一次共用去4小时。
汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行驶30千米，那么甲、乙两站相距多少千米？
答案：
45：
30＝3：
24×
×45＝72千米
6、龟、兔进行10000米跑步比赛。
兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟，谁先到达终点？
答案：
10000÷80＝125分钟
25×（10000÷400÷5－1）+10000÷400＝125分钟
7、一游泳池道长100米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。
甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？
答案：
【（81+89）×15－100】÷（100×2）+1＝13次（取整数部分）
8、马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米。
马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。
某一时刻，汽车追上了甲，6秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑的乙，又经过了2秒钟，汽车离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？
答案：
甲速：
（5×6－15）÷6＝2.5米/秒
乙速；（15－5×20÷2=2.5米/秒
汽车离开乙时，两人相距的路程：
5×（30+2）－2.5×（30+2）＝80米
相遇时间：
80÷（2.5+2.5）＝16秒
9、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环行跑道行走。
甲每分钟走80米，乙蔑分钟走50米。
两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？
答案：
400÷80＝5分400÷50＝8分5和8的最小公倍数是5×8＝40
10、在300米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。
甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4.4米。
两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？
答案：
甲、乙两人同时并排起跑到第一次相遇共用的时间：
300÷（5－4.4）＝500秒
第一次相遇时，甲共行的路程：
5×500＝2500米
第一次相遇在起跑线前面的距离：
2500÷300＝8圈……100米
【挑战竞赛】A地位于河流的上游，A地位于河流的下游.每天早上，甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行.从12月1日开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米。
由于天气原因，今天（12月6日）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与12月2日相比，将变化多少千？
答案：
设甲船静水速度为V1乙船静水速度为V2，原水速为V3，根据题意，有
即3次的时间比为322，甲船3次的路程分别为3t×（V1+V3）,2t×（1.5V1+V3）,2t×（1.5V1+2V3）由3t×（V1+V3）-2t×（1.5V1+V3）=l得V3t=l；
则2t×（1.5V1+2V3）-2t×（1.5V1+V3）=2V3t=2（千米），即相遇地点与12月2日相比将变化2千米.
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