自招竞赛课程数学讲义构造辅助函数法解题讲师版.docx

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自招竞赛课程数学讲义构造辅助函数法解题讲师版

自招竞赛数学

“构造辅助函数法证明不等式”

讲义编号：

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（线下填）授课教学点：

知识定位

中学数学中的一个难点是不等式问题，近五年的高考热点和数学竞赛中不等式所占的比例也一定程度上在增加。

而函数思想已成为整个中学数学的重点和高考的热点。

有些不等式采用常规方法难以解决，若能巧妙地构造函数将不等式问题转化为函数的问题，借助函数的有关性质，常能使问题获得简捷明了的解决。

数学教育大师波利亚提出：

“人的高明之处在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他就会绕过去，当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。

”

可见，当面对的数学问题难以直接解决时，就可试着用构造辅助函数来解决。

但如何构造辅助函数是个具有创造性的过程。

本文将结合实例，展示思维过程，探讨辅助函数的构造方法，以求抛砖引玉。

知识诊断

知识梳理

Ø知识点一：

从辅助函数构造方法角度来看，有直接观察法、作差或求商法、恒等变形法、局部构造法、变参分离法等。

Ø知识点二：

从不等号式类型来看，有绝对值不等号、高次不等式、三角函数不等式、指数对数型不等式、多变量不等式、数列不等式等。

常见题型和方法解析

1直接观察

观察是认识事物、发现与解决问题的基石。

观察法可以构造简易的辅助函数，解决表面特征比较明显的数学问题。

例1若，证明：

2作差或求商

作差与求商法常用于比较大小，其实也可用来构造辅助函数。

例2设为实数。

证明：

对任意有

小结：

主元思想在解决多元复杂数学问题时，经常会起到意想不到的简化效果。

3恒等变形

恒等变形是一种操作简易、运用广泛的数学变形，此方法也可用于构造辅助函数。

例3设，且.

证明：

4局部构造

例4设为正整数，证明：

是整数。

5变参分离

变参分离可以构造出辅助函数，用于解决常见的参数问题。

例5若方程有三个不同实根，求实数的取值范围。

6其他

当等式或不等式两边的结构相似或具有共同特征时，可利用题目的表达形式构造辅助函数。

例6记函数，若，试问：

当取何值时

总有恒成立。

综合习题拓展

1.绝对值不等式

绝对值不等式是数学基本知识的一部分，题型也丰富多样，当然所用到的解决方法也多样灵活，下面我们具体用构造辅助函数来解绝对值不等式的一些题，当然可否构造函数完全是要根据不等式的结构．某些不等式从结构上接近某一函数，把某字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式．

例7对任意实数，成立不等式。

解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解。

但有些分式不等式中出现了绝对值也不便于去掉时，我们所采取的方法是通过分析不等号左右两边各式的相似之处，将相似的量当做是所构造的函数的两个取值点，然后利用函数的单调性来证明．

2.高次不等式

当不等式中变量是高次的时候，展开求解是不现实的．下面我们通过几个具体例子来发现高次不等式用构造辅助函数来证明．

例8设，求证：

。

从例题中我们可以看出构造这个高次不等式的一边做辅助函数，然后通过求导，分析函数的最值问题来证明不等式．

3.三角函数不等式

三角函数不等式在不等式证明中也比较常见．由于三角函数有奇偶性、对称型、周期性。

所以在构造函数时抓住三角函数的这些特殊性质．构造辅助函数的目的就是为了充分利用三角函数的特殊性质使得不等式可以轻松又简捷的得到解决．

例9设，试证：

。

除了三角函数本身的这些性质外，从几何角度上考虑，（cosO，sinO）表示单位圆上的点的横纵坐标，因此在做下面类似题型时，我们不必将不同三角函数化成一个来解题，以避免问题复杂化，所以只要善于发现它的几何意义问题马上就可通过图像判断出来．

例10若，求证：

。

4.指数、对数型不等式

对于这类不等式，常常通过对两边取对数后，根据式子特点构造相应函数．

例11，求证：

。

下面的这个不等式没有像上例的结构一样工整。

但是经过恒等变形我们立马可以使得不等式两边结构类似或统一．

例12，证明。

5.多变量不等式

所谓多变量不等式，就是一个不等式中有多个变量，而且一般情况下是齐次变量，如果是二次的，那么可以构造一个关于其中一个变量的二次函数，然后利用二次函数的单调性或者求最值或者利用二次函数的图像分析问题，从而得到想要证明的结果．

例13为任意三角形的三个内角，对于任意实数，

求证。

分析：

根据题意，先将特征式整理为关于的二次函数模型，再利用函数及方程的有关性质进行推理论

证：

将y，z看成常数，构造关于x的函数

6.数列不等式

这类由迭代函数构造的递推数列不等式问题，在近几年的高考数学压轴题中多次出现，它们蕴涵了迭代函数与不动点思想。

这些思想与方法在大学数学中占有重要地位．但是要挖掘这类问题的具体构造不是很容易，因此我将在这里给出2007年全国卷，第22题来体会构造函数在数列不等式中渗透的思想．

例14（2007年高考重庆卷）已知各项均为正数的数列的前项和满足，

且。

（）求的通项公式；

（）设数列满足，并记为的前项和，

求证：

。

通过上面几个特殊例子，从六种类型的不等式的辅助函数的构造我们可以归纳出以下几点技巧：

（1）由欲证的形式构造出“形似”的函数，即构造函数时遵循了相似性原则．当不等式不能直接看出相似的地方时，经过适当的化简，即化成f（a>f（b）的形式（a,b）（是定义区间中的两点），从而构造辅助函数f（x），通常求函数的导函数f’（x）这样就可以利用函数的单调性来比较f（a），f（b）的大小，从而可以证明原不等式．

（2）由欲证的形式作恒等变形．变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个常数改写成，移项使等

式的一端为0，则另一端即为要作的辅助函数F（x）．

对于像例13这样的不等式的形式，我们可以看出两者是齐次形式，那么根据数学问题的条件和结论，对不等式适当的恒等变形后，通常我们构造的函数有一次函数，二次函数，分式函数，指数函数，对数函数等．然后巧妙的利用用各类函数的基本性质，最常用的性质就是函数的单凋性，最值性．当碰到的不等式的变量是二次的时候，我们常常构造二次函数，然后利用二次函数特有的判别式来获得不等式，如同例13．又是构造函数时，构造出来的函数反而不容易化简，并利用函数的基本性质时，我们这时就需要将抽象的函数形象具体化，试着考虑能否通过数形结合，即运用函数图像的特征，直观的得到所要用到的信息，从而来证明不等式．一般的，当我们构造的函数是基本初等函数时，如果有必要我们就可以画图像来分析问题．对于三角函数不等式我们要特别注意的是三角函数有它特殊的几何意义，因此碰到类似问题时要善于数形结合．构造三角函数时也往往通过它所特有的一些性质来解题．因此，构造数值不等式时特别要注意的是找不等号两边的结构特征．

试题演练

1.已知是正整数，且，证明。

2.已知，求证，。

讲师评价

知识点

课后掌握情况

所需习题编号

是否需要课时加强

课后掌握情况评分：

1对本知识点毫无所知，闻所未闻。

2了解该知识点，能完成简单的识记题。

3 理解该知识点，能运用其分析解答简单问题。

4 把握知识的意义，但缺乏练习与手感，解答稍难的题目速度慢。

5 深刻了解知识内核，能完成相应试题，但有一定的错误率。

6 能够较熟练利用该知识点解决相关试题，但题目稍加变形就难以入手。

7 熟悉该知识点各要素，能顺利解答该知识点范围内各种题目的变形。

8 能把该知识点与其他知识相关联，解答高考中的压轴题。

9 懂得出题规律，只对该知识点范围的难题有兴趣！

10 已拿下该知识点，拥有金钟罩，刀枪不入。