化妆品生产和销售.docx

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化妆品生产和销售

A化妆品生产销售问题模型

摘要

追求企业利润最大化是企业的根本目标。

在生产过程中，生产经营者主要关注生产的产量、成本和利润。

本文提出了在满足指标等系列条件的前提下，综合考虑各个指标对厂商利润的影响，以及各指标之间的关系，从而达到尽量控制5种原料的购进量及存储量及增大产品的销售量，从而使成本达到最小，利润最大的方案。

针对问题一，我们利用经济学中公司盈利的相关模型，存储论中的存货模型、以及利用线性规划对指标、存储量、产量等进行条件限制。

用经济学知识找出利润最大化的目标函数，建立一个线性规划模型，并运用lingo进行最优解，从而得出最大利润为18175.0元，并计算出在利润达到最大时的各种原料在各个月中的合理购进量和加工量（见文中表）.在问题二中，我们考虑到参数的变化引起需求量的相应变化，从而引起利润的变化，因而，采用了列举有限个增长幅度的策略，在每个增长幅度限定的前提下，运用插值与拟合方法，对增长幅度与利润进行数据分析，得出两者关系。

直观的，我们运用matlab画图，以缩小最优解的区间。

用这几种方法结合，从而得到了对应的购进量与加工量的最优策略。

一、问题重述

生产和销售一直是我们经济和生活中常见的问题。

利润最大化是解决此类问题的首要标准。

本题主要研究了在化妆品单位售价确定而原料价格不断没变化的情况下和各种生产条件限制下，应怎样调整采购量和加工量以使厂家获得最大利润。

利润由销售额和总成本确定，总成本由储存成本和购买成本决定。

而各种原料价格的变化又会影响每月的购入量、加工量、贮存量，这几个量之间有着相互制约相互变动的关系。

同时我们也生产中各种约束条件考虑进去。

如化妆品中添加剂的指标限制在3-6%之间，辅料主料每月加工量的限制，以及贮存限制等。

我们要在销售单价不变的条件下解决如下问题。

问题一：

在题中所给在下半年5种基础原料的价格下，已知现存有每种原料50千克，并且12月底每种原料的存货仍为50千克，为使公司利润最大，应制定怎样的采购和加工方案。

问题二：

研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。

考虑如下的价格变化方式：

8月份基础副料价格上升

，基础原料价格上升

；9月份基础副料价格上升

，基础原料价格上升

；其余月份保持这种线性的上升势头。

对不同的

值（在0到25之间）就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划。

二、模型假设

1由题中成品化妆品和加工过的基础原料不能储存，假定加工后的化妆品立即全部售出；

2加工过程中没有重量损失，费用不考虑；

3假定加工过程中的基础原料是线性消耗的；

4假定每月生产的化妆品中，原料的使用比例是按照价格的变化而变化的，即原料的使用比例不固定

5生产周期为一个月。

我们约定每个月月初按当月的价格采购原料，生产期间均匀消耗原料且不再进购原料。

直到下一个生产周期（即下一月月初）进购新原料

三、符号约定

Pij：

表示第i个月Aj原料的价格

Xij：

表示第i个月Aj原料的进货

Yij：

表示第i个月Aj原料的加工量

Iij：

表示第i个月初Aj原料的存货量，即第i-1个月生产后的存货量

Vij：

表示第i个月Aj原料的平均存储量

Cij：

表示第i个月Aj原料的存储成本

Di：

表示第i个月的盈利

D：

表示半年的盈利，即我们要做的规划

四、模型建立

因本题中不涉及税费、销售、工资、订货成本等经济学中的相关问题，此处我们采用最基本的盈利模型，即：

利润=销售额-成本。

本题中，成品化妆品的售价固定为225元，每个月原料的价格也为已知。

所以，要使公司获得最大利润，我们应使销售量（即加工量）尽可能大的同时，让成本尽量的小。

因此，寻找最大利润的问题转化为寻找最优采购量与加工量的组合的问题。

现在可以看出，问题已经转化为线性规划的问题。

我们利用线性规划模型求解出最优的采购量与加工量组合，可以使下半年的利润最大化

1、存储模型的确定

每月的成本包括采购原料的费用和存储原料的成本两部分。

因原料价格已知，采购原料费用为采购量的线性函数

。

但存储原料的费用较为复杂，我们建立存储模型来求解每月的存储成本。

根据存储论的无约束型存货基本模型（如下图所示），以及我们所做的假设，我们可以得到以下的结论：

图1存储模型

1、因每个月的生产是均匀生产，每天输出量保持不变。

所以原料存储量是呈直线下降的。

2、假设每个月之后月初的时候进购原料，生产期间原料均匀消耗。

第二个月月初补充短缺的原料。

输出时间仅为每个周期初。

3、每个月可以缺货（即存货为0），但是存货只可以用来生产，不可以用来出售（即采购量不为负）。

图2生产周期中存货量

可知，每月的存货成本=5×每月的平均存货量，即

由物流守恒，得出

，如图2所示

可以得出，每月第j种原料的存储成本为：

2、生产过程中盈利模型

根据会计学的原理，企业的净利润=销售额-原料成本-所得税-经营成本

本题中将模型简化，不考虑所得税，经营成本中只考虑存货的成本。

则模型简化为：

每个月的盈利

半年的总盈利

三、求解模型

盈利与两个变量有关，分别是进货量X和加工量Y。

将X,Y设成决策量，总利润D为X与Y的线性函数。

显然，我们应该建立线性规划模型来求解。

上述问题的数学模型中，该厂每月进购原料的量为Xij和加工量为Yij时，总利润可以达到最大。

根据以上分析，我们根据对偶理论建立了如下线性规划模型：

目标函数：

由

可得：

目标函数转化为

约束条件

根据建立的线性规划模型，我们用lingo软件进行编程求解，程序如下

model:

sets:

m/1..6/:

定义月份下标集;

n/1..5/:

定义原料油种类下标集;

ajz（m,n）:

c,x,y;!

定义价格矩阵C,购买方案矩阵X和生产方案矩阵Y;

endsets

data:

c=165180195165175

195195165135175

165210195150145

180165180180185

150180225165160

135150210120220;

enddata

max=@sum（m（i）:

@sum（n（j）:

（257.5-5*i）*y（i,j）-5*（7-i）*x（i,j）-c（i,j）*x（i,j）））-7500;!

目标函数;

@for（m（i）:

y（i,1）+y（i,2）+y（i,3）<=25）;

@for（m（i）:

y（i,4）+y（i,5）<=20）;

@for（m（i）:

5.0*y（i,1）+3.0*y（i,2）-1.0*y（i,3）+1.0*y（i,4）+2.0*y（i,5）>=0）;

@for（m（i）:

-2.0*y（i,1）-0.0*y（i,2）+4.0*y（i,3）+2.0*y（i,4）+1.0*y（i,5）>=0）;

@for（n（j）:

@sum（m（i）:

x（i,j）-y（i,j））=0）;

@for（n（j）:

50+x（1,j）-y（1,j）>=0）;

@for（n（j）:

50+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）>=0）;

@for（n（j）:

50+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）>=0）;

@for（n（j）:

50+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）-y（4,j）>=0）;

@for（n（j）:

50+x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）-y（4,j）+x（5,j）-y（5,j）>=0）;

@for（n（j）:

x（1,j）<=50）;

@for（n（j）:

x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）<=50）;

@for（n（j）:

x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）<=50）;

@for（n（j）:

x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）<=50）;

@for（n（j）:

x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）-y（4,j）+x（5,j）<=50）;

@for（n（j）:

x（1,j）-y（1,j）+x（2,j）-y（2,j）+x（3,j）-y（3,j）+x（4,j）-y（4,j）+x（5,j）-y（5,j）+x（6,j）<=50）;

end

运行后的结果（具体运行结果见附录一）：

企业的最大利润MaxD=18175.0

购进原料的量Xij的分布

原料j

月份i

1.667

表1

加工量Yij的分布

原料j

月份i

23.33

1.67

表2

至此，我们求解出了目标此情况下目标函数的最大值，即求出了最大的盈利为18175.0元，每月各种原料的采购与加工量如上两表所示。

观察表中数据，发现前几个月进货很少，第一个月的进货都为0，后边几个月进货比较多。

这是厂商为了节省存货成本而采用的方案。

后面问题二的求解里，我们会详细说明这种现象的原因。

四、问题二求解

问题二的求解模型与问题一相同，只是问题一中的原料价格矩阵是已知且固定的，问题二中原料价格按一定线性比例增加。

因此，问题二的求解，只需把问题一中的原料价格相应的改变一下即可。

当每月原料的价格以x%的趋势线性增加时，增加后的价格矩阵可以表示为：

改变lingo程序中的价格矩阵，得出当增幅X=1、2……25的时候，最大利润值如下表格：

增幅x%

利润

6848

4746

3492.66

2970

2506

2170

增幅x%

利润

2046.66

1936.66

1826.66

1716.66

1637

1604

增幅x%

利润

1571

1538

1505

1472

1439

1406

增幅x%

利润

1373

1340

1307

1274

1250

增幅x%

利润

1250

表3

用matlab将基础原料价格增幅与最大利润的关系图：

图3x值与最大利润的关系

由图可知，随着价格增幅的增大，最大利润呈下降趋势，很明显，图的前半部分下降比较明显，后半部分比较平缓。

当x=1,2,3的时候，最大利润随着x取值的增大几乎成线性关系下降，当5≤x≤20时，最大利润下降就相对比较平缓。

X>=23时，最大利润达到了最小值，此后最大利润不在变动，为一个定值D=1250。

这个图整体反映了x值与最大利润的关系。

我们对比每个x值下各原料的价格，发现如果x值过大，后几个月的原料价格甚至可以达到第一个月的250%，此时原料的价钱还会超过成品化妆品的价钱。

我们知道，这时候厂商是肯定不会进购原料的，否则，厂商只会亏损。

这种情况下，厂家就会改变进货方式，采用早进货或者少进货。

由第一问可以知道，最大利润与生产过程中加工和采购方案有直接的联系。

下面我们将对这一结果联系采购量和生产量进行分析。

我们将用lingo求得对应不同x时采购量和生产量的具体数据，整理得出如下表格：

各种原料的基础价格是：

A1=165；A2=180；A3=195；A4=165；A5=175。

依题意，未来市场价格的变动是以这组数据为基础的。

下图，我们给出在不同x值下，第i月第j种原料的采购量Xij与加工量Yij的数值表。

（此处因为数据较多，我们采用电脑截图的方法表示这个表格）

表4-1不同x值下各原料的采购量表

表4-2不同x值下各原料的采购量表

表4-3不同x值下各原料的采购量表

表4-4不同x值下各原料的采购量表

表5-1不同x值下各原料的加工量表

表5-2不同x值下各原料的加工量表

表5-3不同x值下各原料的加工量表

表5-4不同x值下各原料的加工量表

整体来看，

厂商为了使利润最大，一般在商品价格比较低的时候都会选择晚购买原料，以减少存货的成本。

这就解释了为什么在x很小的时候，刚开始几个月的进货量基本为0。

当价格增幅比较小，如x=1时，我们可以查表看出，厂商每个月的进货量与第一问时的情况基本相同。

因为价格增长较小时，提前购买货物所增加的存储费用要比节省下来的原料购买费用高。

所以，厂商的购货成本几乎以速率x线性增加，但是存储成本几乎未变则根据：

盈利=销售额-购货成本-存储成本，可知，刚开始x值较小时，厂家的利润是线性减小的。

当价格增幅较大时，各种原料在后几个月价格较高，价格上升的成本超过了储存成本。

此时再选择晚进购原料对于厂商来说是极不划算的。

而且，一方面为了使存货成本不至于太高，另一方面仓库的存储空间有限，厂商的采购量也并未过多。

所以为降低成本，获得最大利润各原料选择在前几个月进货。

特别当X>=10时，A1，A2，A3只在第一个月进货。

因此当x值比较大时，原料的购买费用、原料的存储费用都变化不大，从表中就可以看出，当5≤x≤20时，厂商最大利润曲线是相对平稳的。

直到x的值足够大时，原料价格的增加过快，所以厂商就只在原料价格便宜的第一月进货。

查上表可以得到，当x≥24时，厂商只在第一个月进购每种原料各50千克，即Xij均为已知量。

我们在上一问已经知道，最大利润是原料进购量Xij与原料加工量Yij的线性函数，所以获得最大利润时Yij也是固定的。

此时，我们可以知道厂商的最大利润固定为D=1250，加工量如上图所示。

五、模型评价：

我们根据题目所给条件，利用适当的假设简化了题目，分析了最大利润与原料价格、储存量，加工量之间变动关系。

通过存储模型的建立来确定存贮成本。

由题目确定了线性优化模型，根据列出的约束条件得出了在价格不同增幅下时最优加工和采购方案。

我们的模型有以下优点：

1、改变价格矩阵可以确定在任意价格下的最优采购量和生产量；以下存储进行了讨论，运用了______________________________________________________________________________________________________________

2、利用lingo软件求解线性规划问题方便简洁，避免了大量复杂的计算过程；

3、此模型适用于求解类似的生产销售问题；

4、用matlab做出了不同价格增幅与最大利润之间的关系，并列出了不同增幅下的最优采购和加工方案数据，直观清晰，利于分析其中的各种因素间的关系。

我们的模型有以下需要改进的地方：

1、在实际生活中，当原料的价格上升时，成品的销售单价也会随之上升，此模型讨论的是在销售单价不变情况下的方案，缺乏推广性；

2、实际中，产品中各种元素的比例是确定的，在本题中，为降低成本，各原料之间的比例有一定的波动；

六、模型的改进与应用

由于题中信息有限，所以本文模型在实际应用时仍存在改进空间，若信息充足，则为使模型更具实用性，可在如下两方面进行改进：

1、为确定推广性，在原料价格上升时，成品售价应随之上升，以保证厂家的利润；

2、在各原料之间应该给出一定比例，来确定最优方案；

可以通过更多的优化模型来进一步验证此模型的正确性，由于篇幅有限我们没做探讨。

七、引用文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊《数学模型》北京：

高等教育出版社2003

[2]萧树铁《数学实验》北京：

高等教育出版社2006

[3]陈润凤《商品的订购与销售的数学模型》2010-6-16

[4]豆丁网《四种常用的存贮论的基本模型》

2010-6-16

[5]袁新生《Lingo与Excel在数学建模中的应用》北京：

科学出版社2003

[6]束金龙、闻人凯《线性规划理论与模型运用》北京：

科学出版社2003

八、附录

附录一问题一lingo程序运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

18175.00

Totalsolveriterations:

VariableValueReducedCost

C（1,1）165.00000.000000

C（1,2）180.00000.000000

C（1,3）195.00000.000000

C（1,4）165.00000.000000

C（1,5）175.00000.000000

C（2,1）195.00000.000000

C（2,2）195.00000.000000

C（2,3）165.00000.000000

C（2,4）135.00000.000000

C（2,5）175.00000.000000

C（3,1）165.00000.000000

C（3,2）210.00000.000000

C（3,3）195.00000.000000

C（3,4）150.00000.000000

C（3,5）145.00000.000000

C（4,1）180.00000.000000

C（4,2）165.00000.000000

C（4,3）180.00000.000000

C（4,4）180.00000.000000

C（4,5）185.00000.000000

C（5,1）150.00000.000000

C（5,2）180.00000.000000

C（5,3）225.00000.000000

C（5,4）165.00000.000000

C（5,5）160.00000.000000

C（6,1）135.00000.000000

C（6,2）150.00000.000000

C（6,3）210.00000.000000

C（6,4）120.00000.000000

C（6,5）220.00000.000000

X（1,1）0.00000025.00000

X（1,2）0.00000040.00000

X（1,3）0.00000035.00000

X（1,4）0.00000035.00000

X（1,5）0.00000040.00000

X（2,1）0.00000050.00000

X（2,2）0.00000050.00000

X（2,3）1.6666670.000000

X（2,4）50.000000.000000

X（2,5）0.00000035.00000

X（3,1）0.00000015.00000

X（3,2）0.00000060.00000

X（3,3）0.00000025.00000

X（3,4）0.00000010.00000

X（3,5）0.0000000.000000

X（4,1）0.00000025.00000

X（4,2）0.00000010.00000

X（4,3）0.0000005.000000

X（4,4）0.00000035.00000

X（4,5）0.00000035.00000

X（5,1）23.333330.000000

X（5,2）0.00000020.00000

X（5,3）0.00000045.00000

X（5,4）0.00000015.00000

X（5,5）0.0000005.000000

X（6,1）70.000000.000000

X（6,2）55.000000.000000

X（6,3）0.00000025.00000

X（6,4）70.000000.000000

X（6,5）0.00000060.00000

Y（1,1）10.000000.000000

Y（1,2）15.000000.000000

Y（1,3）0.00000020.00000

Y（1,4）20.000000.000000

Y（1,5）0.0000005.000000

Y（2,1）20.000000.000000

Y（2,2）5.0000000.000000

Y（2,3）0.00000020.00000

Y（2,4）20.000000.000000

Y（2,5）0.0000005.000000

Y（3,1）0.0000000.000000

Y（3,2）25.000000.000000

Y（3,3）0.00000020.00000

Y（3,4）20.000000.000000

Y（3,5）0.0000005.000000

Y（4,1）20.000000.000000

Y（4,2）5.0000000.000000

Y（4,3）0.00000020.00000

Y（4,4）20.000000.000000

Y（4,5）0.0000005.000000

Y（5,1）23.333330.000000

Y（5,2）0.0000000.000000

Y（5,3）1.6666670.000000

Y（5,4）20.000000.000000

Y（5,5）0.00000010.00000

Y（6,1）20.000000.000000

Y（6,2）5.0000000.000000

Y（6,3）0.0000005.000000

Y（6,4）20.000000.000000

Y（6,5）0.00000047.50000

RowSlackorSurplusDualPrice

118

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